Devoir de Maths

Devoir de Mathématiques
Exercice 1
Dans l'espace muni du repère orthonormal (O , ⃗i , ⃗j , ⃗k) on considère les points :
A(2 ; –1 ; –1), B(3 ; –3 ; –2), C(3 ; –1 ; 0) et E(5 ; 0 ; –3).
1- Montrer que ABC est un triangle rectangle et calculer son aire.
2- Vérifier que le vecteur ⃗
n (1 ; 1 ; –1) est un vecteur normal du plan (ABC), puis déterminer une
équation cartésienne de ce plan.
3- Le point E se trouve-t-il dans le plan (ABC) ? Calculer la distance du point E au plan (ABC).
4- On appelle D la droite de vecteur directeur ⃗
n passant par E. Écrire une représentation
paramétrique de D.
5- La droite D coupe le plan (ABC) en H. Calculer les coordonnées de H, puis la longueur EH. Que
représente la longueur EH ?
Exercice 2
Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues indiscernables au toucher.
1- Après avoir mélangé, on tire simultanément trois boules de l'urne et on appelle X la variable
aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
a) Quelles sont les valeurs possibles de X et quelles sont leurs probabilités ? On notera les résultats
dans un tableau.
b) Calculer l'espérance mathématique de X.
2- Dans cette question on effectue trois tirages successifs avec remise et on appelle Y la variable
aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
a) Quelle est la loi de probabilité de Y ?
b) Quelles sont les valeurs possibles de Y et quelles sont leurs probabilités ? On notera les résultats
dans un tableau.
c) Calculer l'espérance mathématique de Y de deux façons.
Devoir de Mathématiques (correction)
Exercice 1
Dans l'espace muni du repère orthonormal (O , ⃗i , ⃗j , ⃗k) on considère les points :
A(2 ; –1 ; –1), B(3 ; –3 ; –2), C(3 ; –1 ; 0) et E(5 ; 0 ; –3).
1- Montrer que ABC est un triangle rectangle et calculer son aire.
On a ⃗
AB (1 ; -2 ; -1) et ⃗
AC (1 ; 0 ; 1). Alors ⃗
AB⋅⃗
AC = 1×1 – 2×0 – 1×1 = 0, donc
(AB) ⊥ (AC) et ABC est rectangle en A.
AB×AC
L'aire de ABC est égale à
; or AB = √ 12+(−2)2+(−1)2 =√ 6 et
2
AC =
√ 1 +0 +1 = √ 2 .
2
2
2
L'aire de ABC est donc
√ 6× √ 2 = √12 = 2 √ 3 =√ 3 .
2
2
2
2- Vérifier que le vecteur ⃗
n (1 ; 1 ; –1) est un vecteur normal du plan (ABC), puis déterminer une
équation cartésienne de ce plan.
n⋅⃗
AB = 1×1 + 1×(-2) – 1×(-1) = 1 – 2 + 1 = 0
⃗
et ⃗
n⋅⃗
AC = 1×1 + 1×0 – 1×1 = 1 + 0 – 1 = 0.
Ainsi le vecteur ⃗
n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC), c'est donc
bien un vecteur normal de (ABC).
Le plan (ABC) a une équation cartésienne de la forme x + y – z + d = 0. Comme ce plan
contient A, xA + yA – zA + d = 0, donc 2 – 1 + 1 + d = 0 et d = -2.
Le plan (ABC) admet donc x + y – z – 2 = 0 comme équation cartésienne.
3- Le point E se trouve-t-il dans le plan (ABC) ? Calculer la distance du point E au plan (ABC).
xE + yE – zE – 2 = 5 + 0 + 3 – 2 = 6 ≠ 0, donc E n'est pas dans le plan (ABC).
∣x E +y E −z E−2∣
6 6 √3
=
=2 √ 3 .
La distance de E au plan (ABC) est
=
2
2
2
√1 +1 +(−1) √3 3
4- On appelle D la droite de vecteur directeur ⃗
n passant par E. Écrire une représentation
paramétrique de D.
x=5+t
On a D :
.
y=t
z=−3−t
{ }
5- La droite D coupe le plan (ABC) en H. Calculer les coordonnées de H, puis la longueur EH. Que
représente la longueur EH ?
x=5+t
Les coordonnées de H vérifient
et x + y – z – 2 = 0.
y=t
z =−3−t
{ }
On obtient, par substitution, 5 + t + t – (–3 – t) – 2 = 0, soit 3t + 6 = 0, soit t = –2. En
reportant t = -2 dans les équations paramétriques de D, on obtient xH = 5 – 2 = 3, yH = –2 et
zH = – 3 + 2 = –1, d'où H(3 ; –2 ; –1).
On en déduit ⃗
EH (2 ; –2 ; 2) et EH = √ 2 2+(−2)2+22 =√ 12=2 √ 3 . EH est la distance du
point E au plan (ABC) car H est projection orthogonale de E sur (ABC).
Exercice 2
Une urne contient 3 boules rouges et 7 boules bleues indiscernables au toucher.
1- Après avoir mélangé, on tire simultanément trois boules de l'urne et on appelle X la variable
aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
a) Quelles sont les valeurs possibles de X et quelles sont leurs probabilités ? On notera les résultats
dans un tableau.
b) Calculer l'espérance mathématique de X.
X peut prendre les valeurs 0, 1, 2 et 3.
10 = 10 ! = 10×9×8 =120
Le nombre total de tirages de 3 boules est
.
7 !⋅3 ! 1×2×3
3
( )
(73) = 35, donc
35
7
3
7
= . Le nombre de tirages avec exactement 1 boule rouge est ( )×( ) = 3
P(X=0) =
1
2
120 24
Le nombre de tirages sans boules rouges (et donc avec 3 boules bleues) est
63 21
=
. Le nombre de tirages avec exactement 2 boules
120 40
21
7
3× 7
=
rouges est
= 3 × 7 = 21, donc P(X=2) =
. Le nombre de tirages avec
2
1
120 40
1
3
exactement 3 boules rouge est
= 1, donc P(X=3) =
.
3
120
× 21 = 63, donc P(X=1) =
() ()
()
7 21 7
1
+ + +
=1 )
24 40 40 120
k
0
1
P(X=k)
7/24
21/40
(on peut vérifier que
b) E(X) = 0×
2
7/40
3
1/120
7
21
7
1
36
+1× +2× +3×
= =0,9 .
24
40
40
120 40
2- Dans cette question on effectue trois tirages successifs avec remise et on appelle Y la variable
aléatoire donnant le nombre de boules rouges obtenues.
a) Quelle est la loi de probabilité de Y ?
b) Quelles sont les valeurs possibles de Y et quelles sont leurs probabilités ? On notera les résultats
dans un tableau.
c) Calculer l'espérance mathématique de Y de deux façons.
a) Tirer une boule représente une épreuve de Bernoulli avec réussite lorsque la boule est
rouge, donc avec une probabilité de 3/10 = 0,3. Cette épreuve est répétée 3 fois de façon
indépendante, le nombre de réussites Y suit donc la loi binomiale de paramètres 3 et 0,3.
b) Y peut prendre les valeurs 0, 1, 2 et 3 ; on a P(Y=k) =
k
P(Y=k)
0
0,343
1
0,441
(3k) 0,3 0,7
2
0,189
k
3− k
, d'où le tableau :
3
0,027
c) Avec la définition de l'espérance mathématique,
E(Y) = 0×0,343 + 1×0,441 + 2×0,189 + 3×0,027 = 0,9.
En utilisant la propriété de la loi binomiale de paramètres 3 et 0,3, E(Y) = 3×0,3 = 0,9.