distances et angles

1,2 cm
4,5 cm
1,5 cm
(MN) // (AB)
N
M
CB
A
Chapitre : Distances et angles
I Thalès
Théorème de Thalès (admis) : On considère un triangle ABC. M est un point de [AB] et N un point de [AC].
Si les droites (MN) et (BC) sont parallèles alors on a : AB
AM = AC AN = BC MN
Question : Calculer AB.
Réponse : J’applique le théorème de Thalès :
M ∈ [AB]
N ∈ [AC] donc AB
AM = AC AN = BC MN
( MN ) // ( BC )
On a : AB
1,1 = 6 1,5 donc AB = 1,2 × 4,5 1,5 = 3,6 cm (on utilise la règles de trois pour les équations)
Remarque : on a aussi AM
AB = AN AC = MN BC. Il faut choisir grand petit ou petit grand puis être cohérent.

?
9 cm
50° B
A
C
?
3 cm
7 cm
B
A
C
II Cosinus
a ) Vocabulaire
Considérons un triangle ABC rectangle en A.
Définition : Dans un triangle rectangle, la fraction du côté adjacent à un angle par l’hypoténuse
s’appelle le cosinus de cet angle.
Le cosinus de l’angle ♀ B se note cos ( ♀ B ).
On a donc : cos (♀ B ) = adjacent à ♀
B
hypoténuse
Exemples : cos ( ♀ B ) = BA
BC et cos (♀
C ) = CA
CB
Puisque ♀ C = 60°, on peut écrire cos ( 60 ) = 5
10 = 0,5
Remarque 1 : la calculatrice calcule le cosinus d’un nombre avec la touche cos.
exemples : cos 60 donne 0,5 (si ce n’est pas le cas, c’est qu’il faut mettre les unités d’angle en degré)
cos ( 38 ) ≈ 0,79
Remarque 2 : l’hypoténuse étant le plus grand côté, un cosinus est un nombre toujours plus petit que 1.
b ) Calcul de longueur
On considère la figure suivante :
Question : Calcule la longueur AB à 0,01 près.
Réponse : Dans le triangle ABC rectangle en A on a : cos ( ♀ B ) = BA
BC
donc cos ( 50 )
1 = 9 BA donc AB = 1 × 9 cos ( 50 ) ≈ 14 cm
c ) Calcul de mesure d’angle
Connaissant la valeur du cosinus d’un angle, la calculatrice permet de trouver la mesure de cet angle avec la
touche arccos ou cos
− 1
.
exemples : si cos (♀ A ) = 0,5 alors ♀ A = arccos ( 0,5 ) = 60°
arccos ( 0,74 ) ≈ 42°
On considère la figure suivante :
Question : Calcule la mesure de l’angle ♀ B arrondie au degré près.
Réponse : Dans le triangle ABC rectangle en A on a :
cos ( ♀ B ) = BA
BC = 3
7 donc ♀
B = arccos ( 3 : 7 ) ≈ 65 °
♀
B
[BC] est l’hypoténuse
[BA] est le côté
adjacent à l’angle ♀ B
60°
10 cm
5 cm
C
A
B

C
B
O'
P'
N
MO
P
A
35°
?
12 C
B
A
?24
72°
M
KL
?
52°
4,8
Q
S
R
Activité : Sur la figure de droite, la petite maison a été agrandie :
On a « zoomé » sur le point A de tel sorte qu’avant l’agrandissement, il
y avait la petite maison et après l’agrandissement, on a obtenu la grande
maison.
a ) Après l’agrandissement, où se retrouve le point P ? Et O ? Et N ?
En quoi ont été agrandi : les segments [MO] et [NA], le triangle AMN ?
b ) La grande maison est combien de fois plus grande que la petite ?
Trouve 5 fractions de longueur qui valent 3.
c ) Trouve 3 paires de droites parallèles.
Exercice 1 : Dans chaque cas, calcule la longueur indiquée à 0,1 cm près.
a ) b )
c )
Exercice 2 : Complète le tableau suivant avec des nombres arrondis à 0,01 près.
x 18 65
cos(x) 0,15 0,78
2
3
Exercice 3 : ABC tel que : AC = 5 cm et ☺ ACB= 30°. Calcule la distance du point A à la droite (BC).
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
Exercices pour préparer le contrôle (ne pas oublier ses affaires de géométrie et sa calculatrice)
Exercices du livre : 26 P 230 ; 78 P 236 ; 72 ; 73 P 252
Exercice : a ) ABC est un triangle tel que AB = 12 cm, AC = 16 cm et BC = 20 cm.
Calcule, au degré près, les mesures des angles du triangle ABC.
b ) F est un point d’un cercle de diamètre [GE] tel que GE = 6 cm et GF = 5 cm.
Prouve que ☺ EGF ≈ 33,6° puis déduis en la distance entre le point F et la droite (GE) à 0,1 cm près.

16
2012
C
B
A
GE = 6
5
H
F
E
G
Résultats des exercices pour préparer le contrôle
26 P 230 ; 78 P 236 ; 72 ; 73 P 252 sont des exercices corrigés P 288
Exercice :
a ) Prouvons que le triangle ABC est rectangle : on a BC² = 20² = 400 et AB² + AC² = 12² + 16² = 40 donc BC² = AB² + AC²
D’où : le triangle ABC est rectangle en A d’après le théorème réciproque de Pythagore.
Ainsi : ♀
♀♀
♀
A = 90°
Dans le triangle ABC est rectangle en A on a :
• cos ( ♀ B ) = BA
BC = 12 20 donc ♀
♀♀
♀
B = arccos ( 12
20 )
≈
≈≈
≈ 53°
• ♀
♀♀
♀
C ≈
≈≈
≈ 180 – ( 90 + 53 ) ≈
≈≈
≈ 37°
b ) Le triangle EFG est rectangle en F car F est un point du cercle de diamètre [GE].
Dans le triangle EFG est rectangle en F on a :
cos ( ♀ G ) = GF
GE = 5 6 donc ♀
G = arccos ( 5
6 )
≈ 33,6°
Dans le triangle FGH est rectangle en H on a :
• ☺ GFH ≈ 180 – ( 90 + 33,6 ) ≈ 56,4°
• cos (
☺
GFH) = FH
FG donc cos ( 56,4 )
≈ FH
5 donc FH
≈ 5 × cos ( 56,4 ) ≈ 2,8 cm
La distance du point F à la droite (GE) est donc d’environ 2,8 cm