Diviseurs en géométrie algébrique

Séminaire Claude Chevalley
C. S. S ESHADRI
Diviseurs en géométrie algébrique
Séminaire Claude Chevalley, tome 4 (1958-1959), exp. no 4, p. 1-9
<http://www.numdam.org/item?id=SCC_1958-1959__4__A4_0>
© Séminaire Claude Chevalley
(Secrétariat mathématique, Paris), 1958-1959, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la collection « Séminaire Claude Chevalley » implique l’accord avec
les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation
commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute
copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme
Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
Séminaire C. CHEVALLEY
4-01
S., 1958/59
E. N.
DIVISEURS EN GÉOMETRIE ALGÉBRIQUE
C. S. SESHADRI
première partie de cet exposée on: va démontrer un théorème de SERRE sur
les variétés complètes [6 J, suivant la méthode d6 GROTHENDIECK [4 ]. La seconde
partie est consacrée aux généralités sur les diviseurs. Dans la littérature, on
appelle souvent les diviseurs étudiés ici diviseurs localement principaux.
Dans la
Les espaces
algébriques considérés
ment clos. Par variété
ici sont définis
sur un
algébrique-
K
corps
algébrique irréductible. Si X est
un espace algébrique on note
0(X) ~ R(X) , etc. (ou simplement 0 ~ R etc.) les
faisceaux d’anneaux locaux, de fonctions régulières etc. sur X (pour définir
R(X) on suppose que X est une variété). Par faisceau cohérent sur X on
entend
M
appelle
que
est
=
espace
0-modules
sur
X .
[4J, [ 5 ] , [ 6 ] .
nodule
un
un
sur un anneau
intègre A (commutatif
élément m ~ 1/1 ,
un
a.m
entend
faisceau cohérent de
un
1. Préliminaires
Si
on
0 . On
appelle
(resp.
(resp. si M ~
module de torsion
M,
1’1
non-nul de
M n’est élément de
élément de torsion
un
torsion).
ann
torsion. Si
M
A
de
M
cst
( idéal
de
un
sans
0
et si
M ~ 0, M/T(M)
type fini sur A ,
il
formé par les éléments a ~ A
élément
1"1
forment
est
un
module
l’idéal
que
tels
tel
si chaque
aucun
si
module de torsion de
1 ) on
a ~0
torsion),
Les éléments de torsion de
le sous-module de torsion de
sans
av6c
s’il existe
élément de
est
et
a
11 =
0)
est non-nul.
Soient
X
un
espace
algébrique
F
et
un
faisceau de
0-modules
sur
X . On
fi
l’ensemble des points x ~ X tels que
0 . Si F est
cohérent, supp F est une partie fermée de X . D’ailleurs, si X est affine,
supp F est l’ensemble défini par l’idéal ann
F) de l’algèbre affine
appelle
H~(X ~ 0) , H~(X ~
Un faisceau
(resp.
0
est
x
F
faisceau
un
de
san s
F) étant considéré
0-modules
torsion)
module de torsion
si
sur une
pour
(resp.
un
comme un
module
variété
X
chaque
module sans
0) .
sur
est dit faisceau de torsion
le module
F
sur
l’anneau
torsion).
4-02
PROPOSITION
F est un faisceau cohérent
1 . - Si
T(F)
sous-faisceau cohérent
un
"
(6t
F
de
-
L’unicité est triviale. L’existence est
T(F)
affine~
rapport
H (X , 0) qui
Si F -/; 0 , F/11(l")
COROLLAIRE. -
PROPOSITION 2 e -
Si
si et seulement si
F
une
F
est
est
conséquence
est
PROPOSITION 3. -
X ,
F
un
(H~(X ~
T
F))
X
est
par
x.
faisceau cohérent
sans
la variété
sur
U
triviale du fait que si
F)
ann
torsion.
X,
F ~
supp
X
un
ouvert
affine~
0)
de
faisceau cohérent
un
faisceau cohérent
un
est
F)
où
0) .
est
il existe
du fait que, si
o
faisceau de torsion.
un
F
Si
définit
faisceau cohérent
un
supp F ~ U est défini par l’idéal
est considéré comité un module sur
.
conséquence
une
il existe
X,
(T(F)) x = T(F x)
tsl que
20142014~~20142014.
est obtenu par localisation du nodule
à l’idéal maximal de
C’est
seul)
un
variété
sur une
torsion
sans
sur une
1 ~ l /:. 0 , d’idéaux
variété
de
0,
tel que
i
do
0
0 . Si
on
I.F
Soit
l
tels que
prend
l’idéal
x
i
un
F
n
F
C 0, . Comme
U
ouvert affine
[Ho(U , f) :
maximal de
H (U , 0) qui
d’idéaux de
Soit
F
un
F ~F
1.e . l’idéal des éléments
est de
X ,
on
définit
type fini
vérifie que
110 (U ,
de
x .
Donc
par
x
&0
R
torsion
sans
est
sur une
injectif. Les
R
avec un
identifie le corps d33 fonctions rationnelles
est
constant).
F
comme un
appelle cette dimension
sous-faisceau de
PROPOSITION 4. - Sous les
un
de
faisceau cohérent
F ;
On/I.F
et
faisceau cohérent
un
variété
([ 5 ]
X . Alors l’homomorR
page
F
~0
R
229).
On
peut
et
espace vectoriel de dimension finie
(on
On
est
E.X
à l’idéal
rapport
faisceaux
des faisceaux localement constants et donc constants
ainsi identifier
x
est obtenu par localisation
1
0)
{IX}
0x , Ix ~ 0
sur
x
I.F
faisceau cohérent
phisme canonique
x
F)]
tel que
0
0
de
F
de
de l’idéal
1
]
n
=
rang de
rang
hypothèses
le faisceau
avec
F
et alors
on
R
comme
R
peut considérer
F .
que dans la
d’idéaux / 0 de 0 tel que
F/I.F sont alors des faisceaux de
proposition 3. il
l
La démonstration est immédiate.
R
sur
sont
existe
rang
torsion.
4-03
Si
.
Y
est
partie fermée
une
0
cohérent d’idéaux de
un
faisceau cohérent
1~
que
F
X
X ~
sur
note
l6 faisceau
L.
une partie
fermée d’un
C.Y ; alors il existe
supp F
avec
F
algébrique
espace
un
tel
k
entier
0 .
=
On est ramené
de
Y
on
Y .
défini par
PROPOSITION 5. - Soient
algébrique X ~
d’un espace
X
où
au cas
est
affine, pui.squ ’ il
par des ouverts affines. Dans
H (X , F)
ann H (X , F)
défini par l’idéal
est
ann
est bien connu, que
ce
existe
un
recouvrement fini
l’hypothèse implique que l’ensemble
contenu dans Y . Ceci entraîne, comme il
cas
Oly .
PROPOSITION 6, - Soit F un faisceau cohérent d’idéaux fractionnaires sur une
variété X (i.e. un sous-faisceau cohérent do R) tel que, pour chaque x en
dehors d’un fermé Y de X ~ Fx soit un idéal de 0 . Alors il existe un
~ ’
""2014201420142014’
Par la
0
de
proposition 3,
la
I"
implique
2,
proposition
~-J
l’hypothèse
et
J =6,
tel que
d’après
kT***
tel que
k
entier
si
5~
tel que
k
entier
donc
a
I~F~0.
et donc
Iy
supp
(0/J)
d’id.éaux
J
(0/J)
=
CY
et~
0 . Ceci
Théorème de dévissage.
C
Soient
On dit que
1~ tout
catégorie abélienne et G’ une sous-catégorie d’objets
C~ est exacte a gauche en G si
une
dans
d’un.
sous-objet
C’pourvu
Soit
X
objet
un
(en
sur
C~
de
C .
A
est
est
0 -~-A’ -~-A 2014~A" -~0
C
que les deux autres sont dans
algébrique.
espace
faisceaux cohérents
cohérent
de
"
2~ pour tout3 suite exacte
X
un
faisceau cohérent
un
J.F CO . On
et
x~:Y~
il existe
il existe
sur
possède
Y
mettant
0
sous-ca.tégorie
de
en
une
qui définis ent
un-peu
que
désigne
Y
est
extension
dehors de
C(X) .
-2014( )* Les
plus forts
X . Si
On
Avec
Y)
ces
>;’1-
.
,
catégorie abélienne
partie fermée de X ~ un faisceau
on
notations
une
C ~ l’objet
(1).
par
C (X)
canonique
et donc
ici
-.’ ux
une
dans
comme
peut
on a
la
faisceau cohérent
[4]
sur
considérer
C (Y) comme
le théorème suivant :
sous-catégorie
exacte
des
à gauche sont
une
4-04
,
B
THEOREME de
dévissage. - Soit D une .sous--catégorie exacte à gauche de O(X)
qui possèd6 la propriété suivante : pour tout partie fermée irréductible Y
de X , il existe un faisceau cohérent
Ny de C(Y) qui appartient à D et
qui est
sans
torison
La démonstration
X
réduit à
se
X
sur
un
6n
se
tant que faisceau
fait
par
nombre fini de
s’identifie
avec un
sur
récurrence
points
système.
espace vectoriel de dimension finie
i
on a
D
la dimension de
sur
P ,
i i ÎI. i ’i > ,
Y . Alors
’"’ ,
P
et
un
C (X) .
=
0,
faisceau cohérent
1 ~ ... ~
N.
Mp4
sur
din X
X. Si
r , où
K . Donc le faisceau
=
=
est
sur
un
Pi
qu’on
donne par
hypothèse est un espace vectoriel de dimension finie sur K . Diaprés
les axiomes d’une sous-catégorie exacte à gauche, il est trivial de vérifier
-i
que chaque système
1 , .1. , r , où Ni est un espace vectoriel de
dimension finie sur K , considéré corme faisceau cohérent sur X , appartient
se
=
à
D .
Supposons
din X
=
maintenant le théorème démontré pour toute dimension ~
Soit Y une partie fermée de X telle que din
n .
vérifie facilement que
D
C(Y) ~
hypothèses
satisfaisant
c.ux
est
du
n -
sous-catégorie exacte à gauche
théorème. Donc, par l’hypothèse de
une
1 . Soit
de
DOC(Y) .
récurrence
démontrer maintenant que si F est un faisceau cohérent sur X avec
et par ce qui précède
Supp F = Y , F E D . Si 1 .F == 0 , on a F
D . En tout cas, en vertu de la proposition 5, il existe un entier k ~ 1 ,
F = 0 . On fait la démonstration par récurrence sur k . Supposons
tel que
On
va
’
ly
l’assertion démontrée pour chaque faisceau cohérent
= 0 . Pour
F on a une suite exacte
Le faisceau
Donc
Iy.F est
Iy.F et
Supposons que X
G
sur
X
tel que
I"
annulé par
et le faisceau
est annulé par
appartiennent à D. Ceci entraine que F E D .
soit
une
variété et
F
un
faisceau
sans
torsion sur
n = rang
peut considérer F comme un sous-faisceau cohérent de
en vertu de la proposition 4, il existe un faisceau cohérent d’idéaux
que
I.F
et que les faisceaux
F
et
l
tel
soient des faisceaux de
torsion, F/IF ~ D ; donc F ~. D
D . De façon analogue, IF 6 D est équivalent à on ~ D et,
chômes d’une sous-catégirue exacte, à 0 ~ D . Donc F ~LD est
torsion. Comme
équivaut à
diaprés les
X . On
(F/IF)
est
un
faisceau de
4-05
équivalent
qu’on
répète le même argument pour le faisceau sans torsion
hypothèse, on en déduit 0 ED et ceci implique F E D .
0 E D . Si
à
donne par
se
on
soi t- un6 variété nais que F
Supposons encore que X
arbitraire. On démontre que
T(F)
où
la
est
proposition 2 ,
T(F)
T(F) e D , et
Soient
X
T(X) .
F/T(F)
On
X
a
algébrique
espace
est
F/T(F)
faisceau
avec un
"
arbitraire et
faisceau cohérent
un
sur
la variété
G
==
déterminé par
f:.
F
quent l’image
On
et par
à
de 03C6
appartient
D. On
on a
torsion. Par
sans
à
eUX.
un
Donc
F e D .
... ,
X
ses
composantes
peut être
est le faisceau d’idéaux de
F/L,
D . Donc le faisceau
homomorphisme canonique
a un
sous-faisceau cohérent de
G,
par consé-
D .
n X.
et par
de récurrence
l’hypothèse
et alors
i
qui précède
ce
est
de 03C6
supp ker BP
a
et par
appartient
F ~ G .
f:
i
Xi)
cohérent
faisceau
X,
sur
(l
X.
.
8{X)
0
faisceau
un
un
Gt, comme X est urne variété,
alors, diaprés l’hypothèse de récurrence,
vient de. démontrer que
on
irréductibles. Si F
identifie
T(F ) /
dupp
din
un
peut supposer F ~
faisceau de torison et
un
dira supp
F 6 D . On
soit
conséquent
D . Donc
F
X
din supp ker
théorème est
et le
dénontré.
(Théorème
COROLLAIRE
de
algébrique complet X ,
finie
On
Serre). -
Si
F
F)
alors
D
prend pour
F)
la
catégorie
de tous les faisceaux cohérents
soit de dimension finie
O(Y)
0(Y)) ~
cohérent
de
0 (y)
faisceau cohérent
sur un
espace
est un espace vectoriel de dimension
K
à
sur
K
Y
est
et par
(on désigne
X) . D’après
un
faisceau
conséquent
le
on
une
théorème,
variété
torsion
sans
H"(X ,
par le
K . On vérifie que
sur
sous-catégerie exacte à gauche en C(X) .
partie fermée irréductible, alors Y est
sur
un
K.
sur
que
finie
est
0(Y))
symbole
F
D
X
tels
est une
sait que si
Y
complète. Donc 16
avec la propriété
est
une
faisceau
est de dimension
=
0(Y) ~
sur
l’extension
le corollaire est démontrée
canonique
4-06
(Généralités).
3 . Diviseurs
X
Soient
té
une
le faisceau constant
respectivement
nulles et le faisceau
R*
faisceaux
algébrique
0* ,
et
X
sur
R* (X) , 0 (X)
et
X
sur
R* , 0*)
(ou sinplenent
des fonctions rationnelles et
non-
régulières et inversibles. Les
structure multiplicative, sont des
des fonctions
munis de leur
faisceaux des groupes abéliens.
D
Un diviseur
X
sur
est
de
R*
une
fonction de définition de
qui
est
D
en
fonction de définition de
appelée
f est un représentant d6 D(x) ,
régulière et inversible près dans
est
R*/O*
localement à
donnée suivante :
Ui
une
fonction
Uk
0
et
régulière
corme
dans
U.
U.
par des
permet
chaque
pour
une
éR*
x
~U
fonction
section de
une
et des fonctions
U ~
fki
= 1
dans
de construire
un
espace
comme
équivalence près [7J . D’ailleurs
faisceaux cohérents d’idéaux fractionnaires (i.6. les sous-faisceaux cohérents
m
coïncident dans
R) engendrés par f. 1 E:,t
U. et n6 dépendent pas
voir que cet espace fibre est déterminé à
de
ouverts,
telles que dans
c’est bien connu, cela
f
fonction
est déterminé par la
diviseurD
et
fibré localement trivial avec K*
les
relever
Un élément
appelé
est
si,
est déterminée à
Puisqu’on peut
un
U
ouvert
un
f
et alors
dans
f.
rationnelles non-nulles
soit
D
R* ,
recouvrement {Ui}
un
D(x) de D en x
Plus générralement, une
x .
section de
une
R*/0* .
quotient
de la valeur
représentant
un
section du faisceau
une
.
f.
du choix des fonctions de définition de
fractionnaires localement
vraie et cela
D
détermine canoniquement
D
que le diviseur
une
permet
une
principaux. On
dans
un
U.
et
entraîne
ù..
faisceau cohérent d’idéaux
voit facilement que la
définition équivalent6 d’un diviseur
réciproque
[1] .
est dit positif si pour chaque x
toutes les fonctions de définition de D 6n x sont des fonctions
D
Un diviseur
sur
X
(1.6.
en
x).
R*/0*
est
régulières
faisceau de groupes abéliens sur X , il y a une structure
canonique de groupe abélien dans l’ensemble des diviseurs sur X ; ce groupe
est appelé groupe des diviseurs sur X. La loi de composition dans ce groupe
Comme
est écrite
div f
f
un
additiveuent,
diviseur nul
Si
est
est
et
l’élément neutre dans
ce
groupe est donc
appelé
(0) .
une
fonction rationnelle non-nulle
par la donnée
(div f) (x)
=
image de
f
sur
dana
X ,
elle définit
R* /0; .
un
diviseur
1Gs diviseurs
4-07
obtenus de cette façon sont dits diviseurs principaux et forment
un
sous-groupe du
groupe des diviseurs sur X ; le groupe quotient est appelé groupe des classes des
diviseurs sur X 0 Deux diviseurs
et
sont dits équivalents, s’ils sont
équivalents module le groupe des diviseurs principaux ; on écrit
On a
D~
D~ .
qu’un diviseur définit à
vu
ment trivial
D2
une
équivalence près
un
espace fibre
algébrique
locale-
K* .
groupe structural
D’autre part il est facile de voir
qu’un espace fibre algébrique localement trivial avec K* comme groupe structural
définit un diviseur à une équivalence près [7] . Donc 16 groupe des classes des
diviseurs sur X =
groupe des classes d’espaces fibres algébriques
avec
O*) ,
équivalents
avec
peut définir
On
comme
K*
de
groupe structural.
comme
façon analogue
un
R/0 (les
section du faisceau
diviseur additif
diviseurs définis
sur une
variété
auparavant
X
appelés
sont
multiplicatifs ou simplement diviseurs)$ Les diviseurs additifs
un groupe abélien 6t même un espace vectoriel sur
K . Un diviseur
diviseurs
forment
additif est déterminé par la donnée suivante :
des ouverts, et des fonctions rationnelles
un
f.
fi - fi
comme
=
pour
f..
les
soit
fonction
une
diviseurs
régulière
(multiplicatifs)
additif, d’équive entre
0) le groupe
exemple
d’un diviseur
trouve par
sur
=
D
de
X
par
telles que
U. J.
peut définir,
Ude .On
fonction de définition
dans
les notions
deux diviseurs
additifs,
6tC. On
des classes des diviseurs additifs
points
i.6. chaque
ou
(multiplicatif) sur X . On appelle supp D l’ensemble
tels que D(x) ne soit
l’élément neutre dans R* /0*
diviseur
un
des
~ X
x
fonction de définition de
bien
y
D
en
partie fermée ~ X ~
X
points
0
tienne à
définition
g
ou
bien n’est pas définie
sur une
variété
X,
D
=
0
si et seulement si le
support
La dernière assertion est triviale. Pour la
des
x ,
en
prend la valeur 0 .
PROPOSITION 7e - L6 support d’un diviseur
E
dans
i.. U}
X .
Soit
x ,
recouvrement
est
un
de
D
D
première
X
est
une
est vide.
démontre que l’ensemble
tels que chaque fonction de définition de D en x appar-
ouvert
en
non-vide ;
x , elle
en
effet si
est aussi
une
on
on
prend
une
fonction de
fonction de définition de
D
g est régulière
qui contient x. Par hypothèse si x
x
et
en
0 , 6t on. peut choisir U de telle sort6 que g soit régulière
et inversible dans U ~ ce qui montre que E est un ouvert .
dans
un
ouvert
U
4-08
PROPOS ITION 8. - S i
est
est
f
est
pas définie
(i.6.
fonction
une
f(x)
=
dans
un
0153
0). Donc,
ou
nulles de
f
prend
on
U
et
une
on
vari.été de
on
f
pour
sait que
X , supp D
codimension 1).
sait que si f
pôles
n’est
ou de zéros de f
points x ~ Y où
fonction de définition de
une
est la réunion des variétés
supp D
dans
à
Y ,
de la fermeture de l’ensemble des
si
U
ouvert
sous-variétés fermées dE
ds
appartient
x
cn
normale
sur un6
variété nommale
sur une
composante irréductible
une
diviseur
un
réunion
une
Si
D
D
et
polaires
variétés sont de codinension 1
ces
chapitre
REMARQUE. - Si
X
n’est pas
le
n’est pas nécessairement de
variété affine
X
1 . Il est
D
d’un diviseur
support
6n
X
sur
effet facile de définir
une
’> 1
de dimension
qui est partout normale sauf 6n un point
le lieu du point (a ~ «i,b ,
dans l’espace
unique x 0
numérique à 4 dimensions). Il existe une fonction u qui est partout définie sur
nais qui n’est pas contenue dans
de x
X , qui est entière sur
cet anneau ; lui ajoutant au besoin une constnnte, on peut supposer que
xo n’6st
b ~ b3 ~
un
pas
zéro de
Il y
u.
a
alors
ouvert
un
diviseur de la fonction induite par
u
X’
sur
ait
X’
son
de
tel que 16
x
support réduit
au
point
x .
o
S
Supposons que X soit une variété
f est
une hypersurface sur X . Si
l’ordre de
On
(ordS
est
([ 2 J)
S
sur
S
un
D).S
cycle
D . Si
S
où
PROPOSITION 9. - Soit
injectif
lc
X
un
diviseur
sur
fonction de définition de
on
1,
une
du groupe des
de toutes les
ordS
en
x ~
D = 0
hypersurfaces
qu’on appelle cycle associé
variété
sur.
D
S .
si
prend maintenant la combinaison formelle
codimension 1
cycle
X . Soit
ni de
f
pas du choix de
nE>
parcourt
de codimension
chaque diviseur D ,
uno
D
D . Il est facile de voir que
not6r cet entier par
peut
et seulement si
C
f
et
X
dans
au
diviseur
de
X,
D .
L’application qui associE à
associé à D , est un homomorphisme
groupe des cyclES do codimen-
sion 1.
La démonstration est triviale.
PROPOSITION 10. - Si
X
est
qui associe à chaque diviseur
en plus une variété non singulière,
son cycle associé est bijectif.
l’homomorphisme
4-09
Il suffit de montrer
cycle . À.3
tel que 16
D,
singulière,
S,
Donc il existe
x .
16
chaque
pour
chaque
pour
pour toute
verts Ui de X
un
x
il
~ X , l’anneau
local
eat défini
BU.B ,
recouvrement
en
est
dehors d6
S
d.a,ns
fonction
une
le recouvrement {Ui}
U, 1
= 0 ,
est facile de voir que 16 diviseur D
D
la
est
proposition
Le
singulière.
par.
x
=
Z = 0
dans
avec
est
U.
proposition
exemple pour
n’6St
le
où
... , D
16 cône
X
est
non-
factoriel [3] ;
donc
ordS f. 1
Uo
=
=
1 . Il
en
résulte que
U. ~ U.. Prenons maintenant
.
i
C S
1 . Il
6t posons
lequel fi 6St une fonction d6
le cycle associé à D soit 1 .S . Donc
pour
que
nt6st pas
diviseur
équation dans un voisinage dG
1 , ... , p de S par des ouet
régulière dans
et invsrsible dans
,
définition do
i =
i,
T]. 1. ri
est
0x
un
seule
une
par
6t pour
non-nulle
hypersurface S, il existe
à D . Puisque
toujours vraie
0
xy - zw =
si
dans
X
n’6st
K4 ,
le
non-
cycle défini
diviseur.
Cycle
BIBLIOGRAPHIE
[1]
[2]
CARTIER
(Thèse
(Pierre). -
Diviseurs et dérivations en géométrie algébrique
1958) ; à paraître dans Bull. Soc. math. France.
Sc. math. Paris.
CHEVALLEY
(Claude). - Fondements de la Géométrie algébrique. - Paris,
mathématique, 1958, multigraphié (Cours professé à la
Secrétariat
Sorbonne en
1957/58).
[3] GODEMENT (Roger). - Propriétésanalytiques des localités, Séminaire CartanChevalley, t. 8, 1955/56, Géométrie algébrique, exposé n° 19.
[4] GROTHENDIECK (Alexandre). - Sur les faisceaux algébriques et les faisceaux
analytiques cohérents, Séminaire H. Cartan,
questions de topologie, exposé n° 2.
[5]
SERRE (Jean-Pierre). - Faisceaux algébriques
Series 2, t. 61, 1955, p. 197-278.
[6]
SERRE (Jean-Pierre). - Sur la
Math. pures et appl., Série
[7]
WEIL
A.
9,
36,
9,
1956/57,
cohérents,
des variétés
1957, p. 1-16.
cohomologie
t.
t.
Quelques
Annals of
Math.,
algébriques,
(André). - Fibre spaces in algebraic geometry (Notes prises
Wallace, 1952). - Chicago, University of Chicago, 1955.
J.
par