Chapitre 4.X1 – Le moment cinétique orbital et spin

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Chapitre 4.X1 – Le moment cinétique orbital et spin
Le moment cinétique orbital et spin
Le moment cinétique
z
L d’un corps peut être fractionné
en deux parties : moment cinétique orbital et spin. Le
moment cinétique orbitale
Oz
L correspond au
moment cinétique selon l’axe z associé à la translation
du centre de masse autour du point de référence et le
moment cinétique spin
CMz
L correspond au moment
cinétique selon l’axe z associé à la rotation du corps
autour de son propre centre de masse CM :
z
ω
v
CM
p
v
Oz
L
v
CMz
L
v
θ = 0
o
θ = 60
o
θ = 120
o
θ = 180
o
CM
r
CM
Point
référence
*
*
*
*
CMO zzz
LLL +=
tel
(
)
θ sin
CMCMO
prL
z
=
et CMCMCM zz
IL ω =
où
z
L : Moment cinétique total du corps par rapport au point de référence ( /smkg
2
⋅)
O z
L : Moment cinétique orbital du corps : moment cinétique du CM autour du point de
référence ( /smkg
2
⋅)
CM z
L: Moment cinétique spin du corps : moment cinétique autour du CM ( /smkg
2
⋅)
CM
r : Distance dans le plan xy entre le point de référence et le CM du corps (m)
CM
p : Module de la quantité de mouvement du corps dans le plan xy ( m/skg
⋅
ou Ns )
θ
: Angle dans le plan xy entre
CM
r et
CM
p
CM
I : Inertie de l’objet en rotation autour de l’axe z passant par le CM (
2
mkg ⋅ )
CM z
ω : Vitesse angulaire de rotation du corps autour du centre de masse selon l’axe z (rad/s)
Preuve : (considérant que
CM O zzz
ωωω == )
À l’aide de la définition du moment cinétique d’un corps et du théorème des axes parallèles,
développons une nouvelle expression pour le moment cinétique
z
L faisant intervenir deux
composantes distinctes tel que le moment orbital
O z
L et le moment spin
CM z
L :
zz
IL ω =
⇒
(
)
zz
ImhL ω
CM
2
+= (Théorème axe parallèle :
CM
2
ImhI += )
⇒
zzz
ImhL ωω
CM
2
+= (Distribuer
z
ω )
⇒
CMz
2
LmhL
zz
+= ω (Remplacer
CM zz
ωω = et
CMCMCM zz
IL ω = )
⇒
CMz
2
CM
LrmL
zz
+= ω (Remplacer hr =
CM
)
⇒
CMzCM//CM
LvrmL
z
+= (Remplacer
z
rv ω
CMCM//
= )
⇒
(
)
CMzCMCM
sin LvrmL
z
+= θ (Remplacer
(
)
θ sin
CMCM//
vv =)
⇒
(
)
CMzCMCM
sin LprL
z
+= θ (Remplacer
(
)
θ sin
CMCM
vp =
⇒
CMzOz
LLL
z
+= ■ (Remplacer
(
)
θ sin
CMCMO
prL
z
=)

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Décomposition du moment de force
Un moment de force
z
τ peut être décomposé en
moment de force orbital et spin. Le moment de
force orbital
O z
τ mesure l’efficacité de la force à
faire tourner le centre de masse autour du point de
référence. Le moment de force spin
CM z
τ mesure
l’efficacité de la force à faire tourner le corps autour
de son propre centre de masse :
CMO zzz
τ
τ
τ
+
=
*
z
τ
v
F
v
r
CM
r
θ
corps
r
α
β
Oz
τ
v
CM z
τ
v
CM
F
v
tel que
(
)
ατ sin
CMO
Fr
z
±=
et
(
)
βτ sin
corpsCM
Fr
z
±=
où
z
τ : Moment de force selon l’axe z ( mN
⋅
)
O z
τ : Moment de force orbitale selon l’axe z ( mN
⋅
)
CM z
τ : Moment de force spin selon l’axe z ( mN
⋅
)
CM
r : Distance dans le plan xy entre le point de référence et le centre de masse (m)
corps
r : Distance dans le plan xy entre le centre de masse et l’endroit où est appliquée la force (m)
F
: Force qui effectue le moment de force projetée dans le plan xy (N)
α
: Angle dans le plan xy entre
CM
r et
F
β
: Angle dans le plan xy entre
corps
r et
F
Preuve :
Décomposons les distance
r
,
CM
r et
corps
r en
composantes perpendiculaire à
F
v
(bras de levier) à
l’aide des angles
α
,
β
et
θ
. Puisque ces trois
distances forment un triangle, la somme des
distances décomposées précédemment est égale à
zéro si l’on attribue un signe au sens du parcours
dans le triangle. Ceci nous permet d’affirmer la
relation suivante :
(
)
(
)
(
)
βαθ sinsinsin
corpsCM
rrr +=
*
z
τ
v
F
v
r
CM
r
θ
corps
r
α
β
CM
(
)
α sin
CM
r
(
)
β sin
corps
r
(
)
θ sinr
Remplaçons cette relation dans l’expression du moment de force
z
τ et décomposons notre
moment de force en
O z
τ et
CM z
τ :
(
)
θτ sinFr
z
=
⇒
(
)
Fr
z
θτ sin= (Réécriture)
⇒
(
)
(
)
(
)
Frr
z
βατ sinsin
corpsCM
+= (Remplacer
(
)
θ sinr )
⇒
(
)
(
)
βατ sinsin
corpsCM
FrFr
z
+= (Distribuer F )
⇒
CMO zzz
τττ += ■ (Remplacer la définition)

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Dynamique de rotation selon l’axe z
Le moment cinétique total
z
L selon l’axe z d’un
corps peut toujours être décomposé en composante
orbitale
O z
L et spin
CM z
L même si la vitesse
angulaire orbitale
O z
ω n’est pas égale à la vitesse
angulaire de spin
CM z
ω , car on peut toujours
décomposer tout moment de force en composantes
orbitales et spins. Ainsi, le moment de force
orbitale
O z
τ modifie le moment cinétique
orbitale
O z
L dans le temps et le moment de force
spin
CM z
τ modifie le moment cinétique spin
CM z
L
dans le temps :
CMS
ω
v
OL
ω
v
CML
ω
v
CMT
ω
v
OT
ω
v
Système Soleil-Terre-Lune
jours24,365
OT
=
T rad/s10991,1
7
OT
−
×= ω
s4min5623h
CMT
=
T rad/s1029,7
5
CMT
−
×= ω
tel que
T/2
π
ω
=
dt
Ld
z
z
O
O
= τ
et
dt
Ld
z
z
CM
CM
= τ
où
O z
τ : Moment de force orbitale selon l’axe z ( mN
⋅
)
O z
L : Moment cinétique orbital du corps (CM autour du point de référence) ( /smkg
2
⋅ )
CM z
τ : Moment de force spin selon l’axe z ( mN
⋅
)
CM z
L : Moment cinétique spin du corps (corps autour du CM ) ( /smkg
2
⋅ )
Preuve :
Décomposons l’expression générale de la 2
ième
loi de Newton en rotation en composante
orbitale et spin et associons des termes ensembles :
dt
Ld
z
z
= τ
⇒
(
)
dt
LLd
zz
z
CMO
+
= τ (Remplacer
CMO zzz
LLL += )
⇒
dt
Ld
dt
Ld
zz
z
CMO
+= τ (Distribuer la dérivée)
⇒
dt
Ld
dt
Ld
zz
zz
CMO
CMO
+=+ ττ (Remplacer
CMO zzz
τττ += )
Démontrons une 1
ière
association :
dt
Ld
z
z
O
O
= τ
⇒
(
)
dt
prd
z
CM//CM
O
= τ (Remplacer
CM//CMO
prL
z
= )
⇒
(
)
dt
pd
r
z
CM//
CMO
= τ (Factoriser constante)
⇒
//CMO
Fr
z
= τ (2
ième
loi de Newton : dtdpF /
=
)
⇒
(
)
ατ sin
CMO
Fr
z
= (Remplacer
(
)
α sin
//
FF = )
⇒
OO zz
ττ = ■ (Remplacer
(
)
ατ sin
CMO
Fr
z
= )

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Démontrons une 2
ième
association :
dt
Ld
z
z
CM
CM
= τ
⇒
(
)
dt
Id
z
z
CMCM
CM
ω
τ = (Remplacer CMCMCM zz
IL ω =
)
⇒
dt
d
I
z
z
CM
CMCM
ω
τ = (Factoriser constante)
⇒
CMCMCM zz
I ατ = (Remplacer dtd
zz
/
CMCM
ωα = )
⇒
CMCM zz
ττ = ■ (Remplacer
CMCMCM zz
I ατ = )
Lancer une balle de baseball
Lancer au baseball une balle rapide avec un « backspin »
illustre très bien l’intérêt de décomposer le moment
cinétique en composant orbital et spin, car la vitesse
angulaire
O z
ω associé au moment cinétique orbital
O z
L
est aucunement reliée à la vitesse angulaire
CM z
ω associée
au moment cinétique spin
CM z
L. Pour simplifier la
situation, nous allons négliger la résistance de l’air :
Éric Gagné lance
une balle rapide
• La force gravitationnelle
g
m
v
est appliquée au CM de la balle.
• On néglige la résistance de l’air.
• La trajectoire de la balle est une parabole, car 0 =
x
a et ga
y
−= selon amF
v
v
=
∑
.
• La balle tourne sur elle-même, car elle possède une vitesse angulaire spin initiale
CM z
ω .
•
CM
p
v
n’est pas conservée, car 0
ext
≠
∑
F
v
(la trajectoire n’est pas rectiligne).
•
O z
L n’est pas conservé, car 0
extOz
≠
∑
τ (la trajectoire n’est pas circulaire ni rectiligne).
•
CM z
L est conservé, car 0
extCMz
=
∑
τ . De plus,
CM z
ω est constant car
CM
I est constant.
•
CMO zzz
LLL += n’est pas conservé.
Remarque :
o
O z
L ↓ et
y
p ↓
dans la monté.
o
O z
L ↑ et
y
p ↓
dans la descente.
o
CM z
L est constant.
o
x
p est constant.
Schéma : Trajectoire d’une balle de baseball

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Situation A : Albert au bowling. Albert fait rouler une boule de
bowling de 4 kg et de 20 cm de diamètre à une vitesse de 1,8 m/s
et à une vitesse angulaire de 15 rad/s orientée vers l’avant sur
une allée de bowling horizontale. La boule glisse et roule en
même temps sur l’allée (
CMCM
ω rv ≠ ). En raison de l’huile
déposée sur l’allée, le coefficient frottement cinétique entre la
boule et l’allée est uniquement de 0,01.
On désire évaluer (a) le sens du frottement qu’applique l’allée sur la boule et (b) le
temps requis pour que la boule roule sans glisser sur l’allée.
Pour évaluer le sens du frottement, il faut évaluer la vitesse
de l’élément de la boule en contact au sol par rapport au sol.
Pour ce faire, nous allons utiliser l’addition relative des
vitesses (voir chapitre 1.4 : Vitesses relatives en une
dimension ) :
*
CM
v
v
x
CMz
ω
v
y
BRABAR xxx vvv +=
⇒
CMrotsol vvv +±=
(
CM
v+ , car déplacement vers la droite)
⇒
CMrotsol vvv +−=
(
rot
v− , car rotation vers l’avant)
⇒
(
)
CMCMsol
vrv
z
+−= ω (Vitesse tangentielle :
CMrot z
rv ω = )
⇒
CMCMsol z
rvv ω −=
(Réécriture)
Si 0
sol >v : ( CM z
ω petit) Si 0
sol =v : ( CM z
ω adéquat) Si 0
sol <v : ( CM z
ω grand)
L’élément de boule en contact
au sol se déplace vers la droite
et le frottement
c
ff
v
v
= sera
orienté vers la gauche.
*
CM
v
v
CM z
ω
v
sol
v
v
f
v
Conséquence :
CM
v ↓ et
CM z
ω ↑
L’élément de boule en contact
au sol est immobile et
puisqu’il n’y a pas de force
autre que le frottement,
0==
s
ff
v
v
.
*
CM
v
v
CM z
ω
v
0
sol =v
v
0=f
v
Conséquence :
La boule continue de rouler
sans glisser.
L’élément de boule en contact
au sol se déplace vers la
gauche et le frottement
c
ff
v
v
= sera orienté vers la
droite.
*
CM
v
v
CM z
ω
v
sol
v
v
f
v
Conséquence :
CM
v ↑ et
CM z
ω ↓
Évaluer le sens du frottement initialement :
CMCMsol z
rvv ω −=
⇒
(
)
(
)
(
)
1520,08,1
sol −=v
⇒
m/s2,1
sol −=v
(a) et nous avons un frottement vers l’avant.