La moyenne et médiane d`un ensemble de numéros

La moyenne et m´ediane d’un ensemble de num´eros
Il nous arrive parfois de vouloir se faire une image ou une id´ee d’un ensemble de nombres
afin de le comparer `a un autre ensemble de nombres. Une fa¸con de s’y prendre est de trouver
un num´ero qui repr´esenterait son “centre”. Il y a deux m´ethodes tr`es communes, mais tr`es
diff´erentes, de se faire une id´ee du “centre” d’un ensemble de num´eros: la moyenne et la
m´ediane de l’ensemble.
Soit un ensemble de nnum´eros, {a1, a2, a3,...an−1, an}plac´es en ordre croissant.
•Nous d´efinissons la moyenne Mde ces num´eros comme suit:
M=a1+a2+a3+···an−1+an
n
•On calcule la m´ediane mde cet l’ensemble en utilisant une de deux fa¸cons, d´ependant
du nombre n:
–Si nest impair la m´ediane est m=an
2+1 2. Il s’agit essentiellement du num´ero
de l’ensemble pour lequel il y a le mˆeme nombre de num´eros `a sa droite qu’`a sa
gauche.
∗Par exemple la m´ediane de {2,5,6,9,9}est 6.
∗La m´ediane de {2,5,8,8,9,10,11}est 8.
–Si nest un nombre pair l’expression n
2=kest un nombre entier. La m´ediane
est m=ak+ak+1
2.
∗Par exemple la m´ediane de {2,5,9,10,11,11}est 9,5 puisqu’il y a six num´eros
(un nombre pair) dans l’ensemble et donc la m´ediane mest 9+10
2= 9,5.
∗La m´ediane de {2,5,5,5}est ´evidemment 5.
Voici quelques exemples.
1. Supposons que {34,59,60,61,70,99,99}repr´esentent les notes d’une classe obtenues
lors d’un examen de math´ematiques.
•La moyenne Mde cet ensemble de num´eros est:
M=34 + 59 + 60 + 61 + 70 + 99 + 99
7= 68,9
•Pour trouver la m´ediane mon constate d’abord qu’il y a 7 num´eros en ordre
croissant dans cette ensemble et donc il y a un num´ero qui est au centre, soit le
quatri`eme num´ero, m= 61.
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2. On nous donne l’ensemble suivant de num´eros: {4,8,8,11,11,12}.
•La moyenne Mde cet ensemble de num´eros est:
M=4 + 8 + 8 + 11 + 11 + 12
6= 9
•Pour trouver la m´ediane mon constate d’abord qu’il y a 6 num´eros en ordre
croissant. Puisque 6
2= 3 la m´ediane mde cet ensemble est:
m=le troisi`eme num´ero + le quatri`eme num´ero
2=8 + 11 2= 9,5
3. Voici un probl`eme un peu plus difficile: Supposons qu’il y a dans une ´ecole 4 classes de
huiti`eme ann´ee chacune ayant ´ecrit le mˆeme examen de math´ematiques. La premi`ere
classe de 19 ´el`eves a eu une moyenne de 71%, la deuxi`eme classe de 12 ´el`eves a eu
une moyenne de 54%, la troisi`eme classe de 27 ´el`eves a eu une moyenne de 65% et la
quatri`eme classe de 6 ´el`eves a obtenue une moyenne de 99%. Quelle est la moyenne
des quatre classes ensembles?
Solution
•Soit mn=“la somme des notes de la n`eme classe” et Mn=“la moyenne obtenue par
la n`eme classe” o`u n= 1,2,3,4.
•Nous obtenons ainsi 4 ´equations:
M1= 71 = m1/19
M2= 54 = m2/12
M3= 65 = m3/27
M4= 99 = m4/6
•Dans chaque ´equation on isole l’expression mn:
m1= 71 ×19 = 1 349
m2= 54 ×12 = 648
m3= 65 ×27 = 1 755
m4= 99 ×6 = 594
2

•On obtient la moyenne Mdes quatre classes ensembles par l’expression
M=la somme de toutes les notes
le nombre d’´el`eves
=1 349 + 648 + 1 755 + 594
19 + 12 + 27 + 6
=4 346
64
= 67,9
•Donc la moyenne de tous les ´el`eves de la huiti`eme ann´ee est M= 67,9%
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Club Pythagore, 2007
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