Les oscillations mécaniques libres Série physique 11 A- Rappel : R T A1- Oscillations mécaniques libres non amorties : Équation différentielle x’ Le solide n’est pas soumis à une force de frottement et le ressort est à spires non jointives et de masse négligeable. Le solide, ayant une élongation x, est en mouvement. i O P x x Système {solide} B.F : P,T et R R.F.D: ...... ....... ....... ........ Par projection sur l' axe (x ' x) ...... ....... ....... ........ ......... ......... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... Équation différentielle des oscillations électriques libres non amorties de pulsation propre 0 tel que 02 ...... et ...... de période propre T0 2 ..... 2 ...... ...... Solution de l’équation différentielle L’équation différentielle précédente a pour solution : x(t) Xmax sin(0 t x ) dx Vmax sin(0 t v ) avec : On peut avoir de même l’expression de v(t) dt Vmax 0 Xmax x v 2 { Remarque : x Xmax ; v ..... c.à.d lorsque le solide atteint l’une de ses positions extrémales, sa vitesse s’annule. v Vmax ; x ..... c.à.d lorsque le solide passe par sa position d’équilibre, sa vitesse est maximale. v Vmax si le solidepassepar saposition d' équilibre en se dirigeant dansle sens positif (x(t) { v V max si le solide passe par saposition d' équilibre en se dirigeant dansle sens négatif (x(t) ) ) Conservation de l’énergie totale de l’oscillateur : E = Ep + Ec. avec Ep énergie potentielle élastique du système :{solide + ressort} et EC énergie cinétique du solide. E ... ... ...... ....... ... ... dE ....... ....... .......... .......... dt ....... ....... = ……….. + ……… =V(……… + ……….) = ……. Remarque : Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari cherchari Les oscillations mécaniques libres x Xmax ; v 0 v Vmax ; x 0 106 Série physique 11 ... ... ...... 0 d’où E ...... ... ... ... ... E 0 ...... d’où E ...... ... ... E Graphes des énergies E(J) Avec x=/2 E(J) E=Epmax =Ecmax Ep Ep Ec Ec E E v2(A) 0 t(s) 0 E=Epmax =Ecmax Ep Ec E v(m.s-1) 0 A2- Oscillations mécaniques libres amorties : Équation différentielle : Dans cette partie, le solide est soumis à une force de frottement du type visqueux (appliquée par un fluide). Cette force est exercée par le liquide et elle a pour expression f hv avec h, constante positive : coefficient de frottement (h est en Kg.s-1) x’ O i x Liquide amortisseur Système {solide } B.F :P;R ; T et f R.F.D :..... ..... ..... ..... ..... Pr ojection sur laxe x ' x: ..... .... .... .... ..... ...... ...... ..... donc : ..... ..... ...... ..... ...... ..... ....... 0 . ..... ..... Influence de l’amortissement On répète la même expérience en augmentant la valeur du coefficient d’amortissement h, on obtient les graphes suivants : x(m) Pour un amortissement faible, on obtient le régime pseudopériodique, en augmentant l’amortissement (la valeur de h) : - Le nombre d’oscillations diminue. - Le pseudo période augmente. - On passe du régime pseudopériodique au régime apériodique. Régime apériodique h=h3 >h2 Régime pseudopériodique h=h1 t(s) Régime pseudopériodique h=h2 >h1 Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari cherchari Les oscillations mécaniques libres Série physique 11 Non conservation de l’énergie totale du système :{solide + ressort} : 107 dE 1 d(x 2 ) 1 d(v 2 ) K m dt 2 dt 2 dt dE 1 ..... 1 ...... dx dv dE dE K..... m...... v et a donc ...... ...... ; v(..........) or dt 2 ..... 2 ..... dt dt dt dt D’après l’équation différentielle Kx ma hv dE v( ......) hv 2 0 dt D’où l’énergie totale du système diminue au cours du temps à cause de l’énergie dissipée par les frottements. B- Applications directes : Exercice 1 : Le pendule élastique horizontal de la figure 1 est constitué par un solide (S) de masse m=0,2 Kg soudé à l’une des extrémités d’un ressort (R ) à spires non jointives de masse négligeable et de (S) (R) constante de raideur K, l’autre extrémité est attaché à un support fixe. A l’équilibre, le centre d’inertie (G) du solide (S) coïncide avec l’origine O d’un repère espace horizontal (O, i ). O i x Fig Fig.5 1 A partir du point O, on écarte le solide (S) vers un point A d’abscisse xA et à la date t=0 s, on l’abandonne à lui-même sans vitesse initiale. Au cours de son mouvement, le solide (S) se déplace sans frottement et son centre d’inertie (G) est repéré par l’élongation OG=x(t). Un système d’acquisition de données, enregistre les variations de l’élongation x au cours du temps (Voir figure 2). 1- Établir l’équation différentielle de mouvement du solide (S). 2- En utilisant le graphe : a- Préciser la nature de mouvement de (S). b- Déterminer l’abscisse initiale xA du solide (S). Dans quel sens, débute le mouvement du solide (S) ? c- Déterminer la période et la pulsation propre du mouvement. Déduire la constante de raideur K du ressort 3- Ecrire la loi horaire x=f(t) de mouvement du solide. Déduire l’expression de la vitesse du mouvement en fonction du temps. 4- L’énergie cinétique du solide varie au cours du temps selon une fonction sinusoïdale de période T a- Etablir l’expression de EC en fonction du temps. b- Donner la valeur de T. 5- Montrer que l’énergie mécanique du système ={solide + ressort} est constante. Exercice 2 : Un ressort, de constante de raideur k , est enfilé sur une tige horizontale . L'une des extrémités du ressort est fixée, l'autre est attachée à un solide (S) de masse m = 0,5 kg pouvant coulisser sur la tige. Le solide (S) est soumis à une force de frottement de la forme : f = -h v ( h 0) . 1°) L'abscisse x du solide (S) dans le repère (0, i ) vérifie l'équation différentielle suivante : 2 d2x dt 2 +8 dx + 200x = 0 dt a- Établir l’équation différentielle de mouvement du solide (S). b- Déterminer la constante de raideur k et le coefficient de frottement h . Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari cherchari Les oscillations mécaniques libres Série physique 11 2°) On écarte (S) de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale à l'origine des dates, l'abscisse x varie selon la courbe ci-contre . a) Déterminer graphiquement la pseudo-période T des oscillations . b) Calculer l'énergie mécanique initiale El de l'oscillateur . c) Calculer l'énergie mécanique de l'oscillateur à t = T . d) Déterminer le travail de la force de frottement entre les instants tl = 0 et t2 = T. 3°) On refait l’expérience précédente quatre fois de suite pour 4 valeurs différentes de h telles que : h1 h2 h3 h4108 . a) On a représenté ci-dessous , dans un ordre quelconque et à la même échelle , les variations de x(t) obtenues . 0 0 0 0 A quelle valeur hi ( i = 1,2,3,4 ) correspond chaque diagramme ? Nommer les différents types de mouvement observés sachant que l’un de ces diagrammes , que l’on précisera, correspond au retour le plus rapide du solide (S) vers son état d’équilibre ? b) Comparer l’énergie dissipée par les forces de frottement entre l’instant initial t 0=0s et l’instant de l’arrêt du solide dans chacun des cas précédents. C- Exercices de synthèse : Exercice 1 : Un solide (S) de masse m est attaché à l'une des extrémités d'un ressort horizontal parfaitement élastique , de constante de raideur k et de masse négligeable devant celle du solide x x’ (S) . L’autre extrémité du ressort est fixe. On écarte le solide (S) de sa O position d'équilibre de x0 à un instant qu'on prend comme origine Fig1 des dates , puis on l’abandonne sans vitesse . On néglige les frottements et on étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen ( O , i ) d'origine O , la position du centre d'inertie de (S) à l'équilibre et d'axe ox horizontal (fig.1) . 1°) a) A une date t quelconque , le centre d'inertie G de (S) a une élongation x et sa vitesse instantanée est v . Etablir l'expression de l'énergie mécanique E du système { solide (S) , ressort } en fonction de x , v , k et m . b) Montrer que cette énergie 'mécanique E est constante. Exprimer sa valeur en fonction de k et x0 . c) En déduire que le mouvement de (S) es rectiligne sinusoïdal . 2) A l'aide d'un dispositif approprié, on mesure la vitesse instantanée v du solide (S) pour différentes élongations x du centre d'inertie G de (S) . Les résultats des mesures ont permis de tracer la 57courbe v2 = f (x2) ( fig. 2 ) . a) Justifier théoriquement l'allure de la courbe en établissant l'expression de v2 . b) En déduire les valeurs de : - la pulsation 0 et l'amplitude x0 du mouvement de (S) , c) Etablir l’équation horaire du mouvement. d) Sachant que l’énergie mécanique E du système est égale à 0,0625 J , calculer les valeurs de la constante de raideur k du ressort et la masse m du Exercice 2 : Partie A : Un solide (S) de masse m est attaché à l’une des extrémités d’un ressort horizontal, parfaitement élastique, de constante de raideur K et de masse négligeable devant celle du solide, l’autre extrémité du ressort étant fixe (R) (S) O i x Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari cherchari Fig Fig.5 1 Les oscillations mécaniques libres Série physique 11 (fig1). On étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen (o, i ) horizontal, d’origine O coïncidant avec la position d’équilibre du centre d’inertie du solide. On écarte le solide (S) de sa position d’équilibre dans le sens positif d’une distance Xm=3cm puis on le lâche sans vitesse. 1a- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au solide (S), montrer que son mouvement est rectiligne sinusoïdal, de pulsation 0 qu’on donnera son 109 expression en fonction de K et m. b- À un instant t quelconque, le centre d’inertie G de (S) a une élongation x et sa vitesse instantanée est v. établir l’expression de l’énergie mécanique E du système S0={(S)+ressort} en fonction de x, v, K et m. c- Montrer que l’énergie E est constante puis donner son expression en fonction de K et Xm. 2- La solution de l’équation différentielle est x(t)=Xmsin(0t + ), déterminer l’expression de l’énergie potentielle S0 en fonction K, Xm, 0, t et . Donner l’expression de sa période en fonction de K et m. 3- On donne la représentation graphique de l’énergie potentielle Ep (figure 2)en fonction du temps, déduire : a- La constante de raideur K du ressort et la période propre T0. Déduire la masse m du solide. La loi horaire de mouvement du solide S. b- La loi horaire de mouvement du solide S. Partie B Dans cette partie, le solide (S) est soumis à une force de frottement visqueux f hv ou h est une constante positive. 1- Établir l’équation différentielle de mouvement du solide (S) régissant les variations de son élongation x(t). 2- Montrer que l’énergie totale du système S0={(S)+ressort} n’est pas conservée. 3- À l’aide d’un dispositif approprié, on a enregistré les variations de l’élongation en fonction du temps ; on a trouvé le graphe de la figure 3 : Calculer l’énergie dissipée par la force de frottement entre les instants t1 et t2. Exercice 3 : Partie A : Un pendule élastique horizontal est constitué par un solide (S) de masse m=500 g, attaché à l’une des 58 extrémités d’un ressort horizontal, parfaitement élastique, de constante de raideur K et de masse négligeable devant celle du solide, l’autre extrémité du ressort étant fixe (fig1). On néglige tout (S) (R) type de frottement et on étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen (o, i ) horizontal, d’origine O coïncidant avec la position d’équilibre O i du centre d’inertie du solide. x Fig Fig.5 1 On écarte le solide (S) de sa position d’équilibre d’une distance Xm puis on le lâche sans vitesse. Lorsque le solide passe par sa position d’abscisse x0 (x0≠0) avec une vitesse initiale v0 (v0≠0) en se dirigeant dans le sens positif, on déclenche le chronomètre (t=0 s) pour commencer l’étude du movement. 1a- En appliquant la relation fondamentale de la dynamique au solide (S), établir l’équation différentielle de son mouvement. Quelle est la nature de ce mouvement ? b- Montrer que x(t)=Xmsin(0t + x) est une solution de l’équation différentielle précédente à condition que la pulsation 0 vérifie une expression qu’on donnera en fonction de K et m. c- Déduire l’expression de la vitesse du solide en fonction de Xm , 0 , t et x. d- Donner l’expression de la période propre T0 des oscillations du solide (S). 2- Montrer que x0 et v0 vérifient la relation 02x02 + v02 =Xm2 3- Un ordinateur muni d’une interface et d’un capteur a enregistré les variations de l’énergie cinétique du solide (S) au cours du temps t, le graphe obtenu sur l’écran de l’ordinateur est donné par la figure 2. Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari cherchari Les oscillations mécaniques libres Série physique 11 a- Donner l’expression de l’énergie mécanique E du système S0={(S)+ressort} en fonction de x, v, K et m avec x élongation du solide (S) et v sa vitesse à un instant t quelconque. b- Montrer que l’énergie E est constante puis donner son expression en fonction de m et Vm ; Vm amplitude de la vitesse v du solide. c- Établir l’expression de l’énergie cinétique du solide (S) en fonction m, Vm, 0, t et . Montrer qu’on peut l’écrire sous la forme : Ec= E C max 2 (1 + cos(20t + 2x)). d- En utilisant le graphe, trouver : * L’amplitude de la vitesse Vm, la période propre T0. En déduire Xm et la phase 110 de l’élongation x(t). initiale x e- Écrire la loi horaire du mouvement. f- Calculer vitesse initiale v0. Dans quel sens débute le mouvement du solide (S) ? g- Calculer la constante de raideur K du ressort. Partie B : Dans cette partie, le solide (S) est soumis à une force de frottement visqueux f=-hv ou h est une constante positive h (h=0,2 u.s.i). 1- Donner le nom et l’unité de h. 2- Établir l’équation différentielle du mouvement du solide (S) régissant les variations de son élongation x(t). 3- Montrer que l’énergie totale du système S0={(S)+ressort} diminue au cours du temps. 4- À l’aide d’un dispositif approprié, on a enregistré les variations de la vitesse du solide en fonction du temps ; on a trouvé le graphe de la figure 3 : Calculer l’énergie dissipée par la force de frottement entre les instants t1 et t2. (S) Exercice 1 : (R) Partie A : Un solide (S) de masse m=100g est attaché à l’une des extrémités d’un ressort horizontal, parfaitement élastique, de constante de raideur K et de masse négligeable devant celle du solide, l’autre extrémité du ressort étant fixe O i Fig Fig.5 1 o (fig1). On étudie le mouvement du solide (S) relativement à un repère galiléen (o, i ) horizontal, d’origine O coïncidant avec la position d’équilibre du centre d’inertie du solide. On écarte le solide (S) de sa position d’équilibre dans le sens négatif d’une distance x0 puis à un instant pris comme origine du temps on le lance avec une vitesse initiale dans le sens positif. Au cours de son mouvement le solide (S) n’est soumis à aucune force de frottement. 1a- Établir l’équation différentielle régissant les variations de l’élongation x(t). b- Sachant que la solution de l’équation différentielle s’écrit sous la forme x(t)=Xmsin(0t + x), déterminer l’expression de 0. c- Montrer que : 02 x2 v 2 02 X m2 . 2- On donne le graphe représentant l’évolution au cours du temps de la vitesse et de l’accélération du centre d’inertie du solide (S).(figure 2) a- Identifier en le justifiant les courbes (C1) et (C2). b- Déterminer à partir du graphe les expressions de l’accélération a(t) et de la vitesse v(t). c- En déduire la valeur de la raideur K du ressort, l’amplitude des élongations Xm et la phase initiale x. 3- L’énergie totale du système {solide+ressort} est E= Ec+Ep. a- Montrer que l’énergie totale est constante et l’exprimer en fonction de K et Xm. b- Calculer sa valeur. c- Établir l’expression de l’énergie potentielle Ep du système {solide+ressort} en fonction de K, Xm, 0, t et x. d- Représenter Ep(t). On donne l’échelle suivante : -2 10 J 1 cm et 0,05 s 4 cm Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari cherchari x Les oscillations mécaniques libres Série physique 11 Partie B : Dans cette partie, le solide (S) est soumis à une force de frottement de type visqueux f hv ou h est une constante positive. 1- Établir l’équation différentielle de mouvement du solide (S) régissant les variations de son élongation x(t). 2- Montrer que l’énergie totale du système S0={(S)+ressort} n’est pas conservée. 3- À l’aide d’un dispositif approprié, on a enregistré les variations des énergies Ep, Ec et E en fonction du temps ; on a obtenu les graphes suivants : 4- Faire correspondre, en le justifiant, à chaque énergie la courbe correspondante. D- Exercice bac : 111 Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari cherchari Les oscillations mécaniques libres Série physique 11 Exercice 2 : 112 Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari cherchari Les oscillations mécaniques libres Série physique 11 113 Site web : http://cherchari.legtux.org / Facebook : https://www.facebook.com/mhamed.cherchari cherchari