Nous vous proposons d`analyser une série d`exercices et d`indiquer

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Exercices
Une étude marketing affirme que 60% des ménages sont équipés d'un certain
matériel noté A. Un échantillon de 200 ménages est choisi par un magasin de
vente de matériels A pour contrôler l'étude. Si l'étude marketing est correcte :
1. Déterminer le nombre moyen de ménages équipés de l'échantillon.
2. Déterminer l'écart-type du nombre de ménages équipés de l'échantillon.
3. Déterminer la probabilité qu'au plus 80 ménages de l'échantillon sont équipés.
4. Déterminer la probabilité qu'entre 100 et 120 ménages de l'échantillon sont
équipés
5. Déterminer la probabilité qu'au moins 130 ménages de l'échantillon sont
équipés.
Une machine fabrique des résistors. La variable aléatoire X associe à chaque
résistor sa résistance exprimée en ohms.
On suppose que X suit la loi normale d’espérance
100 et d’écart-type
3.
1) On prélève un résistor au hasard. Il est conforme si sa résistance est comprise
entre 94,75 et 105,25 ohms.
Quelle est la probabilité, à 10 2 près, que le résistor ne soit pas conforme ?
2) Déterminer le réel a tel que 97 % des résistors produits par la machine aient
une résistance comprise entre 100 a et 100 a ohms.
Une entreprise locale a lancé un nouveau jeu ; 55 % des habitants de la localité
l’ont acheté.
1) On interroge un échantillon de 150 personnes.
En utilisant une loi normale adaptée dont on justifiera la pertinence, calculer la
probabilité que dans l’échantillon il y ait entre 75 et 90 personnes ayant acheté le
jeu ?
2) L’entreprise veut profiter de son succès pour étendre la vente du jeu au
Nive au national. Pour cela elle fait effectuer un sondage : sur 1 000 personnes
interrogées 650 sont intéressées par l’achat du jeu.
Déterminer une estimation par intervalle de confiance avec un risque de 3 % de la
proportion p d’individus dans la population prêts à acheter le nouveau jeu ?
Commentaires
Exercice très technique. L’énoncé n’est pas suffisamment clair.
Quel est le type de loi ? Elle n'est pas indiquée dans l'énoncé. En évaluation, il faudrait
proposer la loi.
D'autre part, si on choisit une loi binomiale : les calculatrices sont-elles capables de faire de
tels calculs ? (les nombres sont grand n=200).
En ce qui concerne la loi binomiale, elle est du programme de première et, pour le
baccalauréat, les connaissances de première ne peuvent constituer un ressort essentiel du sujet.
L'exercice, dont le seul objet est de tester des savoir-faire techniques, mériterait d'être plus
ouvert. Il serait possible d'ouvrir le questionnement et poser cet exercice sous la forme d'un
problème à résoudre ou d'une question ouverte. D’ailleurs, on pourrait ajouter une
problématique sur l’échantillonnage.
L’esprit de cet exercice peut être proposé dans toutes les séries, on peut éventuellement varier
les supports.
La première question peut être proposée en classe et en évaluation.
La deuxième n'est pas dans les « clous » (95 % ou 99 % et non 97 %), cependant on peut
réserver 97 % en formation.
Le problème de la calculatrice se pose encore. Faut-il donner un extrait de tableur, sachant que
la donnée de tables ne se fera pas a priori ?
Question 1 : Les élèves n'ont pas les moyens de justifier la validité de l'approximation.
Par contre, leur disant que l'approximation par la loi normale est légitime, on peut leur
demander en formation (et non au bac) les paramètres de cette loi (la moyenne et l'écart-type
d'une binomiale sont connus).
La question de la légitimité de l'approximation par la loi normale ? Quel sens si nos outils
calculent très bien avec la loi binomiale ? Réponse : concrètement, pour les grandes valeurs de
n, le calcul par la loi binomiale ne fonctionne pas.
Question 2 : le mot « risque » n’est pas dans les programmes, il est donc à éviter en
évaluation. Par ailleurs il est nécessaire de remplacer 3 % par 5 %.
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5
Un sondage portant sur un échantillon de 800 personnes montre que 160 sont
désireuses d’acheter un certain produit. Soit X le pourcentage de personnes dans
la population susceptibles d’acheter le produit.
1) Estimer la valeur minimale de X compatible avec un risque de 4 %.
2) Soit un niveau de risque de 4 % et un échantillon de taille n dans lequel la
proportion de personnes désireuses d’acheter le produit est 0,2.
On désire que l’amplitude de confiance de X qu’il fournit vaille au plus 0,02.
Quelle est la valeur minimale de n ?
3) Soit un échantillon de taille 800 dans lequel la fréquence de personnes
désireuses d’acheter le produit est f e .
On souhaite déterminer f e , si possible, afin que cet échantillon donne un
intervalle de confiance d’amplitude 0,07 au seuil de risque de 4%.
a) Montrer que f e est solution de l’équation : 168100 f 2 168100 f 39200 0 .
b) Conclure.
Un produit détachant est annoncé comme efficace à 90 % sur certains types de
tache. Un magasin de nettoyage a obtenu de bons résultats dans 200 cas sur 250
essais effectués.
Dire si, au seuil de 1 %, l’annonce d’efficacité est bien légitime.
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À la veille d’une consultation électorale comportant deux candidats, on a
interrogé 400 électeurs constituant un échantillon représentatif : 210 d’entre eux
ont déclaré vouloir voter pour le candidat Y.
1) Indiquer un intervalle de confiance de la proportion p du corps électoral
favorable au candidat Y au seuil de 5%.
2) Peut-on en déduire que Y sera élu si les opinions ne se modifient pas ?
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À la veille d’une consultation électorale comportant deux candidats, on a
interrogé n électeurs constituant un échantillon représentatif : m d’entre eux ont
déclaré vouloir voter pour le candidat Y.
On répondra aux mêmes questions qu’au 6, dans les cas suivants :
1) n = 40 ; m = 21 et on effectuera le calcul avec
f (1 f )
f (1 f )
f 1, 96
, f 1, 96
puis avec
n
n
f (1 f )
f (1 f )
.
n 1
n 1
2) Idem avec n = 400 ; m = 210
3) Idem avec n = 4000 ; m = 2100
4) Quelles conclusions peut-on en tirer suivant les valeurs de n ?
f
1, 96
,f
1, 96
Globalement, l’exercice n’a pas d’intérêt. Il n’est pas dans l’esprit.
A la rigueur, on peut « faire sentir » en classe que l’intervalle de fluctuation dépend de la taille
de l’intervalle.
Comme indiqué dans l’exercice précédent, le mot « risque » est à éviter et il convient de
prendre un seuil de 5 %.
Question 2 a peu de sens
Question 3 n’en a aucun
Problème semble mal posé, mais certains considèrent qu’il est acceptable en situation A.
Problème aussi du 1%
Questions liées au vocabulaire employé : efficacité, légitime ?
Est-il envisageable de poser cet exercice en évaluation ? Oui, mais en parlant de l’intervalle de
fluctuation asymptotique.
Question 1 : En situation A, B : oui.
Question 2 : En situation A oui,
pour une évaluation :
- problème d’interprétation car on est dans un intervalle contenant 0.5.
- il s’agit de travailler avec un intervalle de fluctuation, or, dans la question 1, on a un
intervalle de confiance, ce qui peut induire une confusion possible (car on effectue un test).
Il serait préférable de travailler avec n>400.
Question 1 : le premier intervalle est dans les catégories A (formation en classe) et B (en
évaluation) et le deuxième dans la catégorie C (hors programme) de façon unanime.
Questions 2, 3 et 4 : à mettre dans la catégorie A (pas terrible en B), il est intéressant de voir
l'influence de la taille de l'échantillon sur l'intervalle.
La comparaison des deux intervalles de confiance (faisant intervenir
complètement hors sujet.
n ou
n 1 ) apparaît
Il est par ailleurs reproché à l'exercice un manque de contexte, le contexte des élections étant
uniquement un prétexte.
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Démontrer que si la variable aléatoire X n suit la loi binomiale B n, p alors
pour tout
p
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10
u
dans 0,1 , on a lim P X n
n
n
p1
n
p
,p
u
In
p1
1
où I n désigne l’intervalle
p
n
1. Calculer la probabilité d'obtenir un nombre de faces entre 40 et 60 quand on
jette 100 fois une pièce parfaite.
2. On cherche à tester l'hypothèse qu'une pièce de monnaie soit parfaite quand on
adopte la règle de décision suivante :
(1) on accepte l'hypothèse si le nombre de faces dans un seul échantillon
de 100 jets est compris entre 40 et 60.
(2) sinon on rejette l'hypothèse.
a) Calculer la probabilité de rejeter l'hypothèse quand elle est vraie
b) Interpréter graphiquement la règle de décision et le résultat de (a).
c) Quelles conclusions peut-on tirer si l'échantillon de 100 jets comprend 53 faces
?
d) Proposer une règle de décision avec un seuil de signification de 0,05 dans le
cas d'un échantillon de 64 jets de cette pièce.
Un magasin reçoit successivement deux commandes. Dans la première
comprenant 850 articles, 56 sont défectueux, dans la seconde sur 400 articles, 35
sont défectueux.
Au risque de 5 %, la différence de pourcentage d’objets défectueux est-elle
significative ?
Question placée dans les catégories A et B.
Bien que cette question soit repérée comme relevant des capacités exigibles du programme, ce
sujet angoisse beaucoup : qu'attend-on précisément ?
Des réponses sont apportées : à partir du théorème de Moivre Laplace, sachant que Z n suit
N(0,1), il s'agit de passer à X n
La démonstration de cours est jugée comme ayant peu d'intérêt scientifique. Il paraît plus
intéressant de partir d'exemples pour comprendre le lien entre Z n et X n .
Question 1 : La discussion a porté sur l'approximation d'une loi binomiale par une loi normale
(qui ne semble pas au programme) puis sur le fait de centrer et réduire une loi normale qui de
l'avis de tout le monde est au programme. Finalement la question rentre plutôt dans la
catégorie A ou éventuellement dans la catégorie B si on dit à l'élève : « on fera
l'approximation de la loi binomiale par la loi normale en donnant les paramètres ».
Le fait que la loi ne soit pas mentionnée ne pose pas de problème pour les collègues : ils
classent cette question dans la catégorie A en imaginant une situation de recherche ouverte en
classe, où les élèves pourraient proposer deux modélisations : avec la loi binomiale et avec
une approximation par la loi normale.
Il apparaît au départ (pour certains) que l'approximation par la loi normale s'impose pour
pouvoir faire les calculs, ignorant les possibilités des calculatrices qui calculent des
probabilités cumulées pour une loi binomiale.
Question 2 : Cette question a été complètement rejetée en première lecture, puis certains
collègues ont considéré qu'en modifiant un peu les termes il était possible de la mettre en
catégorie A ou B.
Cette question fait clairement référence aux tests d'hypothèse : elle est très intéressante dans
un contexte de formation (A) et non d'évaluation.
La question sur l'interprétation graphique interroge : qu'attend-on ? un intervalle avec
hachurée la zone de rejet ? une interprétation sur le graphique de distribution ?
Deux façons de voir cet exercice :
En première, en prenant l'une des commandes comme référence.
En terminale STI2D, c'est clairement dans le programme. Un collègue a noté que cela poserait
peut-être un problème en STI2D car justement il y avait deux méthodes pour faire l'exercice.
Le thème est aussi mentionné dans le programme de S dans le cadre de l'Accompagnement
personnalisé.
Des questions sont posées sur les commandes : peut-on les comparer ? Proviennent-elles du
même fournisseur ? Correspondent-elles au même produit ?
Le fait qu'elles ne comprennent pas le même nombre d'articles pose-il problème ?
Calculs : Pour différents exercices, les problèmes de calculs ont été évoqués. Doit-on utiliser
la calculatrice ? Donner le jour de l'évaluation une copie écran ? Donner les valeurs dans le
sujet ? C'est le plus gros problème de cette partie du programme.
Parmi les 10 exercices proposés, aucun ne laisse de place à l'utilisation des TICE et à la modélisation.
Suite aux deux ateliers, beaucoup de participants trouvent nécessaire d’apporter des éclairages sur :
-
-
L’utilisation des calculatrices pour les examens notamment pour les grands nombres ? Tous les modèles de calculatrice ne semblent pas compatibles
avec des calculs sur la loi normale et la loi binomiale, d’où la question sur une présence d’un support tableur (image), voir d’extraits de tables (des
enseignants se posent la question)…
L’utilisation du mot risque dans les énoncés.
La distinction entre l’intervalle de confiance et l’intervalle de fluctuation (surtout au travers des énoncés).
La nécessité de préciser dans les sujets d’examen les paramètres de la loi normale lorsque celle-ci approche une loi binomiale.
L’emploi de termes employés dans les énoncés ex ; efficacité, légitime, fiable…
En conclusion, les participants aux ateliers se posent la question sur la possibilité de présenter en évaluation des problèmes ouverts sans parler de tests.
Par ailleurs, ils attendant des précisions et des exemples sur la prise de décision lors de la comparaison de deux proportions en AP (TS).