β γ β - fabrice CAPBERT Sciences Physiques Lycée Joliot Curie

PHYSIQUE - CHIMIE
Lycée Joliot Curie à 7
DS n°7 « Relativité restreinte et dualité onde
particule»
Note /20
Classe de Ter S
Date 17/05/2016
Nom :
Appréciation
Exercice 1 :
L'énigme des muons
Données :
Vitesse de la lumière : c = 299 792 458 m/s
Facteur de Lorentz :

1
1  2
avec

v
c
Les muons noté µ- sont des particules créées dans la haute atmosphère terrestre à une vingtaine de
kilomètres d’altitude, lors de la collision de protons provenant du rayonnement cosmique avec les atomes de
l'atmosphère. Ces particules ont les mêmes propriétés physiques que l’électron mais sont 207 fois plus
massives, c'est pourquoi on les appelle aussi "électrons lourds".
Les muons sont très instables et leur durée de vie propre n'est que de 2,2 microsecondes. Ils se déplacent
après leur formation dans l'atmosphère à une vitesse de 0,9997 c et interagissent très peu avec la matière
ordinaire de sorte qu’ils peuvent la traverser sans encombre.
20 km
10 km
µ-
µ-
µ
-
µ-
µ-
µ-
1.1 En utilisant les lois de la mécanique classique, quelle est la distance moyenne dM que peut parcourir un
muon en direction du sol durant sa vie ?
1.2 Expliquer alors pourquoi il semble logique de ne pas pouvoir détecter à la surface de la Terre un muon
apparu à 20 km d'altitude, ou même 10.
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En réalité, de tels muons sont pourtant détectés au niveau du sol. On en dénombre en moyenne un par
centimètre carré et par minute au niveau de la mer (altitude nulle). Ce résultat paradoxal est levé si l’on
reconsidère ce problème dans le cadre de la physique relativiste.
Considérons le référentiel terrestre noté RT et le référentiel d’un muon noté RM.
2.1 Dans lequel de ces référentiels les deux événements « le muon naît » et « le muon meurt » ont-ils lieu au
même endroit ?
2.2 Préciser alors le référentiel lié au temps propre.
2.3 En notant TM la durée de vie moyenne du muon dans le référentiel RM déterminer la relation permettant
de calculer la durée de vie moyenne TT d’un muon dans le référentiel RT. Calculer sa valeur.
2.4 Montrer qu’il est ainsi possible de détecter au sol des muons formés à 20 km d'altitude dans la haute
atmosphère.
Exercice n°2 :
Dans sa thèse, Recherche sur la théorie des quanta, publiée en 1924, Louis de Broglie propose de généraliser
la dualité onde-particule admise pour la lumière à tous les objets microscopiques.
1- Donner la relation de de Broglie et montrer en quoi, pour une particule, elle relie le comportement
corpusculaire au comportement ondulatoire.
2- Montrer que la quantité h/p, où p désigne la quantité de mouvement, a bien la dimension d’une
longueur.
3- Quelle est la valeur de la longueur d’onde associée à un électron d’énergie cinétique 54 eV ?
4- Quelle serait la valeur de la longueur d’onde associée à une voiture de masse M = 800 kg, évoluant à la
vitesse de 130km.h-1 ?
5- Pourquoi n’observe-t-on pas de comportement ondulatoire pour une voiture ?
Données :
constante de Planck : h = 6,63.10-34 J.s
Masse d’un électron : me = 9,109.10-31 kg
1 eV = 1,60.10-19J
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PHYSIQUE - CHIMIE
CORRECTION
DS n°7 « Relativité restreinte et dualité onde
particule»
Exercice 1 :
Classe de Ter S
Date 17/05/2016
Nom :
L'énigme des muons
1.1 D'après les lois de la mécanique classique, la distance moyenne parcourue par un muon de durée de vie
moyenne 2,2 µs se déplaçant à la vitesse v = 0,9997 c est :
d  v  t
6
2
 d  0,9997  299 792 458  2,2 10  6,6 10 m
1.2 D'après la question précédente, un muon parcourt en moyenne 660 m avant de se désintégrer. Or il faudrait
qu'il parcourt en réalité 20 km, soit 20 000 m pour atteindre le sol et être détecté. Donc d'après la mécanique
classique la durée de vie d'un muon ne lui permet pas d'atteindre la surface de la Terre.
2.1 C'est dans le référentiel RM du muon que ce dernier naît et meurt.
2.2 D'après le cours, le référentiel RM est donc celui dans lequel on mesure le temps propre.
2.3 D'après la relativité restreinte, on a :
T '    T0
Ce qui donne, d'après les questions précédentes :
TT    TM 
TT 
1
1
2
v
c2
1
 TM  TT 
1
0,9997
12
2
 2,2 10 6  9,0 10 5 s
Ainsi, si dans le référentiel mobile du muon, sa durée de vie moyenne est de 2,2 µs, dans le référentiel
terrestre, sa durée de vie moyenne est d'environ 90 µs, soit 41 fois supérieure.
2.4 Dans le référentiel terrestre, le muon se déplace à une vitesse de v = 0,9997 c pendant une durée de 90 µs.
Aussi, la distance qu'il peut espérer parcourir est donc :
dT  v  TT
dT  0,9997  299 792 458  9,0 10 5  2,7 10 4 m
Soit une distance d'environ 27 km, bien supérieure au 20 km qu'il doit traverser pour attendre le sol.

Exercice 2 :
ℎ
1- Relation de Broglie : p= mv =
𝜆
P est la quantité de mouvement de la particule et concerne le comportement corpusculaire.
𝜆 est la longueur d’onde de l’onde matière. La relation de Broglie relie donc le comportement
corpusculaire au comportement ondulatoire pour une particule
2- h correspond à une énergie multipliée par un temps d’après son unité;
La relation Epp=mgz avec a=g permet d’écrire que [h] = [E]x[t] = [mgz]x[t]=M.L.T-2.T
d'où : [h] = M L2T-1.
p : masse fois distance divisée par un temps. [p] = [m.v]=M L T-1. Donc [h/p] = M L2T-1/( M L T-1) =L
Conclusion h/p est bien homogène à une longueur c'est-à-dire 𝜆
2×𝐸𝑐
3- On a Ec = ½.m.v2 d’où v= √
𝑚
2×𝐸𝑐
donc p=mv=m√
𝑚
= √2 × 𝑚 × 𝐸𝑐
On peut donc calculer la longueur d’onde. Conversion de Ec=54eV=54 x 1,60.10-19 J
Conclusion : 𝜆 =
4- 𝜆 =
ℎ
𝑝
=
ℎ
𝑝
ℎ
𝑚𝑣
=
6,63.10−34
√2×9.109.10−31 ×54×1.60×10−19
=
6,63.10−34
130.103
60×60
800×
= 1,7.10-10 m
= 2,30.10-38 m
5- On n’observe pas le comportement ondulatoire pour une voiture car la longueur d’onde est
extrêmement petite devant les dimensions (de l’ordre du mètre) des obstacles qui sont dans
l’environnement de la voiture
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