Bac Blanc 2015 : correction
EXERCICE 1
1. a. D’après l’inégalité triangulaire : BC <AB +AC . On peut aussi prendre en compte l’alignement de B,Aet
C. Soit : BC =x≤AB +AC =10. De plus, xreprésente une longueur, soit : x≥0. Donc : x∈[0;10].
b. ABC étant un triangle isocèle, la hauteur issue de Acoupe le segment [BC]en son milieu. En nommant
Hle pied de la hauteur issue de Asur [BC ]et d’après le théorème de Pythagore :
AH2+HC2=AC2⇔h2+³x
2´2
=25 ⇔h2=25−x2
4=100−x2
4
c. Soit AABC (x) l’aire du triangle ABC en fonction de x:AABC (x)=s100−x2
4×x
2=x
4p100−x2
d. Soit V(x) le volume du prisme : V(x)=x
4p100−x2×20 =5xp100 −x2=5qx2¡100−x2¢.
2. a. Étude du sens de variation de fen étudiant le signe de la
dérivée de f:f, comme fonction polynôme, est dérivable
sur R, soit sur [0;10].
Donc : f0(x)=2x¡100−x2¢+x2(−2x)=x¡200 −2x2−2x2¢
f0(x)=4x¡50−x2¢=4x¡5p2−x¢¡5p2+x¢.
Voir tableau de variation ci-contre.
b. D’après ce tableau, fadmet un maximum sur [0;10]
pour : x=5p2
Tableau de variation :
x
50 −x2
x
f0(x)
f(x)
05p210
+0−
0+ +
0+0−
f(5p2)f(5p2)
3. a. V(x)=5qx2¡100 −x2¢=5pf(x).
b. Utilisons le sens de variations de la fonction racine carrée : elle est croissante sur [0;10]; Donc, Vpossède
les mêmes variations que f(x) sur [0;10].
c. Donc, le volume est maximal pour : x=5p2, soit la mesure de BC. On obtient un volume :V(5p2) =250,
soit un volume maximal de 250cm3
EXERCICE 2
1. a) fest une fonction rationnelle ; elle est donc dérivable sur son ensemble de définition, R.
f0(x)=2(x2+1) +(2−2x)(2x)
(x2+1)2=2(x2+1+2x−2x2
(x2+1)2=−2(x2−2x−1)
(x2+1)2( égalité prouvée).
b) Étude de signes de f0(x) en calculant le dis-
criminant du numérateur :
∆=b2−4(ac)=8>0.
Donc, le numérateur a deux racines :
x1=−b−p∆
2a=1−p2 et
x2=−b+p∆
2a=1+p2.
Tableau de variations de f:
x
f0(x)
f(x)
−∞ 1−p2 1+p2+∞
−0+0−
1−p21−p2
1+p21+p2
2. Soit l’équation de la tangente TàCfau point Ad’abscisse a:y=f0(a)(x−a)+f(a).
Sachant, pour a=1 : f(1) =2 et f0(1) =1. Donc : (T) : y=1(x−1) +2, soit : (T) : y=x+1 .
3. a) Soit B(x0;y0). La tangente à Cfen Best parallèle à ∆d’équation y= −x. Donc : f0(x0)= −1.On résout
donc : −2(x2
0−2x0−1)
(x2
0+1)2=−1⇔−2(x2
0−2x0−1)
(x2
0+1)2+1+0⇔−2(x2
0−2x0−1)+(x2
0+1)2
(x2
0+1)2=0
⇔−2x2
0+4x0+2+x4
0+2x2
0+1=0⇔x4
0+4x0+3=0
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