II Repérage sur le cercle trigonométrique
1) Le cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé (O ; I ; J), on appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O
et de rayon 1.
2) Orientation du plan
Sur le cercle trigonométrique, deux sens de parcours sont possibles :
• le sens positif ou sens direct ou sens trigonométrique qui est le sens inverse des aiguilles
d'une montre.
• le sens négatif ou sens indirect ou sens anti-trigonométrique qui est le sens des aiguilles
d'une montre.
3) Enroulement autour du cercle trigonométrique
À tout nombre réel 𝑥, on associe un unique point M du cercle trigonométrique C de la manière
suivante :
A étant le point de coordonnées (1 ; 1), on munit la droite (IA) du repère (I ; A).
À tout réel 𝑥, on commence par associer le point N d'abscisse 𝑥 sur la droite (IA), puis on
« enroule » la droite (IA) sur le cercle trigonométrique, dans le sens positif si 𝑥 est positif et
dans le sens négatif si 𝑥 est négatif.
On place alors le point M sur C là où arrive le point N : la longueur de l'arc de cercle IM est
alors égale à celle du segment [IN].
Par exemple, le point J ci-dessus correspond au réel
2 .
Comme la longueur du cercle C est égale à 2
, le point J correspond aussi au réel
2 + 2
= 5
2 ou au réel
2 – 2
= – 3
2 ou encore au réel
2 + 3
2
= 13
2 …
Propriété : Tout point de C est l’image d’une infinité de nombres réels.
Si M est l’image du nombre réel x, alors M est aussi l’image de tous les nombres réels de la forme
x + k
2
, où k est un entier relatif.
Exemple : Sur la figure précédente, le point J est l’image de
2 et aussi de
2 + 1
2
= 5
2 ,
de
2 + 2
2
= 9
2 , de
2 + 3
2
= 13
2 , …, de
2 – 1
2
= – 3
2 , de
2 – 2
2
= – 7
2 , …
Voici quelques points particuliers du cercle trigonométrique et, pour chacun, un des réels qui lui est
associé :
Exercice : Placer les points A et B associés respectivement aux réels 37
4 et – 25
3 .
Pour pouvoir utiliser le schéma ci-dessus, on cherche des réels de l’intervalle ] –
;
] qui ont la
même image que 37
4 et – 25
3 sur le cercle trigonométrique. Pour cela :
• On divise 37
4 par 2
: 37
4 2
= 37
4
1
2
= 37
8
5 (on choisit l’arrondi à l’unité).
Le réel 37
4 a la même image que le nombre 37
4 – 5
2
= 37
4 – 40
4 = – 3
4 .
• On divise – 25
3 par 2
: – 25
3 2
= – 25
3
1
2
= – 25
6
– 4 (on choisit l’arrondi à l’unité).
Le réel – 25
3 a la même image que le nombre – 25
3 – ( – 4)
2
= – 25
3 + 24
3 = – -
3 .
1
/
2
100%
