Devoir de Maths

Devoir de Mathématiques
Exercice 1
Dans l'espace muni du repère orthonormal
(O,⃗ i ,⃗ j ,⃗ k)
on considère les points :
A(2 ; –1 ; –1), B(3 ; –3 ; –2), C(3 ; –1 ; 0) et E(5 ; 0 ; –3).
1- Montrer que ABC est un triangle rectangle et calculer son aire.
2- Vérifier que le vecteur
⃗n
(1 ; 1 ; –1) est un vecteur normal du plan (ABC), puis déterminer une
équation cartésienne de ce plan.
3- Le point E se trouve-t-il dans le plan (ABC) ? Calculer la distance du point E au plan (ABC).
4- On appelle D la droite de vecteur directeur
⃗n
passant par E. Écrire une représentation
paramétrique de D.
5- La droite D coupe le plan (ABC) en H. Calculer les coordonnées de H, puis la longueur EH. Que
représente la longueur EH ?
Exercice 2
Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues indiscernables au toucher.
1- Après avoir mélangé, on tire simultanément trois boules de l'urne et on appelle X la variable
aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
a) Quelles sont les valeurs possibles de X et quelles sont leurs probabilités ? On notera les résultats
dans un tableau.
b) Calculer l'espérance mathématique de X.
2- Dans cette question on effectue trois tirages successifs avec remise et on appelle Y la variable
aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
a) Quelle est la loi de probabilité de Y ?
b) Quelles sont les valeurs possibles de Y et quelles sont leurs probabilités ? On notera les résultats
dans un tableau.
c) Calculer l'espérance mathématique de Y de deux façons.

Devoir de Mathématiques (correction)
Exercice 1
Dans l'espace muni du repère orthonormal
(O,⃗ i ,⃗ j ,⃗ k)
on considère les points :
A(2 ; –1 ; –1), B(3 ; –3 ; –2), C(3 ; –1 ; 0) et E(5 ; 0 ; –3).
1- Montrer que ABC est un triangle rectangle et calculer son aire.
On a
⃗
AB
(1 ; -2 ; -1) et
⃗
AC
(1 ; 0 ; 1). Alors
⃗
AB⋅
⃗
AC
= 1×1 – 2×0 – 1×1 = 0, donc
(AB) ⊥ (AC) et ABC est rectangle en A.
L'aire de ABC est égale à
AB×AC
2
; or AB =
√
12+(−2)2+(−1)2=
√
6
et
AC =
√
12+02+12=
√
2
.
L'aire de ABC est donc
√
6×
√
2
2=
√
12
2=2
√
3
2=
√
3
.
2- Vérifier que le vecteur
⃗n
(1 ; 1 ; –1) est un vecteur normal du plan (ABC), puis déterminer une
équation cartésienne de ce plan.
⃗
n⋅
⃗
AB
= 1×1 + 1×(-2) – 1×(-1) = 1 – 2 + 1 = 0
et
⃗
n⋅
⃗
AC
= 1×1 + 1×0 – 1×1 = 1 + 0 – 1 = 0.
Ainsi le vecteur
⃗n
est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), c'est donc
bien un vecteur normal de (ABC).
Le plan (ABC) a une équation cartésienne de la forme x + y – z + d = 0. Comme ce plan
contient A, xA + yA – zA + d = 0, donc 2 – 1 + 1 + d = 0 et d = -2.
Le plan (ABC) admet donc x + y – z – 2 = 0 comme équation cartésienne.
3- Le point E se trouve-t-il dans le plan (ABC) ? Calculer la distance du point E au plan (ABC).
xE + yE – zE – 2 = 5 + 0 + 3 – 2 = 6 ≠ 0, donc E n'est pas dans le plan (ABC).
La distance de E au plan (ABC) est
∣xE+yE−zE−2∣
√
12+12+(−1)2
=
6
√
3=6
√
3
3=2
√
3
.
4- On appelle D la droite de vecteur directeur
⃗n
passant par E. Écrire une représentation
paramétrique de D.
On a D :
{
x=5+t
y=t
z=−3−t
}
.
5- La droite D coupe le plan (ABC) en H. Calculer les coordonnées de H, puis la longueur EH. Que
représente la longueur EH ?
Les coordonnées de H vérifient
{
x=5+t
y=t
z=−3−t
}
et x + y – z – 2 = 0.
On obtient, par substitution, 5 + t + t – (–3 – t) – 2 = 0, soit 3t + 6 = 0, soit t = –2. En
reportant t = -2 dans les équations paramétriques de D, on obtient xH = 5 – 2 = 3, yH = –2 et
zH = – 3 + 2 = –1, d'où H(3 ; –2 ; –1).
On en déduit
⃗
EH
(2 ; –2 ; 2) et EH =
√
22+(−2)2+22=
√
12=2
√
3
. EH est la distance du
point E au plan (ABC) car H est projection orthogonale de E sur (ABC).

Exercice 2
Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues indiscernables au toucher.
1- Après avoir mélangé, on tire simultanément trois boules de l'urne et on appelle X la variable
aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
a) Quelles sont les valeurs possibles de X et quelles sont leurs probabilités ? On notera les résultats
dans un tableau.
b) Calculer l'espérance mathématique de X.
X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 et 3.
Le nombre total de tirages de 3 boules est
(
10
3
)
=10 !
7!⋅3!=10×9×8 1×2×3=120
.
Le nombre de tirages sans boules rouges (et donc avec 3 boules bleues) est
(
7
3
)
= 35, donc
P(X=0) =
35
120 =7 24
. Le nombre de tirages avec exactement 1 boule rouge est
(
3
1
)
×
(
7
2
)
= 3
× 21 = 63, donc P(X=1) =
63
120 =21 40
. Le nombre de tirages avec exactement 2 boules
rouges est
(
3
2
)
×
(
7
1
)
= 3 × 7 = 21, donc P(X=2) =
21
120 =7 40
. Le nombre de tirages avec
exactement 3 boules rouge est
(
3
3
)
= 1, donc P(X=3) =
1
120
.
(on peut vérifier que
7
24+21 40 +7 40+1 120=1
)
k0123
7/24 21/40 7/40 1/120P(X=k)
b) E(X) =
0×7
24+1×21 40+2×7 40+3×1 120=36 40=0,9
.
2- Dans cette question on effectue trois tirages successifs avec remise et on appelle Y la variable
aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
a) Quelle est la loi de probabilité de Y ?
b) Quelles sont les valeurs possibles de Y et quelles sont leurs probabilités ? On notera les résultats
dans un tableau.
c) Calculer l'espérance mathématique de Y de deux façons.
a) Tirer une boule représente une épreuve de Bernoulli avec réussite lorsque la boule est
rouge, donc avec une probabilité de 3/10 = 0,3. Cette épreuve est répétée 3 fois de façon
indépendante, le nombre de réussites Y suit donc la loi binomiale de paramètres 3 et 0,3.
b) Y peut prendre les valeurs 0, 1, 2 et 3 ; on a P(Y=k) =
(
3
k
)
0,3k0,73−k
, d'où le tableau :
k0123
0,343 0,441 0,189 0,027
P(Y=k)
c) Avec la définition de l'espérance mathématique,
E(Y) = 0×0,343 + 1×0,441 + 2×0,189 + 3×0,027 = 0,9.
En utilisant la propriété de la loi binomiale de paramètres 3 et 0,3, E(Y) = 3×0,3 = 0,9.