Rappels Mathématiques PERLES D`EXAMEN

00 - 1 2012/2013 C. Renner
Université de Genève – Physique Générale C
Rappels Mathématiques
Les mathématiques sont l’outil de base du physicien. Les mathématiques permettent de
décrire de manière formelle le comportement du monde physique qui nous entoure.
Nous rappelons brièvement quelques concepts et règles mathématiques de base :
– Fractions
– Puissances et notations scientifiques
– Equations linéaires
– Identités remarquables
– Référentiels
– Vecteurs
– Trigonométrie
– Dérivées
– Intégrales
–Unités
00 - 2 2012/2013 C. Renner
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PERLES D’EXAMEN
ALGÈBRE
vf
λ
=
f
v
λ =
2
1
2
hgt=2tgh=
NOTATIONS et CALCULS
2
0.75mm =
GPa =
2
75cm
12
10 Pa
1 tour angulaire =2r
π
32
0.75 10 m
−
=⋅
4800s8 min =
VECTEURS
A
JG
B
JG
C
JG
A
BC+=
JG JG JG
A
JG B
JG
C
J
G
Faux
Correcte

00 - 3 2012/2013 C. Renner
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PERLES D’EXAMEN
VOLUME D’UN CYLINDRE
3
4
3
Vr
π
=
3
Vrh
π
=
2Vrh
π
=
Vrh=
2
2Vrh
π
=
2
Vrh=
2
2Vr
π
=
2Vh=
2
Vrh
π
=
r
h
1.21 kg glace = 1120 l d’eau
1.16 kg d’eau = 97.5 l d’eau
9.79 kg d’eau = 0.00000979 l d’eau
11.2 kg d’eau = 0.000012 l d’eau
ÉVALUEZ SI UN
RESULTAT EST SENSÉ
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NOTATIONS
e.g. par exemple exempli gratia
i.e. c’est-à-dire, en d’autres mots id est
c.f. voir, consulter confer
≡par définition égal à

00 - 5 2012/2013 C. Renner
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884 32
14
=×=
()
()
a
a/b
b
c
c/d
d
=
Fractions
ac ac
b
dbd
⋅=
11 1
abab
+≠+
db
db
ac
bd
=⋅±⋅
ac ac
bd bd
−
−≠
−
Multiplication :
Division :
Addition et soustraction :
Les fractions sont une notation mathématique très pratique, avec toutefois quelques pièges :
On ne peut additionner ou soustraire que des fractions de même dénominateur.
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même coefficient ne change pas la
valeur de la fraction, d’où la manière simple suivante de trouver un dénominateur
commun :
82
14
≠
ac
bd
±d
ad
b
cb
±
=
ad
b
c
=⋅ ad
b
c
=
et pas
numérateur :
dénominateur 11
ac
bd
=
⋅± ⋅
a
b
00 - 6 2012/2013 C. Renner
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Puissances et Notations scientifiques
Souvent, les variables physiques sont soit très grandes soit très petites.
La vitesse de la lumière est ~300’000’000 m/s et les dimensions typiques des constituants
de la matière (les atomes) sont de l’ordre de 0.000’000’000’1 m.
Pour éviter de travailler avec ce type de nombres très peu pratiques, on introduit une
notation en puissances de 10 :
100=1
101=10
102=10×10=100
103=10×10×10=1’000
104=10×10×10×10=10’000
105=10×10×10×10×10=100’000
106=10×10×10×10×10×10=1’000’000
…
10-1=1/10=0.1
10-2=1/(10×10)=0.01
10-3=1/(10×10×10)=0.001
10-4=1/(10×10×10×10)=0.000 1
10-5=1/(10×10×10×10×10)=0.000 01
10-6=1/(10×10×10×10×10×10)=0.000 001
…
10 10 10
nm nm
+
×
=10 10 10 10
10
n
nmnm
m
−
−
=× =
Avec les règles suivantes :
Alors: vlumière = 3×108m/s datom = 1×10-10 m= 1 Angstrom

00 - 7 2012/2013 C. Renner
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11
3
(75 10 )
(5 10 )
−
−
×
×=
0.00000000075
0.005
=
Puissances et Notations scientifiques
Les puissances de dix facilitent non seulement les notations, elles simplifient aussi
grandement les calculs :
10 10 10 ;
nm nm
+
×= 10 10 10 10
10
n
nmnm
m
−−
=× =
30'000'000 0.00006×=
On peut aussi travailler avec des exposants pour des nombres autres que 10 :
base commune : ( )( )
nm nm
aa a
+
=
exposant commun : ( )( ) ( )
nn n
ab ab=
2
18 10=× 3 1.8 10=×
ATTENTION : ( ) ( ) ( )
nn n
ab ab+≠+
75
(3 10 )(6 10 )
−
×
×
(113) 78
75 10 15 10 0
51.5 1
−+ −
−
=××=×
(7 5)
18 10
−
=
×
00 - 8 2012/2013 C. Renner
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Préfixes du système d’unités international (SI)
da
h
k
M
G
T
P
E
Z
Y
Symbole Quantité
deka101hecto102kilo103mega106giga109tera1012 peta1015
exa1018
zetta1021 yotta1024
NomFacteur
y
z
a
f
p
n
µ
m
c
d
Symbole
yocto10-24 zepto10-21 atto10-18 femto10-15 pico10-12 nano10-9 micro10-6 milli10-3 centi10-2 deci10-1
NomFacteur
10
100
1’000
1’000’000
1’000’000’000
1’000’000’000’000 0.000’000’000’001
0.000’000’001
0.000’001
0.001
0.01
0.1
Exemples : km : kilomètre = 1’000 mètres longueur
pJ : picojoule = 10-12 joules énergie
TW : terawatt = 1012 watts puissance En rouge : à connaître par ♥

00 - 9 2012/2013 C. Renner
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Équations quadratiques et identités remarquables
Factorisation
()
x
yzaaaa
x
yz+−= +−
Identités
222bbaa=++
()()
22
ab abab−=+ −
Equation quadratique
20ax bx c++= 24
2
bb ac
xa
−± −
=
24 0 racines (solutions) réellesbac−>
()
222
()() 2ab abab a b ab−=− −=+−
()
222
ab a b+≠+
ab
()
2()()ab abab+=+ + ()()aa b ba b
=
++ +
00 - 10 2012/2013 C. Renner
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Rappels de trigonométrie
Définitions trigonométriques de base :
– Les projections sur les axes xet y d’un segment AB connaissant sa longueur let son
angle
θ sont :
adjacent
cos hypothénuse
θ =
opposé
sin hypothénuse
θ =
opposé
tan adjacent
θ =
L = hypoténuse
opposé
adjacent
θ
φ
cos
ϕ
=
sin
ϕ
=
adjacent
tan opposé
ϕ =
x
y
hypothénuse cos adjacent
θ
⋅
=
hypothénuse sin opposé
θ
⋅
=
A
B