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Les racines carrées
A. Activité de découverte
Henry veut construire différents enclos carrés pour ses animaux. Il possède des lapins, des chèvres et
des poules.
Pour les lapins, il veut construire un enclos de 4 m² ;
Pour les chèvres, il veut construire un enclos de 9 m² ;
Enfin, pour les poules, il veut construire un enclos de 5 m².
Pour cela, il doit connaitre les longueurs de côté de chacun des carrés ; aide-le à les trouver.



Longueur de côté pour l’enclos des lapins :……………………………
Longueur de côté pour l’enclos des chèvres :……………………………
Longueur de côté pour l’enclos des poules :……………………………
L’opération que tu as utilisée sans le vouloir est l’opération ……………………………………………….
B. Définition
La racine carrée positive d’un nombre positif a, notée √a, est le
nombre positif x dont le carré vaut a.
Si a ≥0 : …………………………………………………………………………………
Remarques :
 Dans l’expression√a, a est appelé le …………………………………….. et √ le ……………………………….
 Le radical doit couvrir tout le radicand
On écrit : √3254 et non : √3254
2
C. Calcul d’une racine carrée
1. Racine carrée positive

Dans certains cas, on peut connaitre la valeur exacte de √a.
√9 = ……………….
= ………………………..
= ……………………………
Un nombre admet une racine carrée exacte s’il se décompose en un
produit de facteurs dont les exposants sont ……………………….
Exemples :
√1,44 =
√0,49=
√400=
√810000=

Dans d’autres cas, il est impossible de donner la valeur exacte de √a. On ne peut en donner
qu’une valeur approchée. Elle s’obtient à l’aide de la calculatrice.
√20 ≅ ……………………………
√13 ≅ ………………………………..
2. Racine carrée négative
La racine carrée négative -√a est …………………………………
de la racine carrée positive.
-√169 = ……………………….
-√25 = ………………………………..
-√25 existe mais √-25 n’existe pas.
La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
3
D. Les propriétés des racines carrées des nombres positifs
1. Activité de découverte
Complète le tableau suivant :
a
b
4
9
196
49
√a
a.b
√b
√a.b
√a.√b
√
√
√a+b
√a+√b
√a-b
Que constates-tu ? ………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………….……………………………………………
………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………
2. Racine carrée d’un produit
√3 . √12 = ……………………………………………………………………………………………………………………..
√50 . √2 = ……………………………………………………………………………………………………………………..
√45 = ……………………………………………………………………………………………………………………….......
La racine carrée d’un produit de plusieurs nombres positifs est
égale…………………………………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………….
(Et réciproquement).
a, b et c étant des nombres positifs quelconques :
……………………………………………………………………………………………………
Exercices
1)
2)
3)
4)
√48 . √3 = ………………………………………………………………………………………………………………………..
√7 . √28 = ……………………………………………………………………………………………………………………….
√3 . √5 . √15 = …………………………………………………………………………………………………………………
√80 . √5 = ……………………………………………………………………………………………………………………….
√a-√b
4
5) √44 . √11 = ……………………………………………………………………………………………………………………..
6) √8 . √2 = …………………………………………………………………………………………………………………………
7) √64xy . √4xy =…………………………………………………………………………………………………………………
8) √12xy . √3xy = …………………………………………………………………………………………………………………
9) √2a²b . √32a4b3 = …………………………………………………………………………………………………………….
10) √24a5b²c . √6ab²c3 = ……………………………………………………………………………………………………
3. Racine carrée d’un quotient
=……………………………………………………………………………….……………………………………………….
√
√
= …………………………………………………………………………………….…………………………………….
La racine carrée du quotient du nombre positif a par le nombre
positif non nul b est égal ………………………………………………………………..
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
(Et réciproquement)
a étant un nombre positif quelconque et b un nombre positif non
nul :
……………………………….………………………………………………………………………
Exercice
1)
= ………………………………………………………………………………………………………………………...……….
2)
= ………………………………………………………………………………………………………………………………..
3)
√
√
= …………………………………………………………………………………………………………………………….
4)
= ………………………………………………………………………………………………………………………………
5)
= ……………………………………………………………………………………………………………………………..
6)
√
√
= ………………………………………………………………………………………………………………………….
5
7)
= …………………………………………………………………………………………………………………………….
8)
= …………………………………………………………………………………………………………………………
²
√
√
9)
10)
²
²
= ………………………………………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………………………………………
4. Racine carrée d’une somme ou d’une différence
15√2 + 6√2= ………………………………………………………………………………………………………………
√6 + 9√6 = …………………………………………………………………………………………………………………
√2 + 2√3 = …………………………………………………………………………………………………………………
La somme ou la différence de deux radicaux semblables (c’est-à-dire de
même ………………………………) est ……………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
.…………………………………………………………………………………………………………….
Exercices
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
√2+14 = …………………………………………………………………………………………………………………………..
√5 + 5 √5 =………………………………………………………………………………………………………………………
√30 – 5 = ………………………………………………………………………………………………………………………….
3√8 - 9√8 = ……………………………………………………………………………………………………………………...
√a²b + 6 √ab² = ……………………………………………………………………………………………………………….
10√2x² + 3√2x²y = ……………………………………………………………………………………………………
√x y - √x y = …………………………………………………………………………………………………………………
25√a²b² - 12√a²b² = …………………………………………………………………………………………………………
√a + √b ……… √a + b
et
√a - √b ……… √a – b
6
5. Racine carrée d’un nombre dont l’exposant est pair
√5² = ……………………………………………………………………………………...…………………………………….
√4 = ……………………………………………………………………………………………………………………………
.
La racine carrée d’une puissance paire d’un nombre positif est égale
…………………………………………………………………………………………………………..
…………………………………………………………………………………………………………..
a étant un nombre positif et m un naturel quelconque :
…………………………………………………………………………………………………………..
Exercice
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
√16² = ……………………………………………………………………………….…………………………………………….
√28= …………………………………………………………………………….…………………………………………………
√3² . 64 = …………………………………………………………………………………………………………………………
√94 . 10² = …………………………………………………………………….…………………………………………………
√5² . 26 = …………………………………………………………………………………………………………………………
√a²b4 =…………………………………………………………………………..………………………………………………..
√410x4y8 = ……………………………………………………………………….………………………………………………
√2²x6b4 . 84a²b6 = ……………………………………………………………………………………………………………
6. Racine carrée d’un nombre positif dont l’exposant est impair
√25 = ….…………………………………………………………………………………………………………………………
√37 = …….………………………………………………………………………………………………………………………
La racine carrée d’une puissance impaire d’un nombre positif est égale
………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
a étant un nombre positif et m un naturel quelconque :
………………………………………………………………………………………………………………
Exercice
1)
2)
3)
4)
√93 = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
√65 = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
√3 . 43 = …………………………………………………………………………………………………………………………..
√55 . 103 = …………………………………………………………………………………………………………………………
7
5) √a3b11= …………………………………………………………………………………………………………………………….
6) √63x13y5 = ………………………………………...………………………………………………………………………………
7) √29x²y7 . 35a9b5 = ………………………………………………………………………………………………………………
E. Opérations sur les racines carrées
1. Simplification des radicaux
√18 = ……………………………………………………………………………………………………………………………
√75 = ……………………………………………………………………………………………………………………………
Les propriétés relatives au produit et au quotient des racines carrées
permettent de les simplifier, c’est-à-dire de les remplacer par des
expressions égales contenant des radicands entiers les plus petits
possibles
Exercices
1) √8 = ….………………………………………………………………………………………………………………………………
2) √12 = …….………………………………………………………………………………………………………………………….
3) √80 = …………..……………………………………………………………………………………………………………………
4) 3√28 = ……………………………………………………………………...………………………………………………………
5) 4√27 = ……………………………………………………………………………………………………………………………...
6) 7√75 = ……………………………………………………………………………………………………………………………...
7) √2500 = ……………………………………………………………………………………………………………………………
8) √0,25 = …………………………………………………………………………………………………………………………….
9) √4,50 = …………………………………………………………………………………………………………………….………
10) √0,0016 = …………………………………………………………………………………………………………………….
11) √192a²b5 = ………………………………………………………………………………………………………………….
12)
√350x7y6 = ………………………………………………………………………………………………………………….
13)
√180a²b5x8y11 = …………………………………………………………………………………………………………..
8
Quand on manipule des racines carrées avec des grands nombres
comme par exemple √223344, il est assez difficile de trouver des
carrés parfaits à extraire de la racine. Pour avoir plus simple, il suffit de
décomposer ce nombre en facteurs premiers.
223344
√223344 =……………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………
2. Addition et soustraction des radicaux
5√2 + √2 = ……………………………………………………………………………………………………………………………
8√5 + 3√3 = …………………………………………………………………………………………………………………………
√8 - √18 = ………………………………………………………………………………………………………………………………
Avant d’additionner ou soustraire, il faut ………………………………………………
………………………………………………..
La somme ou la différence de deux radicaux semblables (c’est-à-dire de
même ………………………………) est ……………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
.…………………………………………………………………………………………………………….
1) Si après simplification éventuelle, les radicaux ne sont pas semblables, on ne peut ni
les additionner ni les soustraire.
2) a et b étant des nombres quelconques :
√a + √b ……… √a + b
et
√a - √b ……… √a - b
Exercices
1) 4√5 + 5√5 = …………………………………………………………………………………………………………………………………
2) 3√7 + 5√7 - 4√7 = ……………………………………………………………………………………………………………………….
3) √18 - √50 = …………………………………………………………………………………………………………………………………
9
4) -2√75 + 5√12 = ……………………………………………………………………………………………………………………………
5) √4a + √9a – √16a = ………………………….…………………………………………………………………………………………
6) √a4b + √64a4b - a²√100b = …………….…………………………………………………………………………………………
7)
-
8)
–
²
= …………………………………………………………………………………………………….
= ……………………………………………………………………………………………………….
3. Multiplication des radicaux
√8 . √18 = ………………………………………………………………………………………………………………………………
√3 . √5 = ………………………………………………………………………………………………………………………………..
Avant de multiplier, il faut …………………………………………………………………..
La multiplication de deux radicaux a ……………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………
.…………………………………………………………………………………………………………….
Simplifier, si possible, le nouveau radicand obtenu
3. 1. Puissance d’un produit
(2√5)² = ………………………………………………………………………………………………………………………………..
(3√2)² = ……………………………………………………………………………………………………………………………….
3. 2. Distributivité
2√3 . (√5 + √3)= ……………………………………………………………………………………………………………………
(√3 + 5√2) . (√2 + 7√3) = ……………………………………………………………………………………………………
(3a²√6b3 + 5√7a) . 4b√2a²b² = ……………………….……………………………………………………………………
3. 3. Produits remarquables
(√3 + √2)² = ……………………..……………………………………………………………………………………………………
(2√5 - √3)² = ………………….………………………………………………………………………………………………………
(√7 + √2) . (√7 - √2) = ……….…………………………………………………………………………………………………
(4a√2b5 + 5b√3b²)² = ……….…………………………………………………………………………………………………..
10
Exercices
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
√5 . (√6 + √15) = ..……………………………………………………………………………………………………………………..
(3√7 - √28) . √3 = …………………………….…………………………………………………………………………………………
5√3 . (2√27 - 3√20) = ………………………………………………………………………………………………………………..
(1 - √3) . (5 - 3√3) = …………………..…….…………………………………………………………………………………………
(2√3 - √5) . (3√15 - √6) = ……………..……………………………………………………………………………………………
(2√6)3 = ………………………………………….……………………………………………………………………………………………
(2√2)² = …………………………………………….…………………………………………………………………………………………
(5a²√8a3b5)² = ………………………………………….…………………………………………………………………………………
9) (x - 2√8x²y) . (5 + 3y√x3y) = ………………………………………….…………………………………………………………
4. Division des radicaux
= ……………………………………………………………………………………………………………………………..
√
√
= ……………………………………………………………………………………………………………………………
Avant de diviser, il faut …………………………………………………………………..
Simplifier, si possible, le nouveau radicand obtenu
Exercices
1)
2)
√
√
= ……………………………………………………………………………………………………………………………….
√
√
= ……………………………………………………………………………………………………………………………..
3)
= ……………………………………………………………………………………………………………………………..
4)
= ……………………………………………………………………………………………………………………………..
5)
√
√
6)
√
√
²
= ………………………………………………………………………………………………………………………
= …………………………………………………………………………………………………………………………
11
5. Suppression des radicaux au dénominateur d’une fraction
4.1. Le dénominateur est un monôme
Avant de supprimer les radicaux au dénominateur, il faut
…………………………………………………………….………………………………………………..
Si le dénominateur de la fraction est un monôme contenant une racine
carrée, alors on multiplie les deux termes de la fraction par la racine
carrée figurant au dénominateur
Ne pas oublier de simplifier, si possible, la fraction obtenue.
Exercices
1)
2)
3)
4)
√7
√7
√5
= ………………………………………………………………………………………………………
= ………………………………………………………………………………………………………
√2
√3
= ………………………………………………………………………………………………………
√5
√10
= ………………………………………………………………………………………………………
12
4.2. Le dénominateur est un binôme
Avant de supprimer les radicaux au dénominateur, il faut
…………………………………………………………….………………………………………………..
Si le dénominateur de la fraction est un binôme contenant au moins
une racine carrée, alors on multiplie les deux termes de la fraction par
le binôme figurant au dénominateur
Ne pas oublier de simplifier, si possible, la fraction obtenue.
Exercices
1)
2)
3)
4)
5)
= ………………………………………………………………………………………………………
√5
√3
√3
√2
√5
=………………………………………………………………………………………………………
√3 √2
√2
√2
√4
√8
=……………………………………………………………………………………………………
=………………………………………………………………………………………………………
√2
√9
=……………………………………………………………………………………………………