Énoncés envoi 2

Olympiades Franc¸aises de Math´ ematiques
2012-2013
Envoi Num´ ero 2
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A renvoyer au plus tard le vendredi 14 d´ ecembre
Les consignes suivantes sont ` a lire attentivement :
- Les exercices class´ es junior ne sont ` a chercher que par les ´ el` eves qui sont n´ e(e)s en 1998 ou
apr` es.
- Les exercices class´ es communs sont ` a chercher par tout le monde.
- Les exercices class´ es olympiques ne sont ` a chercher que par les ´ el` eves qui sont n´ e(e)s en 1997
ou avant.
- Les exercices doivent ˆ etre cherch´ es de mani` ere individuelle.
- Utiliser des feuilles diff´ erentes pour des exercices diff´ erents.
- Respecter la num´ erotation des exercices.
- Bien pr´ eciser votre nom sur chaque copie.
1

Exercices Juniors
Exercice 1. Peut-on num´ eroter les arˆ etes d’un cube de 1` a12 en sorte que la somme des nombres sur
les arˆ etes entrant dans un sommet du cube soit la mˆ eme pour tous les sommets ?
Exercice 2. Les sept dixi` emes de la surface de la Terre sont couverts par l’oc´ ean. Montrer qu’il existe
un diam` etre de la Terre dont les deux extr´ emit´ es baignent dans l’oc´ ean.
Exercice 3. Trouver cent entiers positifs distincts n1,...,n100 tels que
1=1
n1
+1
n2
+··· +1
n100
.
Exercices Communs
Exercice 4. Ruby a effectu´ e une s´ erie de mouvements avec son Rubik’s cube. (Par exemple, elle peut
tourner la face du haut dans le sens des aiguilles d’une montre, puis la face de fond de 180 degr´ es, puis
la face de droite dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. Ou n’importe quelle autre s´ erie de
rotations de faces.) Ensuite elle r´ ep` ete inlassablement la mˆ eme s´ erie de mouvements. Montrer qu’au bout
d’un certain nombre de r´ ep´ etitions elle retrouvera la configuration de d´ epart.
Exercice 5. Devant l’entr´ ee de la grotte aux tr´ esors se trouve un tonneau avec quatre trous indistin-
guables dispos´ es aux sommets d’un carr´ e sur le couvercle. ` A l’int´ erieur de chaque trou se trouve un
hareng qui peut ˆ etre plac´ e soit la tˆ ete en bas soit la tˆ ete en haut. En ins´ erant les mains dans deux trous
Ali-Baba peut d´ eterminer la position des deux harengs qui s’y trouvent. Il peut ´ egalement en retourner
un ou deux comme il le souhaite ou n’en retourner aucun. La porte de la grotte s’ouvre lorsque les quatre
harengs sont soit tous la tˆ ete en bas soit tous la tˆ ete en haut. Le probl` eme c’est que lorsque Ali-Baba
sort ses mains des trous le tonneau commence ` a tourner sur lui-mˆ eme ` a une grande vitesse, si bien que,
lorsqu’il s’arrˆ ete de nouveau, il est impossible pour Ali-Baba de savoir dans quels trous il avait mis les
mains la fois pr´ ec´ edente. Aidez Ali-Baba ` a ouvrir la grotte en un nombre fini d’op´ erations.
Exercice 6. Trois sauterelles se trouvent aux points (0, 0),(0, 1)et (1, 0)d’une feuille quadrill´ ee.
Chaque minute une sauterelle saute sur un autre point de la grille d’une telle fac¸on que son saut soit
parall` ele ` a la droite passant par les deux autres sauterelles. Est-il possible qu’au bout d’un certain temps
les sauterelles se retrouvent aux points (−1, 0),(1, 0)et (0, 1)?
2

Exercices Olympiques
Exercice 7. Chacun des 400 d´ eput´ es d’un parlement a gifl´ e exactement un autre d´ eput´ e. Montrer qu’on
peut cr´ eer une commission parlementaire de 134 d´ eput´ es telle qu’aucun membre de la commission n’ait
gifl´ e aucun autre membre.
Exercice 8. Un digicode s’ouvre d` es qu’on fait l’unique combinaison correcte de 4chiffres (qui peut
´
eventuellement contenir des r´ ep´ etitions). Par exemple, si l’on tape la suite des chiffres 000125 le digicode
s’ouvrira si le code est soit 0001, soit 0012, soit 0125. Petit Pierre ne connaˆ ıt pas le code. Combien de
chiffres au minimum doit-il taper pour ouvrir le digicode ` a coup sˆ ur ?
Exercice 9. On dispose de 500 emplacements ` a billes num´ erot´ es de 1` a500 de gauche ` a droite. Des
billes num´ erot´ ees de 1` a500 sont pos´ ees dans ces emplacements dans le d´ esordre : leurs num´ eros ne
co¨ ıncident pas n´ ecessairement avec les num´ eros des emplacements. (Dans chaque emplacement il y
a exactement une bille.) On dit que l’ordre des billes est plutˆ ot croissant si la plus longue sous-suite
d´ ecroissante des num´ eros des billes qu’on peut extraire de cet ordre ne d´ epasse pas 5´ el´ ements. Montrer
qu’il existe au plus 51000 ordres plutˆ ot croissants.
Fin
3