exercices sur l`integrale de riemann

EXERCICES SUR L’INTEGRALE DE RIEMANN
1. a) Si fest une fonction en escalier, montrez que |f|est aussi en escalier.
b) Si fet gsont en escalier, montrer que f+get f g sont en escalier.
2. On rappelle les notations suivantes, valables pour toutes fonctions ϕet ψ:
–max(ϕ, ψ)est la fonction qui à xassocie max(ϕ(x), ψ(x)),
–min(ϕ, ψ)est la fonction qui à xassocie min(ϕ(x), ψ(x)),
–ϕ+= max(ϕ, 0) et ϕ−= max(−ϕ, 0).
a) Montrer que, pour tous réels αet β, l’on a
max(α, β) = 1
2(|α−β|+α+β),
et trouver une formule analogue pour min(α, β).
b) En déduire que si fet gsont en escalier (resp. intégrables), alors max(f, g),min(f, g),f+,f−
sont en escalier (resp. intégrables).
3. On note E(x)la partie entière du nombre x. Calculer, pour a > 0, l’intégrale
a
Z
0
E(x)dx.
4. Soit fl’application de [ 0,1 ] dans Rdéfinie par f(x) = x. Soit ε > 0. Construire deux
fonctions en escalier get Gde [ 0,1 ] dans R, telles que
g≤f≤Get
1
Z
0
(G(x)−g(x)) dx ≤ε .
5. Soit fune application en escalier de [a, b ]dans R. On pose, pour xdans [a, b ],
F(x) =
x
Z
a
f(t)dt .
a) Montrer que Fest continue sur [a, b ].
b) Soit cdans ]a, b [. On suppose que lim
x→c+f(x)6= lim x→c−f(x). Montrer que Fn’est pas dérivable
au point c.
1

6. Démontrer la croissance de l’intégrale : si fet gsont intégrables sur [a, b ], et si f≤g,
alors b
Z
a
f(x)dx ≤
b
Z
a
g(x)dx .
7. Soient met Mdeux réels tels que 0< m < M, et soit fune application intégrable de [a, b ]
dans [m, M ]. Montrer que 1/f est intégrable sur [a, b ].
8. Soit fune fonction bornée définie sur [a, b ]à valeurs dans R, et continue sur ]a, b ].
Montrer que fest intégrable sur [a, b ].
Plus généralement montrer qu’une fonction bornée définie sur [a, b ]à valeurs dans Rcontinue
sauf en un nombre fini de points est intégrable au sens de Riemann.
9. Montrer que le produit de deux fonctions Riemann-intégrables est Riemann-intégrable.
10. Soit fla fonction définie sur [ 0,1 ] par
f(x) = (−1)E(1/x)si 0< x ≤1
0si x= 0
où E(u)désigne la partie entière de u.
a) Montrer que fest intégrable sur [ 0,1 ] .
b) Calculer
1
Z
0
f(x)dx sachant que lim
n→+∞
n
X
k=1
(−1)k+1
k= ln 2.
11. Soit fune application décroissante de [ 0,+∞[dans Rqui tend vers zéro à l’infini. Cal-
culer lim
n→+∞
n2
Z
n
f(t)eit dt.
12. Pour tout réel λ, et toute fonction Riemann-intégrable fde [a, b ]dans Ron pose
I(λ) =
b
Z
a
f(x)eiλx dx .
a) Si fest en escalier, montrer que I(λ)admet 0pour limite lorsque λtend vers +∞.
b) En déduire le résultat dans le cas général (Théorème de Riemann-Lebesgue).
c) Si fest décroissante et positive, montrer que la fonction qui à λassocie λI(λ)est bornée au
voisinage de l’infini.
2

d) Montrer que ce dernier résultat est encore vrai si fest de classe C1.
13. Soit fune application intégrable de [a, b ]dans C. Démontrer l’inégalité
b
Z
a
f(x)dx≤
b
Z
a|f(x)|dx , (1)
par la méthode suivante :
on montre tout d’abord (1) lorsque fest en escalier, puis on traite le cas général par passage à
la limite.
3

Corrigé
1. Si fest une fonction en escalier, et si (x0, x1,...,xn)est une subdivision adaptée à f, avec
f(x) = λipour xdans ]xi−1, xi[, alors on a dans le même intervalle |f(x)|=|λi|, donc |f|est
aussi en escalier.
Remarque : il en est de même pour φ◦f, lorsque φest une application numérique définie sur
l’image de f, puisque, pour xdans ]xi−1, xi[, on a φ◦f(x) = φ(λi).
Soient fet gdeux fonctions en escalier. Si (x0, x1,...,xn)est une subdivision adaptée à fet
(x′
0, x′
1,...,x′
p)est une subdivision adaptée à g. L’ensemble formé des points de ces deux subdi-
visions donne une nouvelle subdivision (x′′
0, x′′
1,...,x′′
q)qui est une subdivision plus fine que les
deux premières. (Remarque : x0=x′
0=x′′ 0, et xn=x′
p=x′′
q).
Sur ]x′′
i−1, x′′ i[, on a
f(x) = λiet g(x) = µi,
alors
(f+g)(x) = λi+µiet (fg)(x) = λiµi,
ce qui prouve que les fonctions f+get f g sont en escalier.
2. a) Si α≥β, on a |α−β|=α−βet
1
2(|α−β|+α+β) = 1 2((α−β) + α+β) = α= max(α, β).
Si α≤β, on a |α−β|=−α+βet
1
2(|α−β|+α+β) = 1 2((−α+β) + α+β) = β= max(α, β).
Puisque l’on a max(α, β) + min(α, β) = α+β, on en déduit
min(α+β) = 1
2(−|α−β|+α+β).
b) Si fet gsont en escalier (resp. intégrables), il en est de même de f+gde f−g, puis de |f−g|,
et donc, des combinaisons linéaires (|f−g|+f+g)/2et (−|f−g|+f+g)/2, c’est-à-dire de
max(f, g)et de min(f, g).
En particulier, puisque 0est en escalier et intégrable, il en est de même de max(f, 0) et de
max(−f, 0) c’est-à-dire de f+et f−.
3. La fonction Eest en escalier sur l’intervalle [ 0, a ]. Soit n= E(a). On a donc n≤a < n + 1.
Alors (0,1,...,n,a)est une subdivision adaptée à la fonction E, et l’on a
E(x) = i−1 si x∈]i−1, i [ et 1 ≤i≤n
nsi x∈]n, a [.
4

On a donc a
Z
0
E(x)dx =
n
X
i=1
(i−1)(i−(i−1)) + n(a−n).
Mais n
X
i=1
(i−1)(i−(i−1)) =
n
X
i=1
(i−1) ,
est la somme des entiers de 0àn−1et vaut donc n(n−1)/2, donc
a
Z
0
E(x)dx =n(n−1)
2+n(a−n).
Que l’on peut écrire encore
a
Z
0
E(x)dx =E(a)(E(a)−1)
2+ E(a)(a−E(a)) .
4. Soit n > 1/ε, et soit ientre 1et n. On pose, si xappartient à [ (i−1)/n, i/n [
g(x) = i−1
net G(x) = i n,
avec g(1) = G(1) = 1. Alors dans [ (i−1)/n, i/n [
g(x)≤x≤G(x).
Les inégalités précédantes sont donc vraies pour tout xde [ 0,1 ] . Par ailleurs dans [ (i−1)/n, i/n [,
on a
G(x)−g(x) = 1
n.
Alors on obtient
1
Z
0
(G(x)−g(x)) dx =
n
X
i=1
1
ni n−i−1 n=
n
X
i=1
1
n2=1 n< ε .
(L’intégrale est l’aire de ncarrés de côté de longueur 1/n).
5. Si (x0, x1,...,xn)est une subdivision adaptée à fet si f(x) = λisur ]xi−1, xi[, on a, pour
xdans [xp−1, xp[,
F(x) =
x
Z
0
f(t)dt =
p−1
X
i=1
λi(xi−xi−1) + λp(x−xp−1),
et si xse trouve dans [xp, xp+1 [,
F(x) =
x
Z
0
f(t)dt =
p
X
i=1
λi(xi−xi−1) + λp+1(x−xp).
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