Master de Mathématiques, Première Année Calcul Formel Feuille d

Université de Limoges
Faculté des Sciences
Année Universitaire 2008-2009
Master de Mathématiques, Première Année
Calcul Formel
Feuille d’exercices no4
Factorisation
1 Retour sur le pgcd modulaire
Exercice 1
1) Calculez le pgcd de x202 +x101 + 1 et sa dérivée modulo 3et modulo 5. Conclusion ?
2) On considère P= 51x3−35x2+ 39x−115 et Q= 17x4−23x3+ 34x2+ 39x−115.
Calculez le pgcd de Pet Qmodulo 5,7et 11. En déduire le pgcd de Pet Qpar le théorème
des restes chinois. Pourquoi ne doit-on pas essayer modulo 17 ?
3) Utilisez l’algorithme du PGCD modulaire pour décider si le polynôme P= (x+ 1)7−
(x−1)6est sans carré. Comparez avec l’algorithme d’Euclide naïf. Est-ce que Pest sans-carré
modulo 2et modulo 5?
4) Proposer un programme qui détermine le degré probable du pgcd de 2 polynômes en une
variable en utilisant une méthode modulaire.
Exercice 2
On reprend l’algorithme modulaire pour le calcul du pgcd de polynômes dans Z[x].
1) Montrer qu’il y a un nombre fini de "mauvais" nombres premiers pour cet algorithme. Que
se passe-t-il si l’on a choisi un "mauvais" nombre premier ?
2) Comment adapter l’algorithme modulaire de calcul du pgcd sans utiliser explicitement de
borne sur les coefficients ?
3) Proposer un algorithme de calcul modulaire de calcul des coefficients de Bézout (et discuter
son efficacité).
2 Décomposition sans carré
On dit qu’un polynôme P∈C[X]est sans-carré si gcd(P, P 0)=1(pourquoi cette appella-
tion ?). On appelle décomposition sans-carré d’un polynôme Qune décomposition de la forme
Q=c.
s
Y
i=1
Qi
ioù les Qisont unitaires, sans-carré, et premiers deux à deux.
Exercice 3
[Algorithme de décomposition sans carré] Soit fun polynôme unitaire, f∈C[X]de degré
n≥1. On note f=f1f2
2· · · fs ssa décomposition sans carré.
1) On pose P1= gcd(f, f0). Montrer que f/P est un polynôme sans carré.
1

2) On définit itérativement une suite de polynômes Pipar Pi+1 = gcd(Pi, P 0
i). Montrer que
Pi= 1 pour i≥s. Ecrire les expressions de P1, P2, . . . , Ps−1
s.
3) En déduire un algorithme (itératif) de factorisation sans carré. Montrer sa correction.
4) On pose Q1=f/P1puis R1= gcd(Q1, P1). Montrer que f1=Q1/R1. En déduire un
deuxième algorithme, récursif, de factorisation sans-carré.
Exercice 4
[Algorithme de Yun.]
Entrée : Un polynôme unitaire f∈C[X]de degré n≥1
Sortie : la liste f1, . . . , fmdes facteurs sans-carré de f(i.e f=f1f2
2· · · fm m).
1. u:= gcd(f, f0);v1:= f
u;w1:= f0 u;
2. i :=1 ;
. Répéter
.hi:= gcd(vi, wi−v0
i)
.vi+1 := vi
hi
;wi+1 := (wi−v0
i)
hi
;
. i :=i+1 ;
. jusqu’à vi= 1
.m:= i−1;
3. Retourner la liste h1, . . . , hm.
1) Montrer que cet algorithme est correct et calcule la décomposition sans-carrés de f.
Idée 1 : montrer par récurrence sur ique hi=fiet
vi+1 =Y
i<j≤m
fjet wi+1 =X
i<j≤m
(j−i)f0
j
vi+1
fj
.
Idée 2 : Dérouler l’algorithme sur f=abc2d4avec a, b, c, d ∈C[X]unitaires, irréductibles et
deux à deux distincts.
2) Pourquoi estime-t-on que cet algorithme est meilleur que ceux développés précédemment ?
3 Berlekamp
Exercice 5
On considère le polynôme P(X) = X6+X5+X4+X3+X2+ 1 ∈F2[X]. Factoriser Ppar
l’algorithme de Berlekamp.
Exercice 6
On considère le polynôme P(X) = X12 −1∈F5[X].
1. Vérifier que Pa quatre racines simples.
2. Montrer que dimF5{v∈F5[X], vp≡vmod P}= 8. Quels sont les degrés des facteurs
primaires de P? En déduire la forme de la décomposition de Pen produit de facteurs
irréductibles.
Exercice 7
Soit qune puissance d’un nombre premier, et fun polynôme de degré nsur Fq. On souhaite
factoriser fsous la forme f=f1f2..fn, où fiest le produit des facteurs irréductibles de degré
idans f.
2

1. Soit Pun polynôme irréductible de degré msur Fq; montrer l’équivalence :
m|d⇔P|Xqd−X.
2. Montrer que f1=pgcd(f, Xq−X)et f2=pgcd(f/f1, Xq2−X). Comment continuer
et terminer l’algorithme ?
Exercice 8
1) Montrer que le polynôme P=X6+X4−X2+ 1 est irréductible sur F3. (on pourra noter
que X9=X3+ 2 X5+Xmod P,X12 =X4+ 1 mod P, et X15 = 2 X5+ 2 X3+ 2 X
mod psur F3).
2) Factoriser Pdans Z[X].
Exercice 9
On considère le polynôme f(X) = X4+ 1.
1) Démontrer que fn’a pas de racine dans Q, puis qu’il est irréductible sur Q.
Nous allons maintenant montrer qu’il est réductible sur Fppour tout p.
2) Montrer que fmod 2 est réductible. Quel est son corps des racines sur F2?
3) Soit nun entier naturel, on écrit n= 4s+ravec 0≤r < 4, montrer que Xn≡(−1)sXr
mod f.
4) Soit pun nombre premier impair.
a) Vérifier que |disc(f)|= 44, en déduire que fmod pest séparable.
On note Vp={v∈Fp[X], vp≡vmod f}. On rappelle que Vpest un Fp-espace vectoriel.
b) On suppose p≡1 mod 4, montrer que dim(Vp) = 4 si p−1
4est pair et dim(Vp)=2
sinon. En déduire que fest réductible sur Fp. Quel est le corps des racines de fsur Fp?
c) Faire le même raisonnement quand p≡3 mod 4.
Exercice 10
[Hensel] Soient f, g, h ∈Z[X]et pun nombre premier tels que (gmod p, h mod p)=1et
f≡gh mod pkpour un entier k≥1
1. Vérifier qu’il existe a, b ∈Z[X]tels que ag +bh ≡1 mod p.
2. On pose ˜g=g+b(f−gh)et ˜ h=h+a(f−gh). Montrer que f≡˜g˜ hmod pk+1 et
que a˜g+b˜ h≡1 mod p.
3. En déduire un algorithme donnant une factorisation de fmodulo pk+lpour tout l∈N.
Exercice 11
On donne le polynôme P(X) = X4−X3+X2+2 ∈Z[X]et son discriminant d= 22×3×132.
1) Factoriser Pmod 5.
2) Relever cette factorisation en une factorisation module 25. Énumérer les factorisations pos-
sibles de Pen produit de deux facteurs modulo 25.
3) En déduire une factorisation de Psur Z[X].
3

Exercice 12
On donne le polynôme P(X) = X4−X3+X2+2 ∈Z[X]et son discriminant d= 22×3×132.
1) Calculer kPk=v
u
u
t
4
X
i=0
P2
i; en déduire la borne supérieure Bdes valeurs absolues des
cœfficients d’un éventuel diviseur Qde Pde degré inférieur ou égal à 2.
2) Factoriser Pmod 5. Vérifier que 52>2B; choisir une factorisation de Pmod 5 en produit
de deux facteurs et la relever modulo 25.
3) En déduire la factorisation de Psur Q.
Exercice 13
On considère le polynôme P=x4+ 3 x2+ 4.
1) Montrer, en utilisant l’algorithme de Berlekamp, que la factorisation de Psur F3est P=
x2+ 2 x+ 2x2+x+ 2.
2) Montrer que sa factorisation dans F5[x]est :
P=x2+ 4 x+ 2x2+x+ 2.
3) En déduire la factorisation de Pmodulo 15.
4) On admet que les coefficients des facteurs éventuels de Pont une valeur absolue inférieure à
7. Déduire de ce qui précède la factorisation de Pdans Z[x]en produit de facteurs irréductibles
5) Déterminer la factorisation de Pmodulo 25. Retrouver la factorisation de Pdans Z[x].
Exercice 14
Le but de cet exercice est de factoriser le polynôme
P:= X4+ 4 X3+ 10 X2+ 13 X+ 12.
On admet que son discriminant vaut 9317 = 7.113.
1) Démontrer que Pest sans facteur carré.
2) Démontrer que Pn’admet pas de racine dans Zni dans Q
3) Factoriser X2+X+ 1 sur F2puis X2+ 1 sur F3.
4) Factoriser Psur F2.
5) Appliquer l’algorithme de Berlekamp à Psur F3pour en déduire sa factorisation sur F3.
6) En appliquant le lemme de Hensel à X2+Xet X2+ 1, en déduire une factorisation de P
modulo 9.
7) En déduire la factorisation de Pdans Z[X].
4