Trigonométrie+(cours II) (1)

II Repérage sur le cercle trigonométrique
1) Le cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O
et de rayon 1.
2) Orientation du plan
Sur le cercle trigonométrique, deux sens de parcours sont possibles :
• le sens positif ou sens direct ou sens trigonométrique qui est le sens inverse des aiguilles
d'une montre.
• le sens négatif ou sens indirect ou sens anti-trigonométrique qui est le sens des aiguilles
d'une montre.
3) Enroulement autour du cercle trigonométrique
À tout nombre réel 𝑥, on associe un unique point M du cercle trigonométrique C de la manière
suivante :
A étant le point de coordonnées (1 ; 1), on munit la droite (IA) du repère (I ; A).
À tout réel 𝑥, on commence par associer le point N d'abscisse 𝑥 sur la droite (IA), puis on
« enroule » la droite (IA) sur le cercle trigonométrique, dans le sens positif si 𝑥 est positif et
dans le sens négatif si 𝑥 est négatif.
On place alors le point M sur C là où arrive le point N : la longueur de l'arc de cercle IM est
alors égale à celle du segment [IN].

.
2
Comme la longueur du cercle C est égale à 2, le point J correspond aussi au réel
 + 2 = 5 ou au réel  – 2 = – 3 ou encore au réel  + 3  2 = 13 …
2
2
2
2
2
2
Par exemple, le point J ci-dessus correspond au réel
Propriété : Tout point de C est l’image d’une infinité de nombres réels.
Si M est l’image du nombre réel x, alors M est aussi l’image de tous les nombres réels de la forme
x + k  2, où k est un entier relatif.
Exemple : Sur la figure précédente, le point J est l’image de  et aussi de  + 1  2 = 5 ,
2
2
2

9

13

3

de + 2  2 =
, de + 3  2 =
, …, de – 1  2 = –
, de – 2  2 = – 7 , …
2
2
2
2
2
2
2
2
Voici quelques points particuliers du cercle trigonométrique et, pour chacun, un des réels qui lui est
associé :
Exercice : Placer les points A et B associés respectivement aux réels 37 et – 25 .
4
3
Pour pouvoir utiliser le schéma ci-dessus, on cherche des réels de l’intervalle ] –  ; ] qui ont la
même image que 37 et – 25 sur le cercle trigonométrique. Pour cela :
4
3
• On divise 37 par 2 : 37  2 = 37  1 = 37  5 (on choisit l’arrondi à l’unité).
4
4
4
2 8
Le réel 37 a la même image que le nombre 37 – 5  2 = 37 – 40 = – 3 .
4
4
4
4
4
25
25
25
1
25
• On divise –
par 2 : –
 2 = –

=–
 – 4 (on choisit l’arrondi à l’unité).
3
3
3
6
2
Le réel – 25 a la même image que le nombre – 25 – ( – 4)  2 = – 25 + 24 = – - .
3
3
3
3
3