Soit la droite D d`équation : y = – x. 1. Les vecteurs de IR² suivants

1
CHAPITRE 3 – ESPACES VECTORIELS
EXERCICE 1 (CHAPITRE 4 – I)
1
Soit la droite D d’équation :
y = – x.
1. Les vecteurs de IR² suivants :
,  
, 
, 
sont-ils sur cette droite ?
2. Représenter graphiquement cette droite, ainsi que les vecteurs X1, X2, X3, X4, 2X1 et
X1+X4.
3. Montrer que la somme de deux vecteurs de D est un vecteur de D et que le produit
d’un vecteur de D par un réel est un vecteur de D. En déduire que D est un espace
vectoriel.
CORRECTION
1. Les vecteurs 
 de IR² situés sur la droite D sont tels que y = – x.
Ceci est le cas des vecteurs X1 (puisque – 1 = – (1)) et X4 (puisque 2 = – (– 2)), mais pas
de X2 (puisque – 3 ≠ – 2) ni de X3 (puisque 1 ≠ – 0).
2.
3. Les vecteurs situés sur la droite D sont les couples  de IR² tels que y = – x. Soit deux
vecteurs de D :
X = 
 et  = 
1
Les numéros de chapitres et de sections indiqués en rouge renvoient aux chapitres et sections du manuel
d’Introduction à l’algèbre linéaire d’Ozgür Gün et Sophie Jallais, référence sur l’epi).
X4
X2
X1
X3
y
x
D
1
1
0

2
alors le vecteur :
X+= 
+
=
appartient à D. En effet, comme X et  sont des éléments de D, on a :
y = – x et ,
et donc : .
La somme de deux vecteurs de D est donc un vecteur de D. On dit que D est stable pour
la somme vectorielle.
Soit un vecteur de D :
X = 
alors le vecteur :
αX=
appartient à D. En effet, comme X est un élément de D, on a :
y = – x,
et donc : .
Le produit d’un vecteur de D par un réel est donc un vecteur de D. On dit que D est stable
pour l’homothétie.
L’ensemble D est une partie de IR² (puisque tous les vecteurs de D sont des éléments de
IR²). Il est en outre non vide puisqu’il contient les vecteurs X1 et X4 (voir question 1).
L’ensemble D est donc un sous-espace vectoriel de IR² puisque, on vient de le voir, il est
stable pour la somme vectorielle et l’homothétie (voir propriété IV-1, page 95 du
manuel).
EXERCICE 2 (CHAPITRE 4 – I)
Soit la droite D’ d’équation :
y = – x + 1
1. Les vecteurs de IR² suivants :
,  
,  ,  ,  ,
sont-ils sur cette droite ?
2. Représenter graphiquement cette droite, ainsi que les vecteurs X1, X2, X3, X4, X5, 2X2 et
X2+X3.
3. La droite D’ est-elle un espace vectoriel ?
CORRECTION

3
1. Les vecteurs 
 de IR² situés sur la droite D sont tels que y = – x + 1.
Ceci est le cas des vecteurs X1 (puisque 0 = – 1+1), X2 (puisque – 1 = – 2+1) et X3
(puisque 1 = – 0 + 1). En revanche, ce n’est pas le cas de X4 (puisque 1 ≠ – 1+1) ni de X5
(puisque – 1 ≠ – (– 2)+1).
2.
3. On a vu que les vecteurs X1 et X3 appartiennent à D’. Si D’ est un espace vectoriel, on
doit donc avoir :
X1+X3  D’.
Or X1+X3 = X4, et X4 n’est pas un élément de D’ (voir question 1). D’ n’est donc pas stable
pour la somme vectorielle : ce n’est pas un espace vectoriel.
EXERCICE 3 (CHAPITRE 4 – I)
A quelle(s) condition(s) sur les paramètres a et b, la droite Δ d’équation :
y = ax + b
est-elle un espace vectoriel ?
CORRECTION
Les vecteurs situés sur la droite Δ d’équation y = ax + b, où a et b sont donnés, sont les
couples 
 de IR² tels que y = ax + b. L’ensemble Δ de ces vecteurs est donc une partie
de IR². Il ne peut donc être un sous-espace vectoriel de IR² que s’il en contient le vecteur
nul, autrement dit si 0 = a(0)+b.
Pour que Δ soit un sous-espace vectoriel de IR², il faut donc que b = 0.
Cela suffit-il ? Pour le savoir, il faut voir si, pour b = 0, Δ est stable pour la somme
vectorielle et l’homothétie.
X5
2X2
X2
X4
X1
X3
y
x
D’
1
1
0

4
□ Stabilité pour la somme vectorielle
Soit deux vecteurs de Δ :
X = 
 et  = 
,
alors le vecteur :
X+= 
+
 = 
appartient à Δ. En effet, comme X et  sont des éléments de Δ, on a, pour b = 0 :
y = ax et ,
et donc : .
□ Stabilité pour l’homothétie
Soit un vecteur de Δ :
X = 
,
alors le vecteur :
αX=
appartient à Δ. En effet, comme X est un élément de Δ, on a, pour b = 0 :
y = ax,
et donc : .
Ainsi, si b = 0, l’ensemble Δ est une partie non vide de IR² stable pour la somme
vectorielle et l’homothétie. C’est donc un sous-espace vectoriel de IR².
EXERCICE 4 (CHAPITRE 4 – I)
Trouver un système générateur de l’ensemble Δ de l’exercice précédent (pour b = 0).
CORRECTION
L’ensemble G est un système générateur de Δ si tous les vecteurs de Δ peuvent s’écrire
sous la forme d’une combinaison linéaire des vecteurs de G.
Les vecteurs de Δ sont les couples 
 de IR² tels que y = ax. Ce sont donc les couples de
la forme : 
,
ou encore :
x
.
Les vecteurs de Δ peuvent donc s’écrire sous la forme d’une combinaison linéaire du
vecteur 
 : ce sont les homothétiques du vecteur  .
G = 
 est donc un système générateur de Δ.

5
EXERCICE 5 (CHAPITRE 4 – I)
Les ensembles suivants :
,   ,
 et  
engendrent-ils IR3 ?
CORRECTION
□ L’ensemble G1 engendre IR3 si et seulement si (voir propriété IV-3, page 101 du
manuel), quel que soit le vecteur : 
 de IR3,
on a :
rang   
    = rang  
.
Or :
rang  
   = rang      = rang      = 3 ;
et :
rang   
    = 3 ;
cette dernière matrice a en effet 3 lignes, son rang est donc inférieur ou égal à 3, et ses
trois premières colonnes sont linéairement indépendantes, puisque, on vient de le
déterminer, leur rang est égal à 3.
L’ensemble G1 est donc générateur de IR3.
□ L’ensemble G2 engendre IR3 si et seulement si, (propriété IV-3) quel que soit le
vecteur : 
 de IR3,
on a :
rang   
    = rang  
.
Or :
rang  
   = rang      = rang      = 2 ;
et :
rang   
    = rang        = rang   
   .