La moyenne et médiane d’un ensemble de numéros Il nous arrive parfois de vouloir se faire une image ou une idée d’un ensemble de nombres afin de le comparer à un autre ensemble de nombres. Une façon de s’y prendre est de trouver un numéro qui représenterait son “centre”. Il y a deux méthodes très communes, mais très différentes, de se faire une idée du “centre” d’un ensemble de numéros: la moyenne et la médiane de l’ensemble. Soit un ensemble de n numéros, {a1 , a2 , a3, . . . an−1 , an } placés en ordre croissant. • Nous définissons la moyenne M de ces numéros comme suit: M= a1 + a2 + a3 + · · · an−1 + an n • On calcule la médiane m de cet l’ensemble en utilisant une de deux façons, dépendant du nombre n: – Si n est impair la médiane est m = a n + 1 . Il s’agit essentiellement du numéro 2 2 de l’ensemble pour lequel il y a le même nombre de numéros à sa droite qu’à sa gauche. ∗ Par exemple la médiane de {2, 5, 6, 9, 9} est 6. ∗ La médiane de {2, 5, 8, 8, 9, 10, 11} est 8. – Si n est un nombre pair l’expression a +a est m = k 2 k+1 . n 2 = k est un nombre entier. La médiane ∗ Par exemple la médiane de {2, 5, 9, 10, 11, 11} est 9, 5 puisqu’il y a six numéros (un nombre pair) dans l’ensemble et donc la médiane m est 9+10 2 = 9, 5. ∗ La médiane de {2, 5, 5, 5} est évidemment 5. Voici quelques exemples. 1. Supposons que {34, 59, 60, 61, 70, 99, 99} représentent les notes d’une classe obtenues lors d’un examen de mathématiques. • La moyenne M de cet ensemble de numéros est: M= 34 + 59 + 60 + 61 + 70 + 99 + 99 = 68, 9 7 • Pour trouver la médiane m on constate d’abord qu’il y a 7 numéros en ordre croissant dans cette ensemble et donc il y a un numéro qui est au centre, soit le quatrième numéro, m = 61. 1 2. On nous donne l’ensemble suivant de numéros: {4, 8, 8, 11, 11, 12}. • La moyenne M de cet ensemble de numéros est: M= 4 + 8 + 8 + 11 + 11 + 12 =9 6 • Pour trouver la médiane m on constate d’abord qu’il y a 6 numéros en ordre croissant. Puisque 26 = 3 la médiane m de cet ensemble est: m= le troisième numéro + le quatrième numéro 8 + 11 = = 9, 5 2 2 3. Voici un problème un peu plus difficile: Supposons qu’il y a dans une école 4 classes de huitième année chacune ayant écrit le même examen de mathématiques. La première classe de 19 élèves a eu une moyenne de 71%, la deuxième classe de 12 élèves a eu une moyenne de 54%, la troisième classe de 27 élèves a eu une moyenne de 65% et la quatrième classe de 6 élèves a obtenue une moyenne de 99%. Quelle est la moyenne des quatre classes ensembles? Solution • Soit mn =“la somme des notes de la nème classe” et Mn =“la moyenne obtenue par la nème classe” où n = 1, 2, 3, 4. • Nous obtenons ainsi 4 équations: M1 M2 M3 M4 = = = = 71 54 65 99 = = = = m1 /19 m2 /12 m3 /27 m4 /6 • Dans chaque équation on isole l’expression mn : m1 m2 m3 m4 = = = = 71 × 19 54 × 12 65 × 27 99 × 6 2 = 1 349 = 648 = 1 755 = 594 • On obtient la moyenne M des quatre classes ensembles par l’expression M la somme de toutes les notes le nombre d’élèves 1 349 + 648 + 1 755 + 594 = 19 + 12 + 27 + 6 4 346 = 64 = 67, 9 = • Donc la moyenne de tous les élèves de la huitième année est M = 67, 9% c Club Pythagore, 2007 3