Nouvelle Calédonie mars 2016. Enseignement

Nouvelle Calédonie mars 2016. Enseignement spécifique
EXERCICE 3 (6 points) (commun à tous les candidats)
Dans le repère orthonormé !O, −→ i,
−→j,
−→k"de l’espace, on considère pour tout réel m,leplanPmd’équation
1
4m2x+(m−1)y+1 2mz −3=0.
1) Pour quelle(s) valeur(s) de mle point A(1 ; 1 ; 1) appartient-il au plan Pm?
2) Montrer que les plans P1et P−4sont sécants selon la droite (d)de représentation paramétrique
(d)⎧
⎨
⎩
x=12−2t
y=9−2t
z=t
avec t∈R.
3) a) Montrer que l’intersection entre P0et (d)est un point noté Bdont on déterminera les
coordonnées.
b) Justifier que pour tout réel m,lepointBappartient au plan Pm.
c) Montrer que le point B est l’unique point appartenant à Pmpour tout réel m.
4) Dans cette question, on considère deux entiers relatifs met m′tels que
−10 !m!10 et −10 !m′!10.
On souhaite déterminer les valeurs de met de m′pour lesquelles Pmet Pm′sont perpendiculaires.
a) Vérifier que P1et P−4sont perpendiculaires.
b) Montrer que les plans Pmet Pm′sont perpendiculaires si et seulement si
&mm′
4'2
+(m−1) (m′−1) + mm′
4=0.
c) On donne l’algorithme suivant :
Variable s : met m′entiers relatifs
Traite ment : Pour mallant de −10 à10:
Pour m′allant de −10 à10:
Si (mm′)2+16(m−1) (m′−1) + 4mm′=0
Alors Afficher (m;m′)
Fin du Pour
Fin du Pour
Quel est le rôle de cet algorithme ?
d) Cet algorithme affiche six couples d’entiers dont (−4; 1),(0 ; 1) et (5 ; −4).
Écrire les six couples dans l’ordre d’affichage de l’algorithme.
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EXERCICE 3 : corrigé
1) Soit mun réel.
A∈Pm⇔1
4m2xA+(m−1)yA+1 2mzA−3=0
⇔1
4m2+(m−1) + 1 2m−3=0⇔1 4m2+3 2m−4=0
⇔m2+6m−16 = 0.
Le discriminant de l’équation x2+6x−16 = 0 est ∆=6
2−4×1×(−16) = 100 >0.L’équationx2+6x−16 = 0
admet deux solutions réelles distinctes x1=−6+√100
2=2et x2=−6−√100 2=−8.
Les valeurs de mpour lesquelles le point Aappartient au plan Pmsont −8et 2.
2) P1est le plan d’équation 1
4x+1 2z−3=0ou encore x+2z−12 = 0.P−4est le plan d’équation 4x−5y−2z−3=0.
Un vecteur normal au plan P1est le vecteur −→ n1de coordonnées (1,0,2) et un vecteur normal au plan P−4est le vecteur
−−→
n−4de coordonnées (4,−5,−2).
Les vecteurs −→
n1et −−→
n−4ne sont pas colinéaires (en analysant la deuxième coordonnée) et donc les plans P1et P−4ne
sont pas parallèles et donc les plans P1et P−4sont sécants en une droite que l’on note (D).Vérifionsque(D)=(d).
Soit M(12 −2t, 9−2t, t),t∈R,unpointde(d).
xM+2zM−12 = (12 −2t)+2t−12 = 0.
Donc, tout point Mde (d)appartient au plan P1.
4xM−5yM−2zM−3=4(12−2t)−5(9 −2t)−2t−3=48−8t−45 + 10t−2t−3=0.
Donc, tout point Mde (d)appartient au plan P−4.Ainsi,ladroite(d)est la droite d’intersection des plans P1et P−4.
3) a) P0est le plan d’équation −y−3=0ou encore y+3=0.SoitM(12 −2t, 9−2t, t),t∈R,unpointde(d).
M∈P0⇔yM+3=0⇔9−2t+3=0⇔t=6.
Pour t=6,onobtientlepointBde coordonnées (0,−3,6).
b) Soit mun réel.
1
4m2xB+(m−1)yB+1 2mzB−3=−3(m−1) + 3m−3=0.
Donc, le point Bapprtient à tous les plans Pm,m∈R.
c) Un point appartenant à tous les plans Pmappartient nécessairement aux plans P0,P1et P−4et donc au plan P0
et à la droite (d).UntelpointestdoncnécessairementlepointB.
Le point Best l’unique point de l’espace appartenant à tous les plans Pm,m∈R.
4) a) Avec le s not at io ns de l a que st io n 2),
−→
n1.−−→ n−4=1×4+0×(−5) + 2 ×(−2) = 0.
Donc, les plans P1et P−4sont perpendiculaires.
b) Soient met m′deux réels. Un vecteur normal au plan Pm(resp. Pm′)estlevecteur−→ nm(resp. −−→ nm′)decoordonnées
!m2
4,(m−1),m 2"(resp. !m′2 4,(m′−1),m′ 2".
Pm⊥Pm′⇔−→ nm.−−→ nm′=0⇔m2
4
m′2
4+(m−1)(m′−1) + m 2
m′
2=0
⇔!mm′
4"2
+(m−1)(m′−1) + mm′
4=0.
c) Cette dernière condition équivaut à (mm′)2+16(m−1)(m′−1) + 4mm′=0(après multiplication par 16 des deux
membres de l’égalité).
L’algorithme affiche tous les couples (m, m′)d’entiers relatifs compris au sens large entre −10 et 10 tels que les plans
Pmet Pm′soient perpendiculaires.
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d) Si (m, m′)est un couple solution, alors (m′,m)est un couple solution. Donc, le problème admet au moins les six
couples solutions (−4,1),(0,1),(5,−4),(1,−4),(1,0),(−4,5).L’énoncéditquel’algorithmeafficheexactementsix
couples solutions et donc l’algorithme affiche dans l’ordre les couples
(−4,1) (−4,5) (0,1) (1,−4) (1,0) (5,−4).
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