Equations de conservation

41G
´
en´ eralit´ es
Chapitre 2
Equations de conservation
Les ´ equations de conservation associ´ ees aux lois constitutives sont les outils du
m´ ecanicien des fluides, elles contiennent l’ensemble des connaissances n´ ecessaires
pour reproduire int´ egralement le ph´ enom` ene observ´ e par la voie de la r´ esolution
ou de la simulation. La mod´ elisation physique qui conduit ` a ce syst` eme d’´ equations
repr´ esentatives est ainsi la pierre angulaire de toute construction math´ ematique
qui vise ` a appr´ ehender les ´ ecoulements de fluides du point de vue th´ eorique. Ces
´
equations sont ´ etablies sur la base d’hypoth` eses et de postulats souvent anciens
dont il convient de rappeler le sens et ´ eventuellement d’en discuter le bien fond´ e.
Les diff´ erentes pr´ esentations d’un ouvrage de m´ ecanique des fluides, qu’il soit
organis´ e en ´ equations g´ en´ erales puis en cas particuliers comme ici, ou bien, ` a
l’inverse que les cas simples permettent d’introduire des concepts plus g´ en´ eraux,
doivent permettre au lecteur de comprendre le contexte dans lequel il est plac´ e.
Par exemple un ig´ enieur qui aurait oubli´ e que la loi de Bernouilli n’est applica-
ble que dans des hypoth` eses tr` es restrictives pourrait ˆ etre tent´ e de l’appliquer ` a
tout probl` eme pos´ e. Il convient donc de bien comprendre que tout probl` eme doit
faire l’objet d’une analyse objective de tous les ph´ enom` enes physiques qui lui sont
associ´ es avant toute mod´ elisation.
2.1 Notion de milieu continu
Le concept de milieu continu est attach´ e` a une perception ”m´ ecanicienne”
de la mati` ere par comparaison ` a une vision plus physique qui d´ ecrit la nature cor-
pusculaire de la mati` ere. Chaque grandeur est d´ efinie pour un ensemble suffisant de
particules centr´ ees autour du point P sur lequel est attach´ ee cette grandeur (Fig. 2.1).
Consid´ erons un volume de contrˆ ole
Ω limit´ e par une surface Σ sur laquelle nous
d´ efinissons une normale ext´ erieure n.
Cet ouvert
Ω contient un fluide : liquide, ou gaz ` a pression suffisante de mani` ere
que le libre parcours moyen des mol´ ecules soit tr` es inf´ erieur aux dimensions car-
act´ eristiques du domaine. Cette condition sera implicitement incluse dans le concept
5
J.-P. Caltagirone, Physique des Écoulements Continus,
Mathématiques et Applications 74, DOI: 10.1007/978-3-642-39510-9_2,
ÓSpringer-Verlag Berlin Heidelberg 2013

6 2 Equations de conservation
Fig. 2.1 Milieu form´ e de particules de taille ε distantes en moyenne de δ consid´ er´ e comme un
milieu continu de volume
Ω limit´ e par la surface Σ munie d’une normale ext´ erieure n
de milieu continu. Elle est d´ efinie par l<< Lo` ulest le libre parcours moyen des
mol´ ecules et L la dimension caract´ eristique du domaine.
Le volume de contrˆ ole contient, outre le fluide, des particules solides dispers´ ees
dans le milieu et dont les dimensions sont tr` es petites devant la distance moyenne
qui les s´ epare
δ << l. Cet ensemble de particules solides immobiles introduit une
r´ esistance visqueuse qui peut ˆ etre caract´ eris´ ee par une ”traˆ ın´ ee volumique”.
2.2 Cin´ ematique des fluides
2.2.1 D´ eriv´ ee particulaire
Il existe deux m´ ethodes pour d´ ecrire le mouvement d’un syst` eme mat´ eriel con-
tinu [29]:
•la description Lagrangiennne : on rattache les diff´ erentes grandeurs au point
mat´ eriel
•la m´ ethode Eul´ eriennne : on rattache les diff´ erentes grandeurs au point g´ eom´ etrique.
2.2.2 Description Lagrangienne
On se donne les ´ equations param´ etriques de la trajectoire (Fig. 2.2) de l’ensemble
des points mat´ eriels Pdans un rep` ere cart´ esien. Si (x0
1,x0 2,x0 3)sont les coordonn´
ees
initiales du point Pconsid´ er´ e(
`
a t=0), on suppose connues les relations xi=
xi(x0
1,x0 2,x0 3,t)qui donnent la position du point P`
a l’instant tqui ´ etait initialement
en P
0(x0
1,x0 2,x0 3)
(x0
1,x0 2,x0 3)sont les variables ind´
ependantes de Lagrange
Toute grandeur li´ ee ` a un ´ el´ ement mat´ eriel P du continu peut ˆ etre ´ etudi´ ee en suiv-
ant sa trajectoire. Elle est alors fonction de (x0
1,x0 2,x0 3,t)
2.2 Cin´ ematique des fluides 7
Fig. 2.2 Trajectoire d’une particule mat´ erielle dans un rep` ere de coordonn´ ees cat´ esiennes
(x1,x2,x3)
G=G(x0
1,x0 2,x0 3,t)
C’est le cas de
xi=xi(x0
1,x0 2,x0 3,t)position de P
Vi=Vi(x0
1,x0 2,x0 3,t)=dxi
dt =
∂ xi
∂ tvitesse de P
γ
i=
γ
i(x0
1,x0 2,x0 3,t)=d2xi
dt2=
∂
2xi
∂ t2acceleration de P
L’utilisation des variables de Lagrange fait intervenir la position initiale de la par-
ticule dans l’´ etat initial du syst` eme. C’est la m´ ethode la mieux adapt´ ee ` a l’´ etude des
”solides” d´ eformables pour lesquels on peut d´ efinir un ´ etat initial et suivre facile-
ment la transformation.
Dans les milieux fluides l’´ etat initial n’a aucune importance sur les efforts in-
ternes ` a l’´ etat pr´ esent. La description de Lagrange est mal adapt´ ee ` a l’´ etude du
mouvement des fluides.
2.2.3 Description Eul´ erienne
En un point g´ eom´ etrique donn´ eMon se donne les composantes du vecteur
vitesse Vi=Vi(M,t)et toute grandeur physique attach´
ee au fluide G(M,t).
Soit dans un syst` eme de coordonn´ ees cart´ esiennes :
Vi=Vi(x1,x2,x3,t)
G=G(x1,x2,x3,t)
(x1,x2,x3,t)sont les variables d’Euler.

6 2 Equations de conservation
Fig. 2.1 Milieu form´ e de particules de taille ε distantes en moyenne de δ consid´ er´ e comme un
milieu continu de volume
Ω limit´ e par la surface Σ munie d’une normale ext´ erieure n
de milieu continu. Elle est d´ efinie par l<< Lo` ulest le libre parcours moyen des
mol´ ecules et L la dimension caract´ eristique du domaine.
Le volume de contrˆ ole contient, outre le fluide, des particules solides dispers´ ees
dans le milieu et dont les dimensions sont tr` es petites devant la distance moyenne
qui les s´ epare
δ << l. Cet ensemble de particules solides immobiles introduit une
r´ esistance visqueuse qui peut ˆ etre caract´ eris´ ee par une ”traˆ ın´ ee volumique”.
2.2 Cin´ ematique des fluides
2.2.1 D´ eriv´ ee particulaire
Il existe deux m´ ethodes pour d´ ecrire le mouvement d’un syst` eme mat´ eriel con-
tinu [29]:
•la description Lagrangiennne : on rattache les diff´ erentes grandeurs au point
mat´ eriel
•la m´ ethode Eul´ eriennne : on rattache les diff´ erentes grandeurs au point g´ eom´ etrique.
2.2.2 Description Lagrangienne
On se donne les ´ equations param´ etriques de la trajectoire (Fig. 2.2) de l’ensemble
des points mat´ eriels Pdans un rep` ere cart´ esien. Si (x0
1,x0 2,x0 3)sont les coordonn´
ees
initiales du point Pconsid´ er´ e(
`
a t=0), on suppose connues les relations xi=
xi(x0
1,x0 2,x0 3,t)qui donnent la position du point P`
a l’instant tqui ´ etait initialement
en P
0(x0
1,x0 2,x0 3)
(x0
1,x0 2,x0 3)sont les variables ind´
ependantes de Lagrange
Toute grandeur li´ ee ` a un ´ el´ ement mat´ eriel P du continu peut ˆ etre ´ etudi´ ee en suiv-
ant sa trajectoire. Elle est alors fonction de (x0
1,x0 2,x0 3,t)
2.2 Cin´ ematique des fluides 7
Fig. 2.2 Trajectoire d’une particule mat´ erielle dans un rep` ere de coordonn´ ees cat´ esiennes
(x1,x2,x3)
G=G(x0
1,x0 2,x0 3,t)
C’est le cas de
xi=xi(x0
1,x0 2,x0 3,t)position de P
Vi=Vi(x0
1,x0 2,x0 3,t)=dxi
dt =
∂ xi
∂ tvitesse de P
γ
i=
γ
i(x0
1,x0 2,x0 3,t)=d2xi
dt2=
∂
2xi
∂ t2acceleration de P
L’utilisation des variables de Lagrange fait intervenir la position initiale de la par-
ticule dans l’´ etat initial du syst` eme. C’est la m´ ethode la mieux adapt´ ee ` a l’´ etude des
”solides” d´ eformables pour lesquels on peut d´ efinir un ´ etat initial et suivre facile-
ment la transformation.
Dans les milieux fluides l’´ etat initial n’a aucune importance sur les efforts in-
ternes ` a l’´ etat pr´ esent. La description de Lagrange est mal adapt´ ee ` a l’´ etude du
mouvement des fluides.
2.2.3 Description Eul´ erienne
En un point g´ eom´ etrique donn´ eMon se donne les composantes du vecteur
vitesse Vi=Vi(M,t)et toute grandeur physique attach´
ee au fluide G(M,t).
Soit dans un syst` eme de coordonn´ ees cart´ esiennes :
Vi=Vi(x1,x2,x3,t)
G=G(x1,x2,x3,t)
(x1,x2,x3,t)sont les variables d’Euler.

8 2 Equations de conservation
On ne s’int´ eresse donc pas ici ` a l’histoire du continu consid´ er´ e mais ` a son champ
de vitesse ` a l’instant t.
G=G(x1,x2,x3,t)=G(x1(x0
1,x0 2,x0 3,t),x2(x0 1,x0 2,x0 3,t),x3(x0 1,x0 2,x0 3,t),t)
=G(x0
1,x0 2,x0 3,t)
2.2.4 D´ efinitions
•a - trajectoire Les ´ equations param´ etriques des trajectoires sont donn´ ees par la
r´ esolution du syst` eme diff´ erentiel :
Vi=dxi
dt →dxi=Vi·dt
dx1
V1(x1,x2,x3,t)=dx2 V2(x1,x2,x3,t)=dx3 V3(x1,x2,x3,t)
L’int´ egration donne les relations
xi=xi(x0
1,x0 2,x0 3,t)
o` ux0
1,x0 2,x0 3sont des constantes.
Exemple : photo de phares de v´ ehicules dans la nuit en exposition longue.
•b - ligne de courant
A un instant donn´ eond
´
efinit les lignes de courant (Fig. 2.3) comme les lignes
tangentes en chacun de leur point au vecteur vitesse en ce point. On d´ etermine
Fig. 2.3 Lignes de courant tangente en chaque point Mau vecteur vitesse V
les lignes de courant en ´ ecrivant V//dM,tfixe. On a V·n=0o
`
unest la normale
`
a la ligne de courant.
dx1
V1(x1,x2,x3,t)=dx2 V2(x1,x2,x3,t)=dx3 V3(x1,x2,x3,t)avec t =Cte
2.2 Cin´ ematique des fluides 9
Exemple : On peut observer les lignes de courant en tracant les tangentes aux
segments clairs laiss´ es sur une photo de phares de v´ ehicules dans la nuit en ex-
position courte.
•c - surface de courant
Surface tangente au vecteur vitesse.
•d - tube de courant
Ensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour ferm´ e.
•e - ligne d’´ emission
Toutes les particules qui passent successivement par un point Ssont situ´ ees ` a
l’instant tsur une courbe dite ligne d’´ emission relative ` aS.
Exemple : ligne trac´ ee dans le ciel ` a un instant donn´ e par un panache de fum´ ee.
•f-´ ecoulement stationnaire
Un ´ ecoulement est stationnaire par rapport ` aunr
´
ef´ erentiel lorsque la vitesse et
les autres variables ne d´ ependent plus du temps. Il y a alors identit´ e entre tra-
jectoire, ligne d’´ emission et ligne de courant, les syst` emes r´ ef´ erentiels devenant
identiques.
Les qualificatifs de stationnaire, permanent, ´ etabli, stable ... sont pr´ ecis et cor-
respondent ` a des situations diff´ erentes; la stationnarit´ e est attach´ ee ` a une ind´ epen-
dance des variables dans le temps. La permanence est la persistance d’un ´ etat qui
peut ˆ etre instationnaire alors qu’un ´ ecoulement ´ etabli traduit son ind´
ependance par
rapport ` a une direction spatiale. On parle de stabilit´ e ou d’instabilit´ e uniquement
par rapport ` a un ´ etat de r´ ef´ erence qui lui-mˆ eme peut ˆ etre stationnaire, oscillant,
p´ eriodique, etc.
2.2.5 Expressions des d´ eriv´ ees particulaires
Il s’agit de connaˆ ıtre l’´ evolution de toute grandeur physique li´ ee ` a un ´ el´ ement
mat´ eriel que l’on suit dans son mouvement. Pour calculer par exemple une acc´ el´ eration
il s’agit de suivre l’´ evolution de la vitesse de l’´ el´ ement mat´ eriel consid´ er´ e quand il
se d´ eplace. On appelle d´ eriv´ ee particulaire d’une grandeur physique, la d´ eriv´ ee par
rapport au temps de cette grandeur quand on suit le point mat´ eriel dans son mou-
vement. On dit encore que la d´ eriv´ ee particulaire d’une grandeur physique est la
d´ eriv´ ee temporelle ou mat´ erielle ou totale.
2.2.5.1 En variables de Lagrange
La d´ eriv´ ee particulaire s’identifie ` alad
´
eriv´ ee partielle par rapport au temps
dG
dt =
∂ G
∂ t

8 2 Equations de conservation
On ne s’int´ eresse donc pas ici ` a l’histoire du continu consid´ er´ e mais ` a son champ
de vitesse ` a l’instant t.
G=G(x1,x2,x3,t)=G(x1(x0
1,x0 2,x0 3,t),x2(x0 1,x0 2,x0 3,t),x3(x0 1,x0 2,x0 3,t),t)
=G(x0
1,x0 2,x0 3,t)
2.2.4 D´ efinitions
•a - trajectoire Les ´ equations param´ etriques des trajectoires sont donn´ ees par la
r´ esolution du syst` eme diff´ erentiel :
Vi=dxi
dt →dxi=Vi·dt
dx1
V1(x1,x2,x3,t)=dx2 V2(x1,x2,x3,t)=dx3 V3(x1,x2,x3,t)
L’int´ egration donne les relations
xi=xi(x0
1,x0 2,x0 3,t)
o` ux0
1,x0 2,x0 3sont des constantes.
Exemple : photo de phares de v´ ehicules dans la nuit en exposition longue.
•b - ligne de courant
A un instant donn´ eond
´
efinit les lignes de courant (Fig. 2.3) comme les lignes
tangentes en chacun de leur point au vecteur vitesse en ce point. On d´ etermine
Fig. 2.3 Lignes de courant tangente en chaque point Mau vecteur vitesse V
les lignes de courant en ´ ecrivant V//dM,tfixe. On a V·n=0o
`
unest la normale
`
a la ligne de courant.
dx1
V1(x1,x2,x3,t)=dx2 V2(x1,x2,x3,t)=dx3 V3(x1,x2,x3,t)avec t =Cte
2.2 Cin´ ematique des fluides 9
Exemple : On peut observer les lignes de courant en tracant les tangentes aux
segments clairs laiss´ es sur une photo de phares de v´ ehicules dans la nuit en ex-
position courte.
•c - surface de courant
Surface tangente au vecteur vitesse.
•d - tube de courant
Ensemble de lignes de courant s’appuyant sur un contour ferm´ e.
•e - ligne d’´ emission
Toutes les particules qui passent successivement par un point Ssont situ´ ees ` a
l’instant tsur une courbe dite ligne d’´ emission relative ` aS.
Exemple : ligne trac´ ee dans le ciel ` a un instant donn´ e par un panache de fum´ ee.
•f-´ ecoulement stationnaire
Un ´ ecoulement est stationnaire par rapport ` aunr
´
ef´ erentiel lorsque la vitesse et
les autres variables ne d´ ependent plus du temps. Il y a alors identit´ e entre tra-
jectoire, ligne d’´ emission et ligne de courant, les syst` emes r´ ef´ erentiels devenant
identiques.
Les qualificatifs de stationnaire, permanent, ´ etabli, stable ... sont pr´ ecis et cor-
respondent ` a des situations diff´ erentes; la stationnarit´ e est attach´ ee ` a une ind´ epen-
dance des variables dans le temps. La permanence est la persistance d’un ´ etat qui
peut ˆ etre instationnaire alors qu’un ´ ecoulement ´ etabli traduit son ind´
ependance par
rapport ` a une direction spatiale. On parle de stabilit´ e ou d’instabilit´ e uniquement
par rapport ` a un ´ etat de r´ ef´ erence qui lui-mˆ eme peut ˆ etre stationnaire, oscillant,
p´ eriodique, etc.
2.2.5 Expressions des d´ eriv´ ees particulaires
Il s’agit de connaˆ ıtre l’´ evolution de toute grandeur physique li´ ee ` a un ´ el´ ement
mat´ eriel que l’on suit dans son mouvement. Pour calculer par exemple une acc´ el´ eration
il s’agit de suivre l’´ evolution de la vitesse de l’´ el´ ement mat´ eriel consid´ er´ e quand il
se d´ eplace. On appelle d´ eriv´ ee particulaire d’une grandeur physique, la d´ eriv´ ee par
rapport au temps de cette grandeur quand on suit le point mat´ eriel dans son mou-
vement. On dit encore que la d´ eriv´ ee particulaire d’une grandeur physique est la
d´ eriv´ ee temporelle ou mat´ erielle ou totale.
2.2.5.1 En variables de Lagrange
La d´ eriv´ ee particulaire s’identifie ` alad
´
eriv´ ee partielle par rapport au temps
dG
dt =
∂ G
∂ t