LES FAMEUX CONTES IMPROBABLES

TS 3
2005/2006
Pour ces vacances festives qui s’annoncent, je vous propose une petite récréation de
l’esprit : vous me rédigerez la solution des quatre contes probabilistes qui suivent.
Premier conte probabiliste.
Le Prince Charmant, de dépit, a décidé d’épouser la première jeune fille qui pourra chausser
la fameuse charentaise en vair de pointure 37. Au château, sont réunies douze jeunes filles dont
Cendrillon et ses deux demi-sœurs, la fée Carabosse et huit autres jeunes filles nubiles. Cendrillon
n’a rien à craindre de ses demi-sœurs qui chaussent un bon quarante cinq et demi. Par contre, toutes
les autres chaussent du 37 et pourront enfiler la susdite pantoufle.
Le majordome choisit au hasard, successivement, trois jeunes filles parmi les douze et leur
attribue un numéro d’ordre.
Quelle est la probabilité pour que l’une de ces trois jeunes filles devienne la princesse ?
Quelle est la probabilité pour que Cendrillon se retrouve avec ses deux demi-sœurs devant le
prince ?
Quelle est la probabilité pour que Cendrillon se retrouve en concurrence avec la fée Carabosse ?
Sachant que l’événement précédent s’est réalisé, quelle est la probabilité pour que le prince (qui
fait essayer la pantoufle aux jeunes filles suivant leur numéro d’ordre) épouse la fée Carabosse ?
Remarque : On ne tiendra pas compte du désordre que cette dernière hypothèse introduirait dans
les contes de fée.
Deuxième conte probabiliste.
Blanche-Neige passe la serpillière quand la Méchante Reine se présente, grimée en pauvre
vieille, pour lui offrir un panier de cinq pommes « reine de reinette » dont une empoisonnée et deux
véreuses. Blanche-Neige, affamée, décide de prendre trois pommes successivement, une par une,
pour les manger. Cependant, si elle croque dans une pomme véreuse, elle jette toutes les pommes
restantes au cochon ; lequel cochon engloutit tout ce qu’on lui donne sans états d’âme ! Calculer la
probabilité pour que :
Le porc trépasse.
Blanche-Neige mange les deux bonnes pommes.
Le conte finisse triste.
La marraine de Cendrillon choisit, au hasard, deux souris parmi quatre-vingts souris (afin,
comme chacun le sait, de les transformer en magnifiques chevaux pour tirer le carrosse). Or 10%
des souris sont boiteuses et le resteraient même transformées. Avec un cheval boiteux, Cendrillon
arrivera en retard au bal (mais rien ne serait compromis) tandis qu’avec deux chevaux boiteux,
Cendrillon n’arrivera jamais au bal et le conte finira triste.
Calculer la probabilité pour que Cendrillon arrive à l’heure au bal.
Calculer la probabilité pour que Cendrillon arrive en retard au bal.
En déduire la probabilité pour que le conte finisse triste.
Sachant que le conte a fini selon la tradition par un mariage et plein d’enfants, quelle est la
probabilité pour qu’il y ait eu en cheval boiteux dans l’attelage ?
Le Père Noël arrive en fin de tournée, un peu fatigué, devant la cheminée des jumelles Morgane
et Mélusine. Il reste dans sa hotte quinze jouets dont trois poupées Barbie. Et voici que le Père
Noël, au lieu de consulter ses listes, s’en remet au hasard et tire successivement deux jouets de sa
hotte puis attribue le premier jouet à Morgane et le second à sa sœur Mélusine. Or, Morgane et
Mélusine (personne n’est parfait !) ne rêvent que d’avoir une poupée Barbie et la nuit de Noël
finirait dans un océan de larmes si aucune des deux n’en recevait.
Calculer la probabilité de l’événement : « Morgane reçoit une poupée Barbie » puis de
l’événement : « Mélusine reçoit une poupée Barbie » enfin celle de l’événement : « Les deux
jumelles reçoivent une poupée Barbie ».
Calculer la probabilité pour que la nuit de Noël finisse dans un océan de larmes.
Sachant que la nuit de Noël a fini dans la joie calculer les probabilités :
a) Pour que Mélusine ait eu une poupée Barbie.
b) Pour que les deux jumelles aient eu une poupée Barbie.
Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de poupées Barbie encore présentes dans la
hotte du père Noël après cette dernière distribution. Déterminer la loi de probabilité de X, son
espérance et sa variance.
2005/2006
CONTES IMPROBABLES
TS 3
CORRIGE.
Premier conte probabiliste. Modèle : On peut modéliser l’épreuve par un tirage successif sans
remise de trois boules dans une urne qui contient douze boules numérotées de 1 à 12.
Une issue possible est un triplet (i ; j ; k) avec 1 ≤ i ≤ 12 et 1 ≤ j ≤ 12 et 1 ≤ k ≤ 12 et i ≠ j et i ≠ k et
j ≠ k (par exemple, le triplet (10 ; 7 : 11)).
L’univers Ω de l’épreuve est l’ensemble de tous les triplets (i ; j ; k) possibles et donc :
card (Ω) = 12 × 11 × 10 =1 320.
Le tirage se fait au hasard et on peut alors faire l’hypothèse de l’équiprobabilité dans Ω, chaque
1
événement élémentaire ayant la probabilité
.
1 320
Quelle est la probabilité pour que l’une de ces trois jeunes filles devienne la princesse ?
Réponse : Sachant qu’il n’y a que deux jeunes filles qui n’ont pas la bonne pointure on peut en
déduire que tout triplet contiendra une jeune fille ayant la bonne pointure. L’événement considéré
est donc certain et sa probabilité vaut 1.
Quelle est la probabilité pour que Cendrillon se retrouve avec ses deux demi-sœurs devant le
prince ?
Réponse : Attribuons, par exemple, à Cendrillon la boule numérotée 1 et à ses deux demi-sœurs les
boules numérotées 2 et 3. Il faut dénombrer les triplets contenant les nombres 1, 2, 3. Il y en a
clairement 6 : (1 ; 2 ; 3) ; (1 ; 3 ; 2) ; (2 ; 1 ; 3) ; (2 ; 3 ; 1) ; (3 ; 1 ; 2) ; (3 ; 2 ; 1). La probabilité
6
1
cherchée vaut donc
=
.
1 320 220
Quelle est la probabilité pour que Cendrillon se retrouve en concurrence avec la fée Carabosse ?
Réponse : Attribuons , par exemple, à la fée Carabosse la boule numérotée 4. Il faut dénombrer les
triplets contenant les nombres 1 et 4. Il y a 10 choix pour le troisième élément du triplet et 6 ordres
distincts pour le triplet : (1 ; 4 ; *) ; (1 ; * ; 4) ; (4 ; 1 ; *) ; (4 ; * ; 1) ; (* ; 1 ; 4) ; (* ; 4 ; 1), (par
convention * représente n’importe quel numéro distinct de 1 et 4). Il y a donc 60 triplets distincts
60
1
qui réalisent l’événement qui nous intéresse et sa probabilité vaut donc
=
.
1 320 22
Dans ce cas, quelle est la probabilité pour que le prince (qui fait essayer la pantoufle aux jeunes
filles suivant leur numéro d’ordre) épouse la fée Carabosse ?
Réponse : La question est plus délicate qu’il n’y paraît. Premièrement il y a un changement
d’univers car on suppose en fait que l’événement « Cendrillon se retrouve en concurrence avec la
fée Carabosse » s’est réalisé, c’est-à-dire que les issues possibles sont les seules soixante évoquées
ci-dessus. Parmi ces soixante triplets il faut dénombrer ceux où la fée Carabosse se trouve placée
avant Cendrillon mais aussi avant toute autre jeune fille chaussant du 37. Il faut donc dénombrer les
triplets du genre (4 ; 1 ; *) ou (4 ; * ; 1) (on garde les mêmes notations qu’au-dessus) sans oublier
10 + 10 + 2 11
les triplets (2 ; 4 ; 1) et (3 ; 4 ; 1). Donc la probabilité cherchée vaut
=
.
60
30
Deuxième conte probabiliste. Modèle : On peut modéliser l’épreuve par un tirage successif sans
remise de trois boules dans une urne qui contient cinq boules numérotées de 1 à 5.
Une issue possible est un triplet (i ; j ; k) avec 1 ≤ i ≤ 5 et 1 ≤ j ≤ 5 et 1 ≤ k ≤ 5 et i ≠ j et i ≠ k et j ≠
k (par exemple le triplet (3 ; 5 : 1)).
L’univers Ω de l’épreuve est l’ensemble de tous les triplets(i ; j ; k) possibles et donc :
card (Ω) = 5 × 4 × 3 = 60.
Le tirage se fait au hasard et on peut alors faire l’hypothèse de l’équiprobabilité dans Ω, chaque
1
événement élémentaire ayant la probabilité
.
60
Calculer la probabilité pour que le porc trépasse.
Réponse : Attribuons aux deux bonnes pommes les numéros 1 et 2, aux deux pommes véreuses les
numéros 3 et 4 et le numéro 5 à la pomme empoisonnée. Le porc trépasse dans tous les cas
suivants :
1) le triplet commence par 3 ou 4 ce qu’on peut noter (3 ; * ; *) ou (4 ; * ; *) ( on note * n’importe
quel numéro distinct des numéros connus dans le triplet) ou
2) contient une pomme véreuse donc le 3 ou le 4 en seconde position après une bonne pomme
donc après le 1 ou le 2 donc les triplets (1 ; 3 ; *)ou (1 ; 4 ; *) ou (2 ; 3 ; *) ou (2 ; 4 ; *) ou
3) contient une pomme véreuse donc le 3 ou le 4 en troisième position après les deux bonnes
pommes donc les triplets (1 ; 2 ; 3) ou (1 ; 2 ; 4) ou (2 ; 1 ; 3) ou (2 ; 1 ; 4).
Type de triplets
(3 ; * ; *)
(4 ; * ; *)
(1 ; 3 ; *)
(1 ; 4 ; *)
(2 ; 3 ; *)
(2 ; 4 ; *)
(1 ; 2 ; 3) ou (1 ; 2 ; 4) ou (2 ; 1 ; 3) ou (2 ; 1 ; 4)
Nombre de triplets
12
12
3
3
3
3
4
Il y a donc 40 triplets qui réalisent l’événement qui nous intéresse et sa probabilité vaut
40 2
= .
60 3
Calculer la probabilité pour que Blanche-Neige mange les deux bonnes pommes.
Réponse : Blanche-Neige mange les deux bonnes pommes dans tous les cas suivants : (1 ; 2 ; *) ou
6
=
(2 ; 1 ; *). Il y a 3 triplets de chaque type donc 6 triplets en tout et la probabilité cherchée vaut
60
1
.
10
Calculer la probabilité pour que le conte finisse triste.
Réponse : il y a deux interprétations possibles.
1) Si vos convictions philosophiques font que toute mort d’un être vivant implique que le conte
finisse triste alors cet événement est certain et sa probabilité est égale à 1. En effet comme
Blanche-Neige choisit trois pommes et qu’il n’y a que deux bonnes pommes soit la troisième est
véreuse et elle jette toutes les pommes restantes au cochon qui décèdera soit la troisième est
empoisonnée et c’est elle qui trépassera.
2) Si vous pensez que seule la mort de Blanche-Neige constitue une triste fin alors il faut
dénombrer les triplets de la forme : (5 ; * ; *) ou (1 ; 5 ; *) ou (2 ; 5 ; *) ou (1 ; 2 ; 5) ou (2 ; 1 ;
20 1
5). Il y en a donc 12 + 3 +3 + 1 +1 = 20 et la probabilité cherchée vaut
= .
60 3
Remarque : ce résultat n’est pas étonnant car il est aisé de comprendre que l’événement « le
porc trépasse » et l’événement « Blanche-Neige trépasse » sont contraires.
Troisième conte probabiliste.
Modèle : clairement l’ordre n’a pas d’importance dans ce
problème donc on peut modéliser l’épreuve par un tirage simultané de deux boules dans une urne
qui contient 80 boules numérotées de 1 à 80.
Une issue possible est une paire{i ; j} avec 1 ≤ i ≤ 80 et 1 ≤ j ≤ 80 (par exemple la paire {19 ; 68}).
L’univers Ω de l’épreuve est l’ensemble de toutes les paires possibles et donc
80 × 79
card (Ω) =
= 3 160.
2
Le tirage se fait au hasard et on peut alors faire l’hypothèse de l’équiprobabilité dans Ω, chaque
1
événement élémentaire ayant la probabilité
.
3 160
Calculer la probabilité pour que Cendrillon arrive à l’heure au bal.
Réponse : Cendrillon arrivera à l’heure au bal, si et seulement si, la paire de chevaux a été choisie
72 × 71
parmi les 72 souris vaillantes ce qui peut se faire de
façons et la probabilité cherchée vaut
2
2 556 639
=
.
3 160 790
Calculer la probabilité pour que Cendrillon arrive en retard au bal.
Réponse : Cendrillon arrivera en retard au bal, si et seulement si, un cheval provient d’une souris
vaillante et l’autre d’une souris boiteuse ce qui peut se faire de 72 × 8 façons (attention ici il ne faut
72
576
=
.
pas diviser par 2 ! ! !) et la probabilité cherchée vaut
3 160 395
En déduire la probabilité pour que le conte finisse (très) triste.
Réponse : le conte finira triste si et seulement si la paire de chevaux a été choisie parmi les 8 souris
28
7
8×7
boiteuses ce qui peut se faire de
façons et la probabilité cherchée vaut
=
.
2
3 160 790
L’énonce suggérait qu’on pouvait déduire cette probabilité des questions précédentes et en effet elle
7
639 72 
est égale à : 1 – 
+
=
.

790 395 790
Quatrième conte probabiliste.
Modèle : On peut modéliser l’épreuve par un tirage successif
sans remise de deux boules dans une urne qui contient quinze boules numérotées de 1 à 15.
Une issue possible est un couple (i ; j) avec 1 ≤ i ≤ 15 et 1 ≤ j ≤ 15 et i ≠ j (par exemple le couple
(13 ; 5)).
L’univers Ω de l’épreuve est l’ensemble de tous les couples (i ; j) possibles et donc :
card (Ω) = 15 × 14 = 210.
Le tirage se fait au hasard et on peut alors faire l’hypothèse de l’équiprobabilité dans Ω, chaque
1
événement élémentaire ayant la probabilité
.
210
Calculer la probabilité de l’événement : « Morgane reçoit une poupée Barbie » puis de
l’événement : « Mélusine reçoit une poupée Barbie » enfin celle de l’événement : « Les deux
jumelles reçoivent une poupée Barbie ».
Réponse : Attribuons aux trois poupées Barbie les numéros 1 , 2 et 3.
Morgane reçoit une poupée Barbie dans tous les cas suivants (1 ; *) ou (2 ; *) ou (3 ; *) en
convenant de noter * n’importe quel numéro distinct du numéro connu dans le couple. Comme il y
a, à chaque fois, 14 choix possibles cela fait 42 couples distincts et la probabilité de l’événement :
42 1
« Morgane reçoit une poupée Barbie » est égale à
= .
210 5
Mélusine reçoit une poupée Barbie dans tous les cas suivants (* ; 1) ou (* ; 2) ou (* ; 3). Comme il
y a, à chaque fois, 14 choix possibles cela fait 42 couples distincts et la probabilité de l’événement :
42 1
« Mélusine reçoit une poupée Barbie » est égale à
= .
210 5
Remarque : il n’ y a pas de jumelle favorisée ! ! !
Les deux jumelles reçoivent une poupée Barbie dans tous les cas suivants (1 ; 2 ) ; (1 ; 3) ; (2 ; 1 ) ;
(2 ; 3) ; (3 ; 1) ; (3 ; 2 ) et la probabilité de l’événement : « Les deux jumelles reçoivent une poupée
6
1
Barbie » est égale à
=
.
210 35
Calculer la probabilité pour que la nuit de Noël finisse dans un océan de larmes.
Réponse : Commençons par calculer la probabilité de l’événement : « Morgane ou Mélusine
1 1 1 13
= .
reçoivent une poupée Barbie ». D’après une propriété du cours elle se calcule par : + –
5 5 35 35
L’événement : « la nuit de Noël finit dans un océan de larmes » est le contraire de l’événement ci
13 22
dessus et sa probabilité est donc 1 –
=
.
35 35
Remarque : on peut également obtenir cette probabilité directement en dénombrant les couples ne
132 22
contenant aucun des numéros 1, 2 ou 3. Il y en a 12 × 11 =132 et la probabilité est alors de
=
210 35
Deuxième solution (utilisation d’un arbre) :