PARTIE I : Algorithme de Babylone I.1. a. ϕ (x) = x2−2 2x2 . Le

PARTIE I : Algorithme de Babylone
I.1. a. ϕ0(x) = x2−2
2x2.Le tableau de variation de ϕest :
x0√2+∞
ϕ0(x)−0+
+∞+∞
ϕ(x)& %
√2
I.1.b. (i) est ´ evident d’apr` es l’´ etude de ϕ.Sur i√2,+∞h,ϕest strictement crois-
sante, donc pour tout x>√2,ϕ(x)>ϕ√2=√2.
La deuxi` eme in´ egalit´ e s’obtient par l’´ etude de la fonction x7→ϕ(x)−xsur i√2,+∞h.
I.2.a. On commence par d´ emontrer par r´ ecurrence sur n(n>1 ) que un>√2.On
en d´ eduit alors d’apr` es la question pr´ ec´ edente que pour tout n>1,√2<ϕ(un)<un,
soit √2<un+1<un,ce qui prouve bien que la suite (un)est strictement d´ ecroissante
`
a partir du rang 1.
I.2.b. Si u0>√2,alors d’apr` es ce qui pr´ ec` ede, la suite (un)est bien d´ ecroissante.
Si u0∈i0,√2h,alors u1=ϕ(u0)>√2>u0,et donc la suite n’est pas d´ ecroissante
`
a partir dur rang 0.En conclusion, la suite (un)est globalement d´ ecroissante d` es lors
que u0>√2.
I.3. La suite (un)est d´ ecroissante ` a partir du rang 1,et minor´ ee par √2.Elle est
donc convergente vers une limite lsup´ erieure ou ´ egale ` a√2.Celle limite lest solution
de l’´ equation l=ϕ(l),d’apr` es la continuit´ e de la fonction ϕ.Cette ´ equation a deux
solutions qui sont √2 et −√2.La seule valeur possible pour lest donc √2.
I.4. Pour x>√2,on a d´ ej` aϕ(x)−√2>0 d’apr` es la question I.1.b (ii). Remar-
quons que :
ϕ(x)−√2=x2+2−2√2x
2x=x−√22 2x
L’in´ egalit´ ex>√2 entraˆ ıne alors que 1
2x<1
2√2,d’o`
u l’in´ egalit´ e :
0<ϕ(x)−√2<x−√22
2√2
I.5.a. Pour tout n,un>√2 ( car on a suppos´ e que u0>√2 ), et donc un−√2>0,
1

ce qui l´ egitime la d´ efinition de vn. Formons :
vn+1−2vn=lnun+1−√2−2lnun−√2
=ln
un+1−√2
un−√22
=ln
ϕ(un)−√2
un−√22
or un>√2 donc
<ln
un−√22
2√2un−√22
<ln1
2√2
<−3ln√2
On en conclut bien que vn+1<2vn−apour tout n.
I.5.b. Comme limn→+∞un=√2,on a limn→+∞vn=−∞, donc il existe n0tel que
vn0<0.
I.5.c. On effectue une d´ emonstration par r´ ecurrence sur nen prenant comme hy-
poth` ese de r´ ecurrence H(n)` a l’ordre n:
vn+n062nvn0−(2n−1)a
•H(0):vn0620vn0−20−1a=vn0,donc H(0)est v´ erifi´ ee.
•On suppose que H(n)est v´ erifi´ ee, et on d´ emontre que H(n+1)l’est aussi. On
a
v(n+1)+n06vn+n0+1
62vn+n0−a
62(2nvn0−(2n−1)a)−a
62n+1vn0−2n+1−1a
Ce qui ´ etablit l’in´ egalit´ e cherch´ ee.
Il suffit ensuite de remarquer que comme vn0<0,et (2n−1)a>0,on a bien
vn+n06−(2n−1)a
I.6. On trouve que n0=3 et que k=6.
I.7.a. En proc´ edant de la mˆ eme mani` ere que dans les questions pr´ ec´ edentes, on
´
etablit les r´ esultats :
∀x>0ϕα(x)>√αet ∀x>√α√α<ϕα(x)<x
2

I.7.b. On d´ emontre par r´ ecurrence que un>√αpour tout n>1.Les in´ egalit´ es
de la question pr´ ec´ edente prouvent alors que la suite (un)est d´ ecroissante ` a partir du
rang 1.Enfin, la suite (un)´ etant d´ ecroissante et minor´ ee est convergente vers une des
solutions de l’´ equation l=ϕα(l),ce qui permet d’obtenir l=√α.
I.7.c. limn→+∞vn=−∞,donc il existe n0tel que vn0<0.On commence par re-
marquer que :
ϕα(x)−√α=x−√α2
2x
ce qui prouve que pour tout x>α,on a :
0<ϕα(x)−√α<x−√α2
2√α
On peut maintenant former la diff´ erence :
vn+1−2vn=ln ϕα(un)−√α
un−√α2!6ln1
2√α6−ln2√α
On a donc ´ etablit que pour tout n
vn+162vn−ln2√α
Par r´ ecurrence, il suffit alors de v´ erifier que
vn+n062nvn0−(2n−1)aα
puis, comme vn0<0,d’en d´ eduire que
vn+n06−(2n−1)aα
I.7.d. On trouve que k=5.
PARTIE II : M´ ethode de Newton et Algorithme de Babylone
II.1. Il suffit d’appliquer le th´ eor` eme de bijection pour une fonction continue
strictement monotone.
II.2. La question est imm´ ediate et on peut conjecturer que la suite (un)est crois-
sante et convergente.
II.3.a. On suppose qu’il existe t0∈[a,b[tel que f0(t0) = 0.Comme la fonction f0
est strictement croissante ( puisque par hypoth` ese f00 est positive sur [a,b]), on peut en
d´ eduire que f0s’annule et change de signe en t0,ce qui contredit le fait que la fonction
fest d´ ecroissante sur [a,b].Donc pour tout tde [a,b[,on a f0(t)6=0.
On introduit la fonction Ψ:[a,b]−→ Rd´ efinie par
Ψ(t) = f(t)−f(a)−(t−a)f0(a)
On a Ψ(a) = 0,Ψqui est d´ erivable sur [a,b],et Ψ0(t) = f0(t)−f0(a)>0 car f0
est croissante. Cela entraˆ ıne que Ψest croissante, donc que Ψ(t)>0.Cette in´ egalit´ e
s’´ ecrit pour tout t>af(t)−f(a)
t−a>f0(a)
3

G´ eom´ etriquement, on peut dire que la tangente ` a la courbe repr´ esentative de fau point
d’abscisse aest toujours situ´ ee au-dessus de la droite qui joint le point A(a,f(a)),et
un point Mquelconque appartenant ` a la courbe repr´ esentative de f.( L’abscisse de M
´
etant bien sˆ ur sup´ erieure ou ´ egale ` ab).
II.3.b. En cherchant l’intersection de la tangente ` a la courbe repr´ esentative de f
avec l’axe des abscisses, on trouve que
u1=a−f(a)
f0(a)
Or, l’in´ egalit´ ef0(a)6f(t)−f(a)
t−a, valable pour tout t>aprouve que f0(a)60,puisque
(t−a)>0 et que fest strictement d´ ecroissante. Comme de plus f0ne s’annule pas
sur [a,b[,on a f0(a)<0.On sait de plus que f(a)>0,donc on en d´ eduit que u1>a.
Remarquons maintenant que dans l’in´ egalit´ ef0(a)6f(t)−f(a)
t−a,si l’on choisit t=c,on
trouve que
f0(a)6−f(a)
c−a⇒c>a−f(a) f0(a)⇒c>u1
Comme fest strictement d´ ecroissante sur I,on a l’implication :
a<u16c⇒f(c)6f(u1)<f(a)⇒06f(u1)
II.3.c. On montre par r´ ecurrence sur nque pour tout n>1,on a
un∈]a,c]et que f(un)>0
en proc´ edant de la mˆ eme mani` ere qu’` a la question pr´ ec´ edente. On remarquera que
un+1=un−f(un)
f0(un)
On termine en remarquant que f(un)>0 et f0(un)<0,ce qui prouve bien que la suite
(un)est croissante.
II.3.d. (un)est une suite croissante et major´ ee par c,donc elle est convergente vers
une des solutions de l’´ equation
l=l−f(l)
f0(l)⇔f(l) = 0⇔l=c( unicit´
e de c)
II.4. On d´ efinit la fonction χsur [−b,−a]par χ(x) = −f(−x).On v´ erifie que :
•χ(−b) = −f(b)>0 et que χ(−a) = −f(a)<0.
•χ0(x) = f0(−x)<0,donc χest strictement d´ ecroissante.
•χ00 (x) = −f00 (−x)>0 sur [−b,−a].
On en d´ eduit qu’il existe une suite (vn)d´ efinie par :
vn+1=vn−χ(vn)
χ0(vn)=vn+f(−vn) f0(−vn)avec v0=−b
4

qui est croissante et convergente vers c0.Le point c0est tel que χ(c0) = 0,c’est ` a dire
tel que −f0(−c0) = 0,soit f0(−c0) = 0,d’o` uc0=−c.On d´ efinit alors la suite (un)par
un=−vn.La suite (un)est donc d´ ecroissante puisque (vn)est croissante, et comme la
suite (vn)converge vers −c,la suite (un)est convergente vers c.
II.5.a. On se trouve dans le cas d’une fonction concave.
II.5.b. On obtient ais´ ement :
un+1=un−fα(un)
f0
α(un)=u2
n+α
2un
La suite (un)est d´ ecroissante et convergente vers √α.Ceci prouve que l’on dispose
d’un moyen de calcul approch´ e de toute racine carr´ ee.
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