Eléments d`arithmétique dans l`ensemble des naturels

Ch 1 : éléments d’arithmétique
JA
Eléments d’arithmétique dans l’ensemble des naturels
Connaissances :
Multiples – diviseurs
Division euclidienne
PGCD
Nombres premiers
Nombres premiers entre eux
Fraction irréductible
Calculs
PGCD de deux nombres
Rendre une fraction irréductible
1) Diviseur d’un nombre entier naturel
Rappel :
 Un nombre entier naturel est un nombre entier positif
 division euclidienne : division d’un entier naturel par un entier naturel
 Si le reste de la division euclidienne (division d’un entier naturel par un entier naturel)
d’un entier a par un entier d est zéro alors d est un diviseur de a. Il existe ainsi un entier k
tel que a = d x k
2) Diviseurs communs à deux entiers naturels
a) Recherche de diviseurs
Exemple :
30 = 1 x 30 = 2 x 15 = 3 x 10 = 5 x 6
Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30
24 = 1 x 24 = 2 x 12 = 3 x 8 = 4 x 6
Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
 Pour chercher les diviseurs d’un nombre on recherche toutes les façons possibles
d’écrire l’entier a sous la forme d’un produit de deux facteurs entiers naturels
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Autre exemple :
quotients
36
18
9
3
1
diviseurs
2
2
3
3
35 = 2² x 3²
décomposition
en facteurs
premiers
0
30 = 1
31 = 3
32 = 9
1x1x1= 1
1x1x3= 3
1x1x9= 9
1
30 = 1
31 = 3
32 = 9
1x2x1= 2
1x2x3= 6
1x2x9= 18
2
1
2
30 = 1
1x4x1= 4
2
31 = 3
1x4x3= 12
32 = 9
1x4x9= 36
1
3 (puissances de 2)
3 puissances de 3)
Nombres de diviseurs possibles : 1 x 3 x 3
2
Diviseurs de 36 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36
 Pour chercher les diviseurs d’un nombre on construit un arbre après avoir chercher les
facteurs premiers
 Savoir les règles de divisibilité par 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 9
Règles de divisibilité :

un nombre est divisible par 2 si ce nombre est pair

un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est un multiple de 3
ex : 144 ; on fait 1 + 4 + 4 = 9 multiple de 3 donc 144 est divisible par 3

un nombre est divisible par 4 si ces deux derniers chiffres forment un nombre
divisible par 4
ex : 144 ; on prend 44, c’est divisible par 4 donc 144 est divisible par 4

un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou 5

un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
b) Recherche de diviseurs communs
 Diviseurs de 30 : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30
 Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
 Diviseurs communs : 1 ; 2 ; 3 ; 6
c) PGCD : Plus Grand Commun Diviseur
a et b désignant deux nombres entiers.
On note PGCD (a ; b) le plus grand des diviseurs communs à a et b.
 Le PGCD est le dernier reste non nul dans la succession de divisions euclidiennes de
l’Algorithme d’Euclide.
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Algorithme d’Euclide :
Ex : PGCD (252 ; 360)
360 : 252 = 1 reste 108
On peut schématiser l’Algorithme
d’Euclide ainsi :
360 = 252 x 1 + 108
252 : 108 = 2 reste 36
252 = 108 x 2 + 36
108 : 36 = 3 reste 0
108 = 36 x 3 + O
 Le PGCD (252 ; 360) = 36
 Le PGCD peut se calculer en décomposant les nombres sous forme de facteurs premiers.
Ex : PGCD (36 ; 24)
36
18
9
3
1
2
2
3
3
24
12
6
3
1
2
2
2
3
36 = 2² x 3²
24 = 23 x 3
PGCD (36 ; 24) = 2² x 3 = 12
(exposant le plus petit pour chaque nombre)
PPCM (36 ; 24) = 23 x 32 = 72
(exposant le plus grand pour chaque
nombre)
Le PPCM de deux nombres est le multiple le plus petit de ces deux nombres.
Algorithme des différences
145 –
100 –
55 –
45 –
35 –
25 –
15 –
10 5-
100 = 45
45
= 55
45
= 10
10
= 35
10
= 25
10
= 15
10
= 5
5
= 5
5
= 0
PGCD ( 145 ; 100 ) = 5
d) Nombres premiers entre eux
 On dit que deux nombres a et b sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égal à 1.
 Ne pas confondre :
Un nombre premier est un nombre qui n’est divisible que par 1 et lui-même.
Ex : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; …
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e) Propriétés des diviseurs communs à deux entiers naturels.
Un diviseur commun à deux entiers naturels a et b non nuls est un diviseur de leur somme, de
leur différence et du reste r dans la division euclidienne de a par b.
3) Simplification de l’écriture d’un rationnel (fraction irréductible)
 On dit qu’une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont
premiers entre eux.
Ex :
10
fraction irréductible
7
221
PGCD (221 ; 69) = 1 donc
fraction irréductible
69
PGCD (10 ; 7) = 1 donc
 Lorsque l’on veut simplifier une fraction, on divise son numérateur et son dénominateur
par le PGCD de ces deux nombres.
Ex :
simplifier
360
252
PGCD (360 ; 252) = 36
360 360 : 36 10


252 252 : 36 7
4) Quelques rappels
a) Division euclidienne
C’est la division de deux nombres entiers naturels
D
r
d
q
D : dividende
d : diviseur
q : quotient
r : reste
D = d x q + r avec r < d
b) Multiples
 Le naturel a est multiple de b signifie qu’il existe un nombre entier k tel que
a=bxk
a est un multiple de b et b est un diviseur de a.
ex : 12 est un multiple de 3 et 3 est un diviseur de 12
 Propriétés
o Si les naturels a et b sont multiples de c alors a + b aussi.
o a > b; si a est multiple de b et si b est multiple de c
alors a est multiple de c.
 Propriétés :
o soit a et b deux entiers tel que b < a
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les diviseurs communs de a et de b sont les mêmes que ceux de b et de a – b
en particulier PGCD (a ; b)= PGCD (b ; a – b )
o
si b est diviseur de a alors PGCD (a ; b ) = b
c) PPCM : plus petit commun multiple
 PPCM ( 30 ; 24)
30 = 2 x 3 x 5
24 = 23 x 3
PPCM (30 ; 24) = 23 x 3 x 5 = 120 (exposant le plus grand des nombres)
Voir Hatier : chapitre 3 – Tome 1
Faire les activités initiales p 79 n° 1 – 2 – 3.
Fiche exercices