DS n°7 « Relativité restreinte et dualité onde particule» Page 3
Exercice 1 : L'énigme des muons
1.1 D'après les lois de la mécanique classique, la distance moyenne parcourue par un muon de durée de vie
moyenne 2,2
µs
se déplaçant à la vitesse
v
= 0,9997
c
est :
md 26 106,6102,24587922999997,0
1.2 D'après la question précédente, un muon parcourt en moyenne 660
m
avant de se désintégrer. Or il faudrait
qu'il parcourt en réalité 20
km
, soit 20 000
m
pour atteindre le sol et être détecté. Donc d'après la mécanique
classique la durée de vie d'un muon ne lui permet pas d'atteindre la surface de la Terre.
2.1 C'est dans le référentiel
RM
du muon que ce dernier naît et meurt.
2.2 D'après le cours, le référentiel
RM
est donc celui dans lequel on mesure le temps propre.
2.3 D'après la relativité restreinte, on a :
Ce qui donne, d'après les questions précédentes :
sTT56
2
2100,9102,2
1
9997,0
1
1
Ainsi, si dans le référentiel mobile du muon, sa durée de vie moyenne est de 2,2
µs
, dans le référentiel
terrestre, sa durée de vie moyenne est d'environ 90
µs
, soit 41 fois supérieure.
2.4 Dans le référentiel terrestre, le muon se déplace à une vitesse de
v
= 0,9997
c
pendant une durée de 90
µs
.
Aussi, la distance qu'il peut espérer parcourir est donc :
mdT45 107,2100,94587922999997,0
Soit une distance d'environ 27
km
, bien supérieure au 20
km
qu'il doit traverser pour attendre le sol.
Exercice 2 :
1- Relation de Broglie : p= mv =
P est la quantité de mouvement de la particule et concerne le comportement corpusculaire.
est la longueur d’onde de l’onde matière. La relation de Broglie relie donc le comportement
corpusculaire au comportement ondulatoire pour une particule
2- h correspond à une énergie multipliée par un temps d’après son unité;
La relation Epp=mgz avec a=g permet d’écrire que [h] = [E]x[t] = [mgz]x[t]=M.L.T-2.T
d'où : [h] = M L2T-1.
p : masse fois distance divisée par un temps. [p] = [m.v]=M L T-1. Donc [h/p] = M L2T-1/( M L T-1) =L
Conclusion h/p est bien homogène à une longueur c'est-à-dire
3- On a Ec = ½.m.v2 d’où v=
donc p=mv=m
=
On peut donc calculer la longueur d’onde. Conversion de Ec=54eV=54 x 1,60.10-19 J
Conclusion :
= 1,7.10-10 m
4-
= 2,30.10-38 m
5- On n’observe pas le comportement ondulatoire pour une voiture car la longueur d’onde est
extrêmement petite devant les dimensions (de l’ordre du mètre) des obstacles qui sont dans
l’environnement de la voiture
CORRECTION
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