corrigé dl9 11-12

MP Devoir libre n°9 11-12 1 Corrigé
Première partie : chimie du fer et de l’acier
A-1 Fer α
A1*a Une maille élémentaire est le volume minimum redonnant le cristal par translation dans trois directions indépendantes.
Les paramètres qui la déterminent sont les longueurs des arêtes et les angles entre les arêtes.
A1*b La maille est un cube d’arête a avec 1 atome à chaque sommet et un atome au centre.
A1*c n = 8/8+1 = 2 atomes de fer par maille (CC).
A1*d La compacité est le rapport du volume occupé par les atomes et du volume de la maille.
Le volume occupé par les atomes est 2(4/3)πR
α3
. Le volume de la maille est a
α3
ou a
α
est l’arête de la maille. Les atomes
étant tangents suivant une grande diagonale du cube, on a : 4R
α
= a
α
3 .
La compacité est donc : C
cc
= 2(4/3)πR
α3
/a
α3
C
cc
= π 3 /8 ≈ 0,68.
A1*e ρ
α
= 2M(Fe)/(N
A
a
α3
) d’où a
α
=
3/1
A
N)Fe(M2  ρ
α
≈ 287 pm
A1*f R
α
(20) = a
α
3 /4= 124,174 ≈ 124 pm
A-2 Influence de la température
A2*a Ces données permettent de calculer le coefficient de dilatation isobare :
α = (1/V)(∂V/∂T)
P
≈ [ 2/(0,1321+0,1271) ][ (0,1321-0,1271)/(910-20) ] = 4,335 10
-5
K
-1
En assimilant la dérivée partielle (∂V/∂T)
P
au rapport des petites variations et en prenant pour V le volume massique moyen
pour les deux températures.
A2*b Le volume massique (inverse de la masse volumique) s’écrivant :v
α
=(N
A
a
α3
)/[ 2M(Fe)], on déduit a
α
:
a
α
(20) = 286,8 pm et a
α
(910) = 290,5 pm
A2*c R
α
(910) = 125,782 pm ≈ 126 pm. On a bien [R
α
(910)+ R
α
(20)]/2 = 124,978 ≈ 125 pm
A-3 Fer γ
A3*a La maille est un cube d’arête a avec 1 atome à chaque sommet et un atome au centre de chaque face.
A3*b n = 8/8+6/2 = 4 atomes de fer par maille (CFC)
A3*c Les atomes tangents étant suivant une diagonale d’une face du cube, on a 4R
γ
= a
γ
2 . D’où la compacité :
C
cfc
= 4(4/3)πR
γ3
/a
γ3
= π/(3 2 ) ≈ 0,74.
A3*d a
γ
= 4R
γ
/ 2 = 364,867 ≈ 365 pm
A3*e v
(γ)910
= N
A
a
3
/(4M) = 0,1309 cm
3
g
-1
.
DL DE PHYSIQUE CHIMIE N°9
CORRIGE

MP Devoir libre n°9 11-12 2 Corrigé
A-4 Sites octaédriques
A4*a Il s’agit d’un site octaédrique ; il est non régulier car toutes les arêtes n’ont pas la même longueur : a ou a
3
/2.
A4*b La distance minimale entre deux atomes de fer opposés est a : a = 2R
α
+ 2R
Mα
= 4 R
α
/ 3 d’où R
Mα
= 19,3 pm.
A4*c Dans le fer γ, les sites octaédriques sont situés au centre du cube et au milieu de chaque arête. Ils sont réguliers.
A4*d a = 2R
γ
+ 2R
Mγ
= 4 R
γ
/ 2 d’où R
Mγ
= 53,4 pm.
A4*e La solubilité par insertion entraîne une déformation, beaucoup plus grande dans le fer α.
A-5 Insertion du carbone
A5*a a’
α
= 2( R
α
+R
c
) = 404 pm et ∆V/V = ( a’/a )
3
– 1 = 1,74 : variation de volume importante
A5*b a’
γ
= 2( R
γ
+R
c
) = 412 pm et ∆V/V = ( a’/a )
3
– 1 = 0,44 : variation de volume beaucoup moins forte.
A5*c La formation de l’austénite entraîne beaucoup moins de déformation que celle de la ferrite.
A5*d Dans la structure (CFC), le nombre de sites octaédriques par maille est n’ = 1+12/4 = 4. Soit x le taux d’occupation
moyen par le carbone de chacun de ces sites. x vérifie :
0,0133 = 4xM(C)/[ 4xM(C) + 4M(Fe) ] d’où x = 0,0627 et il y a donc par maille 4x ≈ 0,25 atome de C d’inséré.
A5*e ρ’ = [ 4xM(C) + 4M(Fe) ]/[ N
A
a’
3
] = 5378 kg m
-3
. L’acier austénitique est donc moins dense que le fer.
B / PYROMETALLURGIE DES OXYDES DE FER
B-1 Diagramme d’Ellingham
B1*a L’approximation d’Ellingham consiste à considérer l’enthalpie et l’entropie standard de réaction indépendantes de la
température.
B1*b Toutes les réactions représentées doivent faire intervenir le même nombre de moles de O
2
(1 ou ½).
B1*c Cf cours : chacun des deux domaines ainsi délimités représente une zone de stabilité : la zone de stabilité de la forme
oxydée est au-dessus, la zone de stabilité de la forme réduite au-dessous.
B-2 Diagramme du fer
B2*a FeO : +II ; Fe
3
O
4
: 8/3 (nombre d’oxydation moyen) ; Fe
2
O
3
: +III.
B2*b Fe
3
O
4
= FeO + Fe
2
O
3
B2*c Ils doivent être disposés par ordre de degré d’oxydation croissant vers le haut.
B2*d 2 Fe + O
2
= 2 FeO
6 FeO + O
2
= 2 Fe
3
O
4
4 Fe
3
O
4
+ O
2
= 6 Fe
2
O
3
B2*e Pour T>T
E
, les espèces sont rangées par nombre d’oxydation croissant vers le haut, soit, de bas en haut : Fe, FeO,
Fe
3
O
4
, Fe
2
O
3
.
La réaction (1) est donc 2 Fe + O
2
= 2 FeO
La réaction (2) : 6 FeO + O
2
= 2 Fe
3
O
4
Et la réaction (3) 4 Fe
3
O
4
+ O
2
= 6 Fe
2
O
3
B2*f Pour T = T
E
, on a ∆G
1o
= ∆G
2o
. Le calcul donne T
E
= 843 K
B2*g (1)-(2) donne 2Fe + 2Fe
3
O
4
= 8FeO
∆G
o
= ∆G
1o
- ∆G
2o
< 0 si T > T
E
et l’affinité chimique standard de 2Fe + 2Fe
3
O
4
= 8FeO est positive. Les espèces étant
toutes en phase solide, l’affinité chimique se confond avec l’affinité chimique standard (Q=1).
Donc si T > T
E
FeO est stable; sinon il se décompose en Fe et Fe
3
O
4
.
Sur le diagramme, le domaine de stabilité de FeO est la zone comprise entre (1) et (2) pour T > T
E
.

MP Devoir libre n°9 11-12
B2*h [ 3(1)+(2) ]/4 donne (4)
B2*i ∆G
4o
= (1/4) ∆G
2o
+ (3/4) ∆G
2o
=
-
d’intersection et d’ordonnée à l’origine -
545,05
B-3 Exploitation du diagramme
B3*a
A la pression standard, les affinités chimiques des réactions (1), (2), (3), (4) sont égales à leurs affini
standards donc positives (puisque les ∆
r
G° sont négatifs). Le seul oxyde stable est donc le plus oxydé
B3*b
Pour des raisons cinétiques, les gisements d’oxyde magnétique
contact de l’air Fe
3
O
4
se couvre d’une couche de Fe
B3*c
Droite de pente négative coupant (1) à droite du point d’intersection de (1) et (2).
B3*d ∆G
1o
= ∆G
5o
pour T = T’ =
1191
carbone réduit tous les oxydes de fer.
Deuxième partie
A) INDUCTION DANS UN CONDUCTEUR
A-1
Propriétés des champs dans le conducteur
A1*a
D’après l’équation de conservation de la charge, le vecteur densité volumique de courant
Or d’après la loi d’Ohm locale
j
r
= σ
E
r
On déduit ∂ρ/∂t = -div(σ
E
r
), soit, avec l’équation de Maxwell Gauss div
∂ρ/∂t =-σρ/ε
0
ou encore ∂ρ/∂t +ρ/τ=0
d’où
ρ(M,t) = ρ(M,0)exp(-t/τ)
: la charge volumique décroît exponentiellement vers 0 avec le temps avec la constante de temps
τ = ε
o
/σ = 1/(σµ
o
c
2
) = 1,47.10
-18
s.
A1*b
Le vecteur densité volumique de courant de déplacement est
de conducteur est
j
r
=σ
E
r
.
Le rapport des normes de leur amplitude est donc en régime sinusoïdal
inférieures au MHz.
3
3/2 Fe + O
2
= ½ Fe
3
O
4
et, bien sur, (3) existe toujours.
-
545,05 + 0,156 T, demi-
droite située entre (1) et (2) et passant par leur point
545,05
.
A la pression standard, les affinités chimiques des réactions (1), (2), (3), (4) sont égales à leurs affini
G° sont négatifs). Le seul oxyde stable est donc le plus oxydé
Pour des raisons cinétiques, les gisements d’oxyde magnétique
, Fe
3
O
4
existe cependant
se couvre d’une couche de Fe
2
O
3
dont l’épaisseur augmente lentement.
Droite de pente négative coupant (1) à droite du point d’intersection de (1) et (2).
1191
K. Au dessus de cette température, (5) est au-
dessous des autres droites et le
Deuxième partie
:
Chauffage et traitement thermique d’une plaque
A) INDUCTION DANS UN CONDUCTEUR
Propriétés des champs dans le conducteur
D’après l’équation de conservation de la charge, le vecteur densité volumique de courant
), soit, avec l’équation de Maxwell Gauss div
E
r
=ρ/ε
0
:
d’où
: la charge volumique décroît exponentiellement vers 0 avec le temps avec la constante de temps
Le vecteur densité volumique de courant de déplacement est
j
r
d
= ε
0
∂
E
r
/∂
t, le vecteur
Le rapport des normes de leur amplitude est donc en régime sinusoïdal
ε
o
ωE/(σE) = ωτ=2π
f
Corrigé
et, bien sur, (3) existe toujours.
droite située entre (1) et (2) et passant par leur point
A la pression standard, les affinités chimiques des réactions (1), (2), (3), (4) sont égales à leurs affini
tés chimiques
G° sont négatifs). Le seul oxyde stable est donc le plus oxydé
: Fe
2
O
3
.
existe cependant
: la réaction (3) est lente : au
dessous des autres droites et le
Chauffage et traitement thermique d’une plaque
D’après l’équation de conservation de la charge, le vecteur densité volumique de courant
j
r
vérifie ∂ρ/∂t = -div
j
r
: la charge volumique décroît exponentiellement vers 0 avec le temps avec la constante de temps
t, le vecteur
densité volumique de courant
f
τ < 10
-11
pour des fréquences

MP Devoir libre n°9 11-12 4 Corrigé
Le courant de déplacement est donc négligeable devant le courant de conduction.
A1*c équation de Maxwell Gauss div
E
r
=ρ/ε
0
, soit, avec ρ=0 et
j
r
=σ
E
r
: div
j
r
=0
Équation du flux magnétique de Maxwell div
B
r
=0
Équation de Maxwell Faraday : t/BErot ∂−∂=
r
r
, soit
t/Bjrot ∂∂σ−=
r
r
Équation de Maxwell Ampère en négligeant le courant de déplacement
jµBrot
0
r
r
=
A1*d D’après l’équation de Maxwell Ampère, j
y
=j
z
=0 et µ
o
j
x
= -∂B
y
/∂z d’où
j
r
(z,t) = (i
k
/µ
o
)b
o
exp[ i(ωt-kz) ]
u
r
x
A1*e D’après l’équation de Maxwell Faraday -σ.∂B
y
/∂t = ∂j
x
/∂z d’où k
2
= -iµ
o
ωσ
A-2 Cas du conducteur infini
A2*a Les solutions de l’équation précédente sont : k = ±(1-i)
2
o
σωµ
On a donc exp(-ikz) = exp(-±
2
o
σωµ
iz).exp(-±
2
o
σωµ
z)
Pour que le courant reste borné quand z→∞, il faut choisir le signe + dans k .
A2*b Β est continu en z = 0 car la densité de courant est volumique.
A2*c
B
r
(z,t) =
u
r
y
B
o
exp(-z/δ) cos(ωt-z/δ) et
j
r
=
u
r
x
B
oδµ
o
2 exp(-z/δ) cos(ωt-z/δ + π/4)
A2*d La zone où le champ est notablement différent de 0 est la peau du métal. δ est la profondeur de pénétration, ou
épaisseur de peau, en mètre.
A2*e δ(100 Hz) = 2,055.10-2 m et δ(125 kHz) = 5,812.10-4 m.
A2*f Puissance volumique cede par le champ au conducteur : Pv = j2/σ (en W/m3)
Soit une moyenne temporelle : <Pv> = Bo2/(σµo2δ2)exp(-2z/δ)
A2*g <P> = ∫
τ><
cylindre
v
dP
S
0
∞
∫
<Pv>dz : <P>= SBo2/(2σµo2δ) .
A2*h En regime permanent Φ0=<P>/S, soit, puisque σ=2/(µ02ω2 δ2) : Φo = Bo2/(2σµo2δ) Φo = δωBo2/(4µo) .
A2*i Φo = 2,270.107 W.m-2 .
A-3 Courant surfacique équivalent (conducteur semi-infini)
A3*a d
I
=
j
r
. Sd
r
: d
I
=dydz Bo/(µoδ) (1+i) exp(-z/δ) exp[i(ωt-z/δ)]= dydz(ik/µo)Boexp[ i(ωt-kz) ] .
A3*b On intègre sur le rectangle entier :
I
= ∆y
0
∞
∫
dydz(ik/µo)Boexp[ i(ωt-kz) ]: I= ( l Bo/µo) exp(iωt). En effet,
|exp[ i(ωt-kz)]| tend vers 0 quand z tend vers +l’infini.
A3*c Il s’agit d’un conducteur parfait ; il correspond à l’hypothèse σ→∞ .
A3*d
D’après le A3*b , I est de la forme l jSx= l jS0exp(iωt) avec jso = Bo/µo

MP Devoir libre n°9 11-12 5 Corrigé
A3*e En z = 0, la discontinuité de Β est, d’après les relations de passage :
exts0
intext
njµBB
r
r
r
r
∧=− , soit :
)u(u)tiexp(jµu)tiexp(B
zx0S0y0
r
r
r
−
∧
ω
=
ω
: on retrouve bien j
so
= B
o
/µ
o
.
A3*f Quand σ→∞ , δ→0, on trouve Φ
o
→0 ???
A-4 Plaque conductrice d’épaisseur finie
A4*a z étant borné, on peut maintenant considérer des ondes se propageant dans les deux sens :
La solution (1-i)/δ correspond à une propagation dans le sens des z positifs (Re((1-i)/δ)>0 ; la solution (i-1)/δ correspond à une
propagation dans le sens des z négatifs (sa partie réelle est négative).
Le champ magnétique solution s’écrit :
B
r
(z,t)=u
r
y
b
1
exp[i(ωt -(1-i)z/δ)]+u
r
y
b
2
exp[i(ωt +(1-i)z/δ)]
Soit :
B
r
(z,t)=u
r
y
b
1
exp[iωt -k
0
z)]+u
r
y
b
2
exp[iωt +k
0
z)]
A4*b Continuité du champ magnétique en z = 0 : B
o
= b
1
+ b
2
Continuité en z = 2a : B
o
= b
1
exp[- 2
k
o
a ] + b
2
exp[ +2
k
o
a ].
A4*c Des deux conditions aux limites, on déduit :
b
1
= B
o
exp[
k
o
a ]/( 2ch(
k
o
a) ) et b
2
= B
o
exp[-
k
o
a ]/( 2ch(
k
o
a) ).
Soit après calculs :
y
0
0
ti
0
u
]ak[ch )]az(k[ch
eB)t,z(B r
r−
=
ω
A4*d µ
o
j
x
= -∂B
y
/∂z d’où
x
0
0
ti
0
0
0
u
]ak[ch )]az(k[sh
e
µ
B
k)t,z(j r
r
−
−=
ω
A4*e
k
o
(z-a) =
k
o
(z-a) <
k
o
a =
k
o
a << 1.
A4*f ch(
k
o
a) ≈ 1 et sh[
k
o
(z-a) ] ≈
k
o
(z-a) d’où le résultat :
x
2
ti
0
0
u
)]az(
e
µ
B
i2)t,z(j r
r
δ
−
−=
ω
A4*g <P
v
> = j j
*
/(2σ) = 2B
o2
(z-a)
2
/(σµ
o2
δ
4
) et <P> = S
0
2a
∫
<P
v
>dz = 4SB
o2
a
3
/(3σµ
o2
δ
4
).
A4*h P
v
’ = <P>/(2aS) = 2B
o2
a
2
/(3σµ
o2
δ
4
) = B
o2
a
2
ω/(3µ
o
δ
2
).
A4*i P
v
’ = 5,552.10
6
W.m
-3
.
B) CHAUFFAGE D’UNE PLAQUE CONDUCTRICE PAR COURANTS DE FOUCAULT
B-1 Temps caractéristiques des échanges
B1*a ρ = masse volumique ; c = chaleur massique ; λ = conductivité thermique ; P
v
= puissance thermique volumique
apportée en un point du milieu par un phénomène tel que l’effet joule.
B1*b Loi de Stefan : Φ = puissance thermique surfacique émise par un corps en équilibre thermodynamique local à la
température T.
Loi de Newton : Φ = puissance thermique surfacique allant du milieu T
int
vers le milieu T
ext
.
B1*c Fourier : ∂T/∂t ≈ δT/τ
F
et ∂
2
T/∂z
2
≈ δT/a
p2
d’où ρc δT/τ
F
≈ λ δT/a
p2
et τ
F
≈ ρca
2
/λ.
Stefan : Sρca δT ≈ Sσ
th
[ T
o4
– (T
o
-δT)
4
]τ
s
≈ 4T
o3
δT Sσ
th
τ
s
et τ
s
≈ ρca/(4T
o3
σ
th
). Rq: erreur dans l’énoncé
Newton : Sρca δT ≈ Sh [ T
o
– (T
o
-δT) ]τ
N
et τ
N
≈ ρca/h.
B1*d Experience 1 : δ = 2,055.10
-2
m ; τ
F
= 0,246 s ; τ
N
= 754 s ; τ
s
= 96,9 s.
Experience 2 : δ = 5,812.10
-4
m. ; τ
F
= 10,9 s ; τ
N
= 5020 s ; τ
s
= 646 s.