Probl`emes de math - Groupe 1 - Catégorie défi. 1. Paul, Micheline

Probl`emes de math - Groupe 1 - Cat´egorie d´efi.
1. Paul, Micheline, L´eandre et Babette ont particip´e `aun tournoi d’´echec lors du tournoi
d’´echec de l’AFKW dans une ´ecole fran¸caise de la r´egion de KW. Chaque partici-
pant(e) a jou´e 5 parties avec chacun(e) des 3 autres participantes(es). Un participant
remporte 4 points si il ou elle gagne la partie, 1 point si c’est une partie nulle et 0 point
si il ou elle perd. Babette a remport´e le troph´ee avec 35 points, Micheline a accumul´e
34 points, L´eandre 22 points et Paul 19 points. Trouvez le nombre de parties nulles.
2. Supposons qu’on ait deux nombres entiers positifs xet yqui n’ont ni un ni l’autre
un facteur de 10 (c.-`a-d. 10 ne divise pas xet y). Par contre le produit xy est une
puissance de 10, c’est-`a-dire, xy = 10npour un nombre entier nquelconque. En
supposant que xsoit plus grand que y, il est impossible que x−yse termine avec un
nombre impair particulier (c.-`a-d. ne peut pas ˆetre un de 1,3,5,7,9). Lequel?
3. Supposons qu’on retrouve 12 points r´epandus de fa¸con ´egale sur la circonf´erence d’un
cercle, c’est-`a-dire la distance entre deux points voisins est la mˆeme pour tous les
points. Une corde est un segment de droite qui rejoint deux points. Combien de
cordes diff´erentes peut-on former `a l’int´erieur du cercle?
4. Frida se prom`ene un soir en ligne droite vers un lampadaire allum´e. Le lampadaire
mesure 10 m`etres. Lorsqu’elle se trouve `a 56 m`etres du lampadaire son ombre mesure
4 m`etres. Quelle est la longueur de son ombre lorsqu’elle se trouve `a 7 m`etres du
lampadaire?
5. Supposons que vous ´ecrivez les num´eros de 1 `a 100, un `a cˆot´e de l’autre en ´eliminant
les espaces de fa¸con `a former un ´enorme num´ero de 192 chiffres,
12345678910111213 . . .979899100
Trouvez la sommes des chiffres qui composent ce num´ero.
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6. Cette question utilise des donn´ees fournies dans la figure g´eom´etrique suivante. ` A
noter que la figure n’est pas `a l’´echelle.
Figure 1: Probl`eme 6
En plus des angles droits qui paraissent dans cette figure nous savons que la longueur
du segment V U est 1 cm, la longueur du segment UZ est 3 cm, et la longueur du
segment V X est 3 cm. Trouver la longueur du segment V Y .
7. Supposons que xrepr´esente le nombre de tous les num´eros compos´es de 8 chiffres.
Supposons que yrepresente le nombre de tous les num´eros compos´es 8 chiffres qui
commencent avec 6 et finit avec 1. Trouver la valeur de y
x.
c
Club Pythagore, 2007
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