Factorisation de Ritt pour les polynômes exponentiels

A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T OULOUSE
JACQUES L ABEYRIE
Factorisation de Ritt pour les polynômes exponentiels formels
Annales de la faculté des sciences de Toulouse 5e série, tome 4, no 3-4 (1982), p. 281-289
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Annales Faculté des Sciences Toulouse
Vol
IV,1982, P 281 à 289
FACTORISATION DE RITT POUR LES
POLYNOMES EXPONENTIELS FORMELS
Jacques Labeyrie
(1)
(1 J Centre Océanologique de Bretagne,
B.P.
337, 29273 Brest Cédex - France.
Résumé : Le théorème de factorisation démontré
en
nentielles
dans ([ ,
exponentiels formels dans
téristique
zéro. Soit exp X la série formelle
est ici
généralisé
aux
polynômes
J.F.
Xn et F(X)
L
=
n~
n=0
aQ(X) E K[X]. Alors F(X) est dit simple si
1928 par
le
Q-espace
F(X)
factorise
sous
la forme
vectoriel
engendré
et les
vectoriel
Gj
engendré
sont en fait
un anneau
démontrés
de Gauss
Summary :
non
en
is said to be
a
Xi est de dimen-
fi Fi(X) TT
si pour tous i ~
i’,
le
Q-espace
(Les
résultats
plusieurs variables). L’anneau des polynômes exponentiels
est alors
i de
F~’
et
les
est
j=1
unique
n’est pas de dimension 1.
de
Àj~ ~
polynomials
simple
in any
°
L1
algebraically
L
and F(X)
n=0 n~
Q=11
if the -linear space generated
=
factorization in the form
a
XQ’ i~ of
is not of dimension 1, whenever i ~ i’.
factorization is
exponential
sums
in C is
now
closed field K of characteristic
gene-
zero.
Let
aQ(X) exp(ÀQ X) with aQ(X) E K[X] . Then
by the Ai has dimension 1. We
prove then
n
fi F.(X) JY
tible. Such
The
par les
Fi sont sim-
m
F has
aQ(X) exp(ÀQ X) avec
factoriel.
exp X be the formal series
F(X)
carac-
n
The Ritt factorization theorem proved in 1928 for
ralized to exponential
expo-
corps de
les
irréductibles. De plus cette factorisation
par les
un
sommes
G.(X) où
se
i =1
ples
L
Q=1
m
sion 1. On montre que
Ritt pour les
G.(X) with the
F.
simple and the G. irreduc-
unique provited the Q-linear space generated by the 03BBl,iof F.
(Actually results are proved
ring of the exponential polynomials is then a Gauss ring
but not
a
in several
factorization
ring.
and the
variables).
.
282
INTRODUCTION
Rappelons qu’un polynôme exponentiel complexe est dit simple si le Q-espace engendré par ses fréquences est de dimension 1. Le théorème établipar J.F. Ritt [2] en 1927, permet de
factoriser tout polynôme exponentiel complexe en un nombre fini de facteurs simples et de facteurs irréductibles. Nous proposons ici une généralisation de ce théorème à l’anneau
Em des polynômes exponentiels formels de Km, valable dans tout corps K de caractéristique nulle. Nous utilisons pour cela une nouvelle démonstration qui évite tout usage de la structure d’espace de
dimension 2
sur
IR de C. Il
en
résulte que
Em est un anneau de Gauss non noethérien.
1. - GENERALITES
Soit
K[[Y]] l’algèbre des séries formelles à coefficients dans K, on
notera
Soient
Dans l’anneau des
polynômes
K[X~,...,Xm] , on notera
on a alors
Dans
l’algèbre
K[[X1,...,Xm]] des séries formelles à m
nentiel formel de. Km
ai E Km,
de
ai
f(X), et
une
V i ~
série entière formelle à
m
indéterminées,
appelle polynôme expo-
indéterminée de la forme
j, ai(X) est un élément non nul de K[X].
les polynômes
a~(X) les coefficients de f(X).
J
on
Les
ai
sont
appelés les fréquences
L’ensemble
Em
polynômes exponentiels
des
Km
formels de
est clairement une sous-
algèbre de l’algèbre
Em sont de la forme À exp( a,X >) où À E K* et a E Km.
Un élément f(X) de Em à coefficients dans K est dit simple si les fréquences de f(X)
engendrent un Q-espace de dimension 1. Deux éléments simples de Em tels que leurs fréquences
Les inversibles de
deux sont dits incommensurables.
engendrent un Q-espace de dimension
’
REMARQUE 1. Si le corps K est algébriguement clos,
jamais irréductible dans
En
effet, soit P(Y)
P(exp( a,X >))
E
K[Y]
2. - DIVISIBILITE DANS
toutes ses
Wf
engendré
Em dont l’une au
PROPOSITION 1. Soit
une
base de
telle
si
base de
Soit
f(X) se
et
f(X)
Ph (Y)
Em n’est
Alors
=
au §
4.
Ritt,
on
une
base
négatives. Enfin,
moins des fréquences est nulle.
un
non
élément de
la
proposition
1
qui
va
suivre.
s’il s’écrit
admet
par
appliquera
wl,...,wq
on
Em de la forme ( ~ )
notera
dans
laquelle chaque ai
Em
le sous-ensemble des
soit g(X) E
a
Em. Alors il existe
.’
factorise
f(X) E Em de
h(X) E Em tel
soit
simple de
irréductibles seront caractérisés
sous
la forme
g(X) . h(X)
oÙ h E
chaque fréguence de g(X) soient rationnelles > o.
Preuve. Soit
IN*,
élément
Em ET FREQUENCES
composantes rationnelles
éléments de
simples
Em est de la forme (
qu’un élément de
-espace
qu’un
et pour tout h E
sont à la fois
qui
Pour établir le théorème de
et si le
voit
>)).
=
Les éléments
On dira
on
la forme
que l’on ait
( ~ ). Soit g(X) E Em
f(X) h(X) . g(X),
=
et
,
écrivons
les composantes dans cette
Si
on
on
u
note 0 U’ o
voit que pour tout i
=
t, l’ensemble des
j
r, o
k Q, alors
wo, n’appartenant
pas à
Wf. Grâce au
valeurs f3j +
o
o,...,n
et que
a) Supposons qu’il
théorème de la base
du
Q-espace
U
existe
un
certain
noté
incomplète on peut trouver une base
par l’ensemble des
engendré
lexicographique dans U
relatif à la base
fréquences
pose 8 ~i + y, et on voit que
=
une
fréquence
contradiction. Par su ite
on a
U
wi
tif pour
On
h(X).
On note > l’ordre
~io,...,~ir (resp 70,...,7Q)
pour l’ordre > .
de
f(x) qui
composante
a une
non
nulle
sur
wo, d’où la
W f.
pour j = jjo l’élément 03B2jJ admette une composante négative sur la
soit négaa du groupe symétrique
03A3q telle
,...,wil existe donc une permutation
lexicographique dans Wf relatif à la base
),...,wo(q)(noté>).
b) Supposons
base
et
:
Ainsi 6 est
=
f(X), g(X)
w 0’’’.’ w s.
Soit {3 (resp 7) le plus grand des éléments
On
de
que
que 03B2jo
l’ordre
"
Soit 13’ (resp ~’) le plus petit
pose 6’ = ~i’ + l’ et on voit que,
Ainsi 8’ est
contradiction.
une
fréquence
de
des éléments
f(x) qui
~io,...,~ir (resp 70,...,7~)
a une
composante négative
pour l’ordre >.
sur
d’où la
3. - THEOREME DE FACTORISATION DE RITT
On
se
propose de démontrer dans
THEOREME 1. Tout élément de
sous
Em
se
Km
le théorème de Ritt.
factorise de
à
façon unique,
un
facteur inversible
près,
la forme
où les
fi(X) sont des éléments de Em simples,
des éléments de
On
Em irréductibles,
aura
besoin,
PROPOSITION 2. Soit V
tout
un
non
associés à
d’abord,
de la
deux à deux
un
incommensurables,
et les
gi(X) sont
élément simple.
proposition suivante ::
espace vectoriel
sur
K. Pour tout
v
E
V,
soit
tv la
translation de
V
: x ~ x + v. Soit S une partie finie de V.
Alors il existe v E S et une base ~ du (Q-espace
1~v ~) ait dans la base ~ toutes
de
La démonstration de la
ses
W
engendré par
tels que
chaque élément
composantes rationnelles positives.
propriété
2 est immédiate à
partir des deux lemmes qui sui-
vent.
LEMME 1. Soit T une partie finie de
Pour
qu’il existe
une
base
.
o de l dans laquelle chaque élément de T ait toutes ses
coordonnées positives il suffit
de
dans laquelle
gu’il existe une base ~ 1 de
T aient leur n-uplet de coordonnées positif pour l’ordre
lexicographique.
Preuve. Soit A
=
une
matrice carrée
‘.C
régulière
tous les
à coefficients rationnels
éléments
positifs. Soient
tl,...,tQ des rationnels.
On note A’ la matrice carrée
On montre
tous non nuls
pour
base de
qu’il existe alors des rationnels
laquelle la matrice de changement de
condition du lemme.
tels que la base
à
~~
est
la matrice
A’,
de l,
satisfasse la
Q É S’il existe
L E M M E 2Soit T une partie finie de
de T ont leurs coordonnées
positives, alors
une
il existe
base
une
o
de
l dans laquelle les éléments
base W du sous-espace W engendré par T
dans laquelle les éléments de T ont leurs coordonnées positives.
Preuve. Soit
alors
on
o
...,wg les fonctions coordonnées associées à
...,eg ) et soient
=
voit que pour tout
~ T on
a
la base
o,
a :
’Pi E W* défini comme la restriction de ~. à W ; alors il
groupe symétrique LQ et une base ,~ _ (fl,...,fq) de W dont les
Soit W* le dual de W et soit
existe
une
permutation
o
du
fonctions coordonnées sont les formes
Par suite
nelles
chaque élément
problème
on
de T
a
dans la base .~ de W toutes
on va mettre en
de la factorisation d’un élément de
Soit V
Si
.
ses
composantes ration-
positives.
Preuve du Théorème 1. Tout d’abord
au
*
(] ),...,~po(q)
applique
la
=
Km,
soit
On note
où
W f le Q-espace engendré
problème polynômial équivalent
système des fréquences de f(X).
f(X) admet un associé de la forme ( ~ ).
et soit S le
il est alors clair que
se ramener au cas
un
Em.
f(X) un élément de
proposition 2,
On peut donc
évidence
f(X) est de la forme (,~ ).
par
S,
et on note
une
base de
W f dans la-
quelle chaque fréquence de f(X) a toutes ses composantes non négatives que l’on supposera entières (quitte à remplacer
wi par un de ses multiples rationnels que l’on note encore wi).
On pose
Yi exp( wi’x »
=
1
i
q, et par suite
f(X)
s’identifie à
un
élément
Q(Y],...,Yq) de K[X] [Y 1 ,...,Y q] .
Supposons maintenant que f(X) se factorise dans
la
alors
d’après
base
wi ,...,w q
proposition
1
on
sont rationnelles
ti ~..~t et des éléments
E~ sous la forme
voit que les composantes des
non
fréquences de chaque fi(X)
dans la
négatives ; par conséquent on peut trouver des entiers positifs
tels que l’on ait :
Réciproquement,
Où pour touti =1,...,Q
dans
on a
si pour des entiers
positifs
tl,...,tq
Q;(Y~...,Y ) C K[X] [Y~...,Y
],
il existe
une
décomposition
il est alors clair que
de
f(X) se factorise
E~ sous la forme fi ,...,fp , où pour tout i = 1 ,...,C on a
On est donc ramené
polynôme
le polynôme
un
que
Q(Y1 t1
problème suivant, qui est purement algébriqueEtant donné
l’on peut supposer irréductible, pour quels entiers positifs
tl,...,t
au
pas irréductible ?
On résoud
problème en raisonnant sur des polynômes primaires en suivant,
grandes lignes, la méthode de Ritt [2] (une démonstration détaillée est donnée dans [1 ]).
ce
dans
ses
4. - APPLICATIONS
Rappelons qu’un
d’éléments de A admet
un
THEOREME 2. L ’anneau
anneau
commutatif A est
appelé
anneau
de Gauss si tout
couple
PGCD.
Em est un anneau de Gauss non factoriel et non noetherien.
Preuve. Le théorème 1 permet de montrer que
Em est un anneau de Gauss. Pour voir que Em n’est
pas factoriel il suffit de considérer :
Par ailleurs
on
peut maintenant caractériser les éléments simples irréductibles.
THEOREME 3. Un élément
irréductible dans
Preuve.
K[Y]
simple P(exp
a,x
>)
est
irréductible si
et
seulement si
Ph (Y) est
pour tout h E IN*.
Supposons d’abord qu’il
existe h E IN* tel que
Ph
ne
soit pas irréductible :
a
X >) est un diviseur
K[Y] 1 K. Alors l’élément g(X) R(exp -,
Ph(Y)
h
propre de f dans Em. Réciproquement supposons que f(X) g(X) Q(X) ou g, Q sont non inversibles dans Em. Alors d’après la proposition 1, les fréquences de g et Q appartiennent à aQ+ et on
a
a
peut donc écrire Q(X) sous la forme R(exp -, X >) et g(X) sous la forme T(exp -, X >) où
~
n’est pas irréductible.
R(Y)
R, TE K[Y] 1 K et on voit que
=
R(Y)T(Y)
où R, T
E
=
=
T Y)
=
COROLLAIRE. Soit A
un anneau
factoriel de
caractéristique
K le corps des fractions de A. Alors l’anneau
Preuve. On considère
P(Y)
le critère d’Eisenstein
on
donc que pour tout
le théorème 3.
a
E
+ q E
=
sait que
Km,
A[Y]
Em
nulle et qui n’est pas
contient des éléments
où q est
un
élément
un
corps. Soit
simples irréductibles.
premier de A ; alors d’après
Ph(Y) est irréductible dans K[Y] pour tout h E IN* et
l’élément
P(exp
a,X >) de
Em
est
simple
et
irréductible
on
voit
d’après
289
REFERENCES
[1]
J. LABEYRIE. «Polynômes exponentiels ultramétriques». Thèse
Université de Bordeaux I
[2]
J.F. RITT.
cycle,
z)».
Trans.
(1981).
«A factorization
Amer. Math. Soc. 29
de 3ème
theory for
functions
03A 1 ~ 1 ~ n
ai
exp(03B1i
(1927), pp. 584-596.
(Manuscrit reçu
le 3 février
1982)