Bac Blanc - Maths - 1S - 08/04/2015 (sur 40) durée : 4 h

Bac Blanc - Maths - 1S - 08/04/2015 (sur 40)
durée : 4 h - calculatrice autorisée
La présentation et la qualité de rédaction seront prises en compte dans la note
EXERCICE 1 (6 points)
Un chocolatier veut faire fabriquer une nouvelle boîte
de présentation pour Pâques. Elle aura la forme d’un
prisme droit dont deux faces sont des rectangles de 20
cm de longueur sur 5 cm de largeur.
Une section de ce prise par un plan perpendiculaire à
la face BCDE est le triangle ABC isocèle en A. La lon-
gueur BC =xreprésente l’écartement entre les deux
rectangles.
Le but de ce problème est de déterminer xtel que le
volume de cette boîte soit le plus grand possible.
1. a. Quelles sont les valeurs possibles pour x?
b. Démontrer que la hauteur hissue de Adu triangle ABC est telle que : h2=100 −x2
4
c. Exprimer l’aire du triangle ABC en fonction de x.
d. Exprimer le volume V(x) du prisme en fonction de x.
2. Soit la fonction fdéfinie sur [0;10]par : f(x)=x2¡100 −x2¢.
a. Étudier le sens de variation de f.
b. Pour quelle valeur de x f admet-elle un maximum ?
3. a. Vérifier : V(x)=5pf(x).
b. En utilisant les variations de f, déterminer les variations de la fonction Vsur [0;10].
c. En déduire les dimensions de la boîte ayant le plus grand volume et donner la valeur de volume maximal.
EXERCICE 2 (5 points)
On considère la fonction fdéfinie sur Rpar : f(x)=2−2(1 −x)
x2+1.
On note Cfsa courbe représentative.
1. a) Vérifier que : f0(x)=−2(x2−2x−1)
(x2+1)2.
b) Déterminer les variations de f. On ne demande pas les valeurs exactes des extrema mais une valeur
arrondie au centième.
2. Déterminer l’équation de la tangente TàCfau point Ad’abscisse 1.
3. On veut montrer qu’il existe un point Bde Cftel que la tangente à Cfen Bsoit parallèle à la droite ∆
d’équation y= −x.
a) Montrer que le problème revient à résoudre l’équation :x4+4x+3=0.
b) Vérifier : x4+4x+3=(x+1)2(x2−2x+3).
c) Conclure.
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EXERCICE 3 (7 points)
ABC est un triangle quelconque.
Le point Iest tel que : −→ B I =1
4−→
B A
Le point Jest tel que : −→ C J =2
3−→
CB
Le point Kest tel que : −−→ AK =3
5−→
AC .
On souhaite démontrer que les droites (AJ),(BK)et (CI)
sont concourantes.
Soit Ele point d’intersection des droites (BK)et (AJ).
On se place dans le repère ³B,−→ BC,−→ B A´.
1. a. Donner sans justification les coordonnées des points B,C,A,Iet J.
b. Calculer les coordonnées du point K.
Dans la suite, on admet que les coordonnées de Ksont : µ3
5;2 5¶.
2. a. Déterminer une équation cartésienne de la droite (AJ)et montrer qu’elle peut se mettre sous la
forme :3x+y−1=0.
b. Déterminer une équation cartésienne de la droite (BK ).
c. En déduire les coordonnées du point E.
3. Démontrer que le point Eappartient à la droite (C I )et conclure.
EXERCICE 4 (4 points)
Une coopérative laitière fabrique un fromage qui doit
contenir, selon l’étiquette, 50% de matière grasse. Un
organisme de contrôle de qualité prélève 100 fromages
afin d’analyser leur taux de matière grasse.
Voici les résultats de l’analyse :
Taux [45;47[ [47;49[ [49;51[ [51;53[ [53;55[
Effectif 6 25 45 21 3
1. Calculer une valeur approchée du taux moyen ¯ tet de l’écart-type σ.
2. Une production de fromage peut être vendue sous l’appellation "50% de matière grasse" si les deux condi-
tions suivantes sont remplies :
a. 50 appartient à l’intervalle £¯ t−0,3; ¯ t+0,3¤;
b. Plus de 90 % des fromages analysés appartiennent à l’intervalle £¯ t−2σ;¯ t+2σ¤.
Que pensez-vous de la production de cette coopérative ?
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EXERCICE 5 (7 points)
1. Donner la mesure principale des angles orientés
suivants :
Mesures 21π
2−19π 6
37π
4−29π 5
100π
3−47π 8
Mesures
principales
2. Résoudre dans [0;2π[l’équation :cosx =
p2
2
3. Vrai ou Faux :soit le carré ABCD de sens
direct. ( suite colonne de droite)
Le point Aétant tel que :³−→ OI ,−−→ OA´= −
π
6[2π]. Pré-
ciser si les affirmations suivantes sont vraies ou
fausses.(Schéma ci-dessous redonné en fin de sujet)
a. ³−−→ OA,−−→ OB´=
π
2[2π]
b. ³−−→ OB,−→ OI ´=5π
3[2π]
c. ³−→ OI ,−−→ OD´=−3π
4[2π]
d. ³−−→ OB,−→ OJ´=
π
6[2π]
e. ³−→ OI ,−−→ OC´=−11π
12 [2π]
EXERCICE 6 (6 points)
Une urne contient nboules indiscernables au toucher : 5 boules rouges et n−5 boules noires ( nest un entier
supérieur ou égal à 6).
Un joueur tire au hasard successivement et sans remise deux boules de l’urne.
1. Construire un arbre pondéré décrivant cette expérience aléatoire.
2. Le joueur gagne 2esi les deux boules tirées sont de couleur différente et perd 1esinon. On note Al’évène-
ment :"les deux boules tirées sont de couleurs différentes" et Xla variable aléatoire donnant le gain algé-
brique du joueur.
a. Montrer que : P(A)=10n−50
n2−n
b. Déterminer la loi de probabilité de X.
c. Montrer que : E(X)=−n2+31n−150
n2−n
3. Comment choisir npour que le jeu soit équitable ?
4. Le tirage se fait maintenant avec remise et le nombre de boules au total est de 12. On fait 7 tirages successifs
et on considère Xla variable aléatoire,le nombre de boules rouges tirées.
Déterminer la loi de probabilité de X; ensuite, calculer la probabilité de tirer au moins une boule rouge.
EXERCICE 7 (5 points)
Une association constate que chaque année, 20% de ses adhérents de l’année précédente ne renouvellent pas
leur adhésion et qu’il y a 300 nouveaux adhérents.
On veut étudier l’évolution du nombre d’adhérents au cours des années.
On note unle nombre d’adhérents de l’association lors de la n-ième année.
1. Sachant que : u1=1000, calculer u2et u3.
2. Montrer que pour tout entier naturel nnon nul, un+1=0.8un+300.
3. On pose : vn=1500 −un.
Montrer que (vn)est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier rang.
4. Démontrer que pour tout entier naturel nnon nul : un=1500−500×(0.8)n−1.
5. En déduire le nombre d’adhérents la dixième année.
6. A l’aide de la calculatrice, déterminer l’entier naturel nà partir duquel : un∈[1499,9;1500,1[
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Brouillon :
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Bac Blanc 2015 : correction
EXERCICE 1
1. a. D’après l’inégalité triangulaire : BC <AB +AC . On peut aussi prendre en compte l’alignement de B,Aet
C. Soit : BC =x≤AB +AC =10. De plus, xreprésente une longueur, soit : x≥0. Donc : x∈[0;10].
b. ABC étant un triangle isocèle, la hauteur issue de Acoupe le segment [BC]en son milieu. En nommant
Hle pied de la hauteur issue de Asur [BC ]et d’après le théorème de Pythagore :
AH2+HC2=AC2⇔h2+³x
2´2
=25 ⇔h2=25−x2
4=100−x2 4
c. Soit AABC (x) l’aire du triangle ABC en fonction de x:AABC (x)=s100−x2
4×x 2=x 4p100−x2
d. Soit V(x) le volume du prisme : V(x)=x
4p100−x2×20 =5xp100 −x2=5qx2¡100−x2¢.
2. a. Étude du sens de variation de fen étudiant le signe de la
dérivée de f:f, comme fonction polynôme, est dérivable
sur R, soit sur [0;10].
Donc : f0(x)=2x¡100−x2¢+x2(−2x)=x¡200 −2x2−2x2¢
f0(x)=4x¡50−x2¢=4x¡5p2−x¢¡5p2+x¢.
Voir tableau de variation ci-contre.
b. D’après ce tableau, fadmet un maximum sur [0;10]
pour : x=5p2
Tableau de variation :
x
50 −x2
x
f0(x)
f(x)
05p210
+0−
0+ +
0+0−
f(5p2)f(5p2)
3. a. V(x)=5qx2¡100 −x2¢=5pf(x).
b. Utilisons le sens de variations de la fonction racine carrée : elle est croissante sur [0;10]; Donc, Vpossède
les mêmes variations que f(x) sur [0;10].
c. Donc, le volume est maximal pour : x=5p2, soit la mesure de BC. On obtient un volume :V(5p2) =250,
soit un volume maximal de 250cm3
EXERCICE 2
1. a) fest une fonction rationnelle ; elle est donc dérivable sur son ensemble de définition, R.
f0(x)=2(x2+1) +(2−2x)(2x)
(x2+1)2=2(x2+1+2x−2x2 (x2+1)2=−2(x2−2x−1) (x2+1)2( égalité prouvée).
b) Étude de signes de f0(x) en calculant le dis-
criminant du numérateur :
∆=b2−4(ac)=8>0.
Donc, le numérateur a deux racines :
x1=−b−p∆
2a=1−p2 et
x2=−b+p∆
2a=1+p2.
Tableau de variations de f:
x
f0(x)
f(x)
−∞ 1−p2 1+p2+∞
−0+0−
1−p21−p2
1+p21+p2
2. Soit l’équation de la tangente TàCfau point Ad’abscisse a:y=f0(a)(x−a)+f(a).
Sachant, pour a=1 : f(1) =2 et f0(1) =1. Donc : (T) : y=1(x−1) +2, soit : (T) : y=x+1 .
3. a) Soit B(x0;y0). La tangente à Cfen Best parallèle à ∆d’équation y= −x. Donc : f0(x0)= −1.On résout
donc : −2(x2
0−2x0−1)
(x2
0+1)2=−1⇔−2(x2
0−2x0−1)
(x2
0+1)2+1+0⇔−2(x2
0−2x0−1)+(x2 0+1)2
(x2
0+1)2=0
⇔−2x2
0+4x0+2+x4 0+2x2 0+1=0⇔x4
0+4x0+3=0
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