corrigé dl9 11-12

DL DE PHYSIQUE CHIMIE N°9
CORRIGE
Première partie : chimie du fer et de l’acier
A-1
Fer α
A1*a Une maille élémentaire est le volume minimum redonnant le cristal par translation dans trois directions indépendantes.
Les paramètres qui la déterminent sont les longueurs des arêtes et les angles entre les arêtes.
A1*b
La maille est un cube d’arête a avec 1 atome à chaque sommet et un atome au centre.
A1*c
n = 8/8+1 = 2 atomes de fer par maille (CC).
A1*d
La compacité est le rapport du volume occupé par les atomes et du volume de la maille.
Le volume occupé par les atomes est 2(4/3)πRα3 . Le volume de la maille est aα3 ou aα est l’arête de la maille. Les atomes
étant tangents suivant une grande diagonale du cube, on a : 4Rα = aα
La compacité est donc : Ccc = 2(4/3)πRα3/aα3 Ccc= π
3.
3 /8 ≈ 0,68.
1/ 3
 2M (Fe) 

d’où aα = 
 ρα N A 
A1*e
ρα =
A1*f
Rα(20) = aα
A-2
Influence de la température
2M(Fe)/(NAaα3)
≈ 287 pm
3 /4= 124,174 ≈ 124 pm
A2*a Ces données permettent de calculer le coefficient de dilatation isobare :
α = (1/V)(∂V/∂T)P ≈ [ 2/(0,1321+0,1271) ][ (0,1321-0,1271)/(910-20) ] = 4,335 10-5 K-1
En assimilant la dérivée partielle (∂V/∂T)P au rapport des petites variations et en prenant pour V le volume massique moyen
pour les deux températures.
A2*b Le volume massique (inverse de la masse volumique) s’écrivant :vα=(NAaα3)/[ 2M(Fe)], on déduit aα :
aα(20) = 286,8 pm et aα(910) = 290,5 pm
A2*c
Rα(910) = 125,782 pm ≈ 126 pm. On a bien [Rα(910)+ Rα(20)]/2 = 124,978 ≈ 125 pm
A-3
Fer γ
A3*a
La maille est un cube d’arête a avec 1 atome à chaque sommet et un atome au centre de chaque face.
A3*b
n = 8/8+6/2 = 4 atomes de fer par maille (CFC)
A3*c
Les atomes tangents étant suivant une diagonale d’une face du cube, on a 4Rγ = aγ
Ccfc = 4(4/3)πRγ3/aγ3 = π/(3
2 . D’où la compacité :
2 ) ≈ 0,74.
A3*d
aγ = 4Rγ/ 2 = 364,867 ≈ 365 pm
A3*e
v(γ)910 = NAa3/(4M) = 0,1309 cm3 g-1.
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1
Corrigé
A-4 Sites octaédriques
A4*a
Il s’agit d’un site octaédrique ; il est non régulier car toutes les arêtes n’ont pas la même longueur : a ou a 3 /2.
A4*b
La distance minimale entre deux atomes de fer opposés est a : a = 2Rα + 2RMα = 4 Rα/
A4*c
Dans le fer γ, les sites octaédriques sont situés au centre du cube et au milieu de chaque arête. Ils sont réguliers.
A4*d
a = 2Rγ + 2RMγ = 4 Rγ/
A4*e
La solubilité par insertion entraîne une déformation, beaucoup plus grande dans le fer α.
A-5
Insertion du carbone
A5*a
a’α = 2( Rα+Rc ) = 404 pm et ∆V/V = ( a’/a )3 – 1 = 1,74 : variation de volume importante
A5*b
a’γ = 2( Rγ+Rc ) = 412 pm et ∆V/V = ( a’/a )3 – 1 = 0,44 : variation de volume beaucoup moins forte.
A5*c
La formation de l’austénite entraîne beaucoup moins de déformation que celle de la ferrite.
3 d’où RMα = 19,3 pm.
2 d’où RMγ = 53,4 pm.
A5*d Dans la structure (CFC), le nombre de sites octaédriques par maille est n’ = 1+12/4 = 4. Soit x le taux d’occupation
moyen par le carbone de chacun de ces sites. x vérifie :
0,0133 = 4xM(C)/[ 4xM(C) + 4M(Fe) ] d’où x = 0,0627 et il y a donc par maille 4x ≈ 0,25 atome de C d’inséré.
A5*e
ρ’ = [ 4xM(C) + 4M(Fe) ]/[ NAa’3 ] = 5378 kg m-3. L’acier austénitique est donc moins dense que le fer.
B / PYROMETALLURGIE DES OXYDES DE FER
B-1
Diagramme d’Ellingham
B1*a L’approximation d’Ellingham consiste à considérer l’enthalpie et l’entropie standard de réaction indépendantes de la
température.
B1*b
Toutes les réactions représentées doivent faire intervenir le même nombre de moles de O2 (1 ou ½).
B1*c Cf cours : chacun des deux domaines ainsi délimités représente une zone de stabilité : la zone de stabilité de la forme
oxydée est au-dessus, la zone de stabilité de la forme réduite au-dessous.
B-2
Diagramme du fer
B2*a
FeO : +II ; Fe3O4: 8/3 (nombre d’oxydation moyen) ; Fe2O3 : +III.
B2*b
Fe3O4 = FeO + Fe2O3
B2*c
Ils doivent être disposés par ordre de degré d’oxydation croissant vers le haut.
B2*d
2 Fe + O2 = 2 FeO
6 FeO + O2 = 2 Fe3O4
4 Fe3O4 + O2 = 6 Fe2O3
B2*e Pour T>TE, les
Fe3O4, Fe2O3.
La réaction (1) est donc
La réaction (2) :
Et la réaction (3)
B2*f
espèces sont rangées par nombre d’oxydation croissant vers le haut, soit, de bas en haut : Fe, FeO,
2 Fe + O2 = 2 FeO
6 FeO + O2 = 2 Fe3O4
4 Fe3O4 + O2 = 6 Fe2O3
Pour T = TE, on a ∆G1o = ∆G2o. Le calcul donne TE = 843 K
B2*g (1)-(2) donne 2Fe + 2Fe3O4 = 8FeO
∆Go = ∆G1o - ∆G2o < 0 si T > TE et l’affinité chimique standard de 2Fe + 2Fe3O4 = 8FeO est positive. Les espèces étant
toutes en phase solide, l’affinité chimique se confond avec l’affinité chimique standard (Q=1).
Donc si T > TE FeO est stable; sinon il se décompose en Fe et Fe3O4 .
Sur le diagramme, le domaine de stabilité de FeO est la zone comprise entre (1) et (2) pour T > TE.
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2
Corrigé
B2*h
[ 3(1)+(2) ]/4 donne
(4)
3/2 Fe + O2 = ½ Fe3O4 et, bien sur, (3) existe toujours.
+ 0,156 T, demi-droite
droite située entre (1) et (2) et passant par leur point
B2*i
∆G4o = (1/4) ∆G2o + (3/4) ∆G2o = -545,05
d’intersection et d’ordonnée à l’origine -545,05
545,05.
B-3
Exploitation du diagramme
B3*a A la pression standard, les affinités chimiques des réactions (1), (2), (3), (4) sont égales à leurs affinités
affini chimiques
standards donc positives (puisque les ∆rG° sont négatifs). Le seul oxyde stable est donc le plus oxydé : Fe2O3.
B3*b Pour des raisons cinétiques, les gisements d’oxyde magnétique,
magnétique Fe3O4 existe cependant : la réaction (3) est lente : au
contact de l’air Fe3O4 se couvre d’une couche de Fe2O3 dont l’épaisseur augmente lentement.
B3*c
Droite de pente négative coupant (1) à droite du point d’intersection de (1) et (2).
B3*d ∆G1o = ∆G5o pour T = T’ = 1191 K. Au dessus de cette température, (5) est au-dessous
dessous des autres droites et le
carbone réduit tous les oxydes de fer.
Deuxième partie : Chauffage et traitement thermique d’une plaque
A) INDUCTION DANS UN CONDUCTEUR
A-1
Propriétés des champs dans le conducteur
r
r
A1*a D’après l’équation de conservation de la charge, le vecteur densité volumique de courant j vérifie ∂ρ/∂t = -div j
r
r
Or d’après la loi d’Ohm locale j = σ E
r
r
On déduit ∂ρ/∂t = -div(σ E ), soit, avec l’équation de Maxwell Gauss div E =ρ/ε0 :
∂ρ/∂t =-σρ/ε0 ou encore ∂ρ/∂t +ρ/τ=0 d’où
ρ(M,t) = ρ(M,0)exp(-t/τ) : la charge volumique décroît exponentiellement vers 0 avec le temps avec la constante de temps
τ = εo/σ = 1/(σµoc2) = 1,47.10-18 s.
r
r
A1*b Le vecteur densité volumique de courant de déplacement est j = ε0 ∂ E /∂t,t, le vecteur densité volumique de courant
d
r
r
de conducteur est j =σ E .
Le rapport des normes de leur amplitude est donc en régime sinusoïdal εoωE/(σE) = ωτ=2πfτ < 10-11 pour des fréquences
inférieures au MHz.
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3
Corrigé
Le courant de déplacement est donc négligeable devant le courant de conduction.
r
r
r
r
A1*c équation de Maxwell Gauss div E =ρ/ε0, soit, avec ρ=0 et j =σ E : div j =0
r
Équation du flux magnétique de Maxwell div B =0
r
r
r
r
Équation de Maxwell Faraday : rotE = −∂B / ∂t , soit rot j = −σ∂B / ∂t
r
r
Équation de Maxwell Ampère en négligeant le courant de déplacement rotB = µ 0 j
r
r
A1*d D’après l’équation de Maxwell Ampère, jy=jz=0 et µojx = -∂By/∂z d’où j (z,t) = (i k /µo)boexp[ i(ωt-kz) ] u x
A1*e D’après l’équation de Maxwell Faraday -σ.∂By/∂t = ∂jx/∂z d’où k2 = -iµo ωσ
A-2
Cas du conducteur infini
A2*a Les solutions de l’équation précédente sont : k = ±(1-i)
µoσω
2
µoσω
µoσω
iz).exp(-±
z)
2
2
Pour que le courant reste borné quand z→∞, il faut choisir le signe + dans k.
On a donc exp(-ikz) = exp(-±
A2*b Β est continu en z = 0 car la densité de courant est volumique.
A2*c
r
r
r
r
B (z,t) = u y Bo exp(-z/δ) cos(ωt-z/δ) et j = u x Bo
2
exp(-z/δ) cos(ωt-z/δ + π/4)
µ oδ
A2*d La zone où le champ est notablement différent de 0 est la peau du métal. δ est la profondeur de pénétration, ou
épaisseur de peau, en mètre.
A2*e δ(100 Hz) = 2,055.10-2 m et δ(125 kHz) = 5,812.10-4 m.
A2*f Puissance volumique cede par le champ au conducteur : Pv = j2/σ (en W/m3)
Soit une moyenne temporelle : <Pv> = Bo2/(σµo2δ2)exp(-2z/δ)
∞
∫< P
A2*g <P> =
v
> dτ S
cylindre
∫
<Pv>dz : <P>= SBo2/(2σµo2δ) .
0
A2*h En regime permanent Φ0=<P>/S, soit, puisque σ=2/(µ 02 ω2 δ2) : Φo = Bo2/(2σµo2δ) Φo = δωBo2/(4µo) .
A2*i Φo = 2,270.107 W.m-2 .
A-3
Courant surfacique équivalent (conducteur semi-infini)
r
r
A3*a d I = j . dS : d I =dydz Bo/(µoδ) (1+i) exp(-z/δ) exp[i(ωt-z/δ)]= dydz(ik/µo)Boexp[ i(ωt-kz) ].
∞
A3*b On intègre sur le rectangle entier : I = ∆y
∫
dydz(ik/µo)Boexp[ i(ωt-kz) ]: I= (
l Bo/µo) exp(iωt). En effet,
0
|exp[ i(ωt-kz)]| tend vers 0 quand z tend vers +l’infini.
A3*c Il s’agit d’un conducteur parfait ; il correspond à l’hypothèse σ→∞.
A3*d D’après le A3*b, I est de la forme l jSx= l jS0exp(iωt) avec jso = Bo/µo
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4
Corrigé
r
r
r
r
A3*e En z = 0, la discontinuité de Β est, d’après les relations de passage : B ext − Bint = µ 0 js ∧ n ext , soit :
r
r
r
B0 exp(iωt )u y = µ 0 jS0 exp(iωt )u x ∧ (−u z ) : on retrouve bien jso = Bo/µo .
A3*f Quand σ→∞ , δ→0, on trouve Φo →0 ???
A-4
Plaque conductrice d’épaisseur finie
A4*a z étant borné, on peut maintenant considérer des ondes se propageant dans les deux sens :
La solution (1-i)/δ correspond à une propagation dans le sens des z positifs (Re((1-i)/δ)>0 ; la solution (i-1)/δ correspond à une
propagation dans le sens des z négatifs (sa partie réelle est négative).
r
r
r
Le champ magnétique solution s’écrit : B (z,t)= u yb1exp[i(ωt -(1-i)z/δ)]+ u yb2exp[i(ωt +(1-i)z/δ)]
r
r
r
Soit : B (z,t)= u yb1exp[iωt -k0z)]+ u yb2exp[iωt +k0z)]
A4*b Continuité du champ magnétique en z = 0 : Bo = b1 + b2
Continuité en z = 2a : Bo = b1exp[- 2 k oa ] + b2exp[ +2 k oa ].
A4*c Des deux conditions aux limites, on déduit :
b1 = Boexp[ k oa ]/( 2ch( k oa) ) et b2 = Boexp[- k oa ]/( 2ch( k oa) ).
r
iωt ch[ k 0 ( z − a )] r
uy
Soit après calculs : B(z, t ) = B0 e
ch[k 0 a ]
r
sh[k 0 (z − a )] r
B
ux
A4*d µojx = -∂By/∂z d’où j(z, t ) = −k 0 0 e iωt
µ0
ch[k 0 a ]
A4*e
 k o(z-a) =  k o(z-a) <  k oa =  k oa << 1.
A4*f
r
B iωt (z − a )] r
ux
ch( k oa) ≈ 1 et sh[ k o(z-a) ] ≈ k o(z-a) d’où le résultat : j(z, t ) = −2i 0 e
µ0
δ2
A4*g
<Pv> =
2a
j j */(2σ) = 2Bo2(z-a)2/(σµo2δ4) et <P> = S ∫ <Pv>dz = 4SBo2a3/(3σµo2δ4).
0
A4*h
Pv’ = <P>/(2aS) = 2Bo2a2/(3σµo2δ4) = Bo2a2 ω/(3µoδ2).
A4*i
Pv’ = 5,552.106 W.m-3.
B) CHAUFFAGE D’UNE PLAQUE CONDUCTRICE PAR COURANTS DE FOUCAULT
B-1
Temps caractéristiques des échanges
B1*a ρ = masse volumique ; c = chaleur massique ; λ = conductivité thermique ; Pv = puissance thermique volumique
apportée en un point du milieu par un phénomène tel que l’effet joule.
B1*b Loi de Stefan : Φ = puissance thermique surfacique émise par un corps en équilibre thermodynamique local à la
température T.
Loi de Newton : Φ = puissance thermique surfacique allant du milieu Tint vers le milieu Text.
B1*c
Fourier : ∂T/∂t ≈ δT/τF et ∂2T/∂z2 ≈ δT/ap2 d’où ρc δT/τF ≈ λ δT/ap2 et τF ≈ ρca2/λ.
Stefan : Sρca δT ≈ Sσth [ To4 – (To-δT)4 ]τs ≈ 4To3 δT Sσthτs et τs ≈ ρca/(4To3σth). Rq: erreur dans l’énoncé
Newton : Sρca δT ≈ Sh [ To – (To-δT) ]τN et τN ≈ ρca/h.
B1*d
Experience 1 : δ = 2,055.10-2 m ; τF = 0,246 s ; τN = 754 s ; τs = 96,9 s.
Experience 2 : δ = 5,812.10-4 m. ; τF = 10,9 s ; τN = 5020 s ; τs = 646 s.
MP Devoir libre n°9 11-12
5
Corrigé
B1*e
Le type de transfert qui prédomine est le plus rapide, c’est-à-dire la diffusion (Fourier).
B1*f
Quand Tint et Text sont proches, Φ(Stefan) ≈ 4To3 σth( Tint-Text ), avec To3 σth ≈ 20 W.m-2.K-1 . On peut donc réunir
Stefan et Newton avec un h global. (On aurait pu retenir une valeur de h plus élevée, d’autant plus que l’échange par
rayonnement (Stefan) est 8 fois plus rapide que par conducto-convection (Newton)).
B-2
Expérience n°1 : plaque mince
B2*a
Pv étant la puissance volumique, on a : PT = (2aS)Pv .
B2*b Le premier principe appliqué à la plaque de volume 2aS, supposée ici de température uniforme T(t), entre t et t+dt
s’écrit :
mcdT=δQind+δQconv+rayonnement
Soit, après après division par dt puis 2S :
2aSρc dT(t)/dt = PT – 2hS[ T-Ta ] et aρc dT(t)/dt = aPv – h[ T-Ta ]
B2*c L’équation vérifiée par θ(t) s’écrit : ρca dθ(t)/dt + hθ = aPv
d’où, avec τN ≈ ρca/h, et θ(0)=0 : θ(t) = (aPv/h)[ 1-exp(-t/τN) ].
B2*d
θf = Tf – Ta = aPv/h = 278 K.
B2*e
Ta ≥ 910 - θf = 632 K.
B2*f
On doit avoir T>910°C, soit θ > 210=θmin.
La durée d’exposition correspond à l’instant t tel que θ=θmin : texp = τN /[ 1-(θmin/θf) ] = 1032 s texp = 17,2 mn.
B-3
Expérience n°2 : plaque épaisse
B3*a
r
C’est le vecteur densité volumique de courant de diffusion j
th
r
= - λ ∂T/∂z u z.
B3*b Puisque la plaque ne reçoit de l’énergie de l’extérieur que par sa surface z=0 dans ce modèle, en appliquant le premier
principe à une tranche de plaque située entre les cotes z et z+dz, on trouve l’équation :
ρc ∂θ/∂t = λ ∂2θ/∂z2 , soit ∂θ/∂t = D ∂2θ/∂z2 avec D =λ/ρc= 9,16.10-6 m2/s.
B3*c
Φo =jth(z=0)=-λ ∂θ/∂z (0,t).
B3*d
∂θ/∂z = -(qo/2) g1(u) d’où qo = 2Φo/λ = 9,87.105 K/m.
B3*e
g2(0) = 1/
π d’où θ(0,t) = (2Φo/λ)
T(z=0,t)=Ta+θ(0,t= Ta+(2Φo/λ)
Dt
. On déduit la température de surface de la plaque en fonction du temps :
π
Dt
π
Quand t→0, z / 2 Dt →∞ et g2( z / 2 Dt ) →0 donc θ(z,t)→0.
Dt
< 1536 si t < π/(Dqo2)( 1536-27 )2 = 0,8 s.
π
B3*f
T(0,t) = Ta + qo
B3*g
T(z,t) = 910°C = T1 si g2(u)/u = 2(T1-Ta)/(zqo) = 1,431 pour z = 1,25 mm.
B3*h
to = (1/d)(zo/2uo)2 = 0,7 s < 0,8 s.
B3*i
V = L/to = 4,26 m/s ≈ 15 km/h.
MP Devoir libre n°9 11-12
6
Corrigé