Correction de la séance : ensembles de nombres

Correction de la séance : ensembles de nombres
Exercice 1 :
9
; 0 sont des nombres rationnels décimaux. Un nombre décimal a plusieurs
125
écritures dont une écriture fractionnaire et une écriture à virgule finie.
a.
;
;
; 3,14 ;
et
sont des rationnels non décimaux. Un nombre rationnel a aussi deux écritures : une
écriture fractionnaire et une écriture à virgule. Cette dernière est infinie et périodique.
π et
sont des nombres irrationnels. Ces nombres ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une
fraction. Ils ont une écriture à virgule infinie et non périodique.
b. La valeur arrondie de
au centième près d’un réel est le nombre décimal le plus proche ayant
une partie décimale composée de 2 chiffres maximum. En utilisant une calculatrice,
≈ 3,142857.
Sa valeur arrondie au centième près est donc 3,14.
La valeur approchée par excès au dixième près de
est le nombre décimal supérieur le plus
proche ayant un chiffre après la virgule. C’est 3,2.
La valeur approchée par défaut au millième près de
est le nombre décimal inférieur le plus proche
ayant trois chiffres après la virgule. C’est 3,142.
2
La valeur arrondie de au centième près est 0,67.
3
2
La valeur approchée au dixième près de par excès est 0,7.
3
2
La valeur approchée au millième près de par défaut est 0,666.
3
En utilisant une calculatrice,
La valeur arrondie de
≈ 1,090909….
au centième près est 1,09.
La valeur approchée au dixième près par excès de
est 1,1.
La valeur approchée au millième près par défaut de
est 1,09.
En utilisant une calculatrice π ≈ 3,1415927.
La valeur arrondie de π au centième près est 3,14.
La valeur approchée de π par excès au dixième près est 3,2.
La valeur approchée de π par défaut au millième près est 3,141.
En utilisant une calculatrice
≈ 2,2360679.
La valeur arrondie de
au centième près est 2,24.
La valeur approchée par excès de
au dixième près est 2,3.
La valeur approchée par défaut de
au millième près est 2,236.
c. Encadrement de
Encadrement de
Encadrement de
à 10
à 10
-2
à 10
-2
-2
près : 3,14 <
près : 0,66 <
près : 1,09 <
< 3,15
< 0,67
< 1,1
-2
Encadrement de π à 10 près : 3,14 < π < 3,15
-2
Encadrement de
à 10 près : 2,23 <
< 2,24
d. Ces nombres sont 18,45 ; 18,46 ; 18,47 ; 18,48 ; 18,49 ; 18, 51 ; 18, 52 ; 18,53 ; 18, 54.
Exercice 2 :
Exercice 3 :
1. a)
donc 10x = 9 + x
b ) 10x = 9 + x donc 9x + x = 9 + x d’où 9x = 9
soit
x = 1 on a bien
2. s = 2,4373737…..
Multiplions s par 1000 : s x 1000 = 2437, 3737…..
Multiplions s par 10 : s x 10 = 24,3737….
Calculons s x 1000 – s x 10 de deux manières :
s x 1000 – s x 10 = s x (1000-10) = s x 990.
s x 1000 – s x 10 = 2437, 3737….. - 24,3737….= 2413.
On a donc s x 990 = 2413 et s =
.s est une fraction irréductible dont le dénominateur est
9x11x10, il ne peut pas s’écrire comme produit de puissances de 2 et de puissances de 5 donc s n’est
pas un nombre décimal.
A=5,78999999… ; 100A –A=573,21 donc A=
donc A=5,79 A est donc un nombre décimal.
Exercice 4 :
1) Un nombre rationnel est décimal si son écriture sous la forme d’une fraction irréductible a un
dénominateur n’ayant pas d’autres diviseurs premiers que 2 ou 5.
1
est irréductible et 7 est un nombre premier (autre que 2 ou 5) ; il n’est pas décimal.
7
27
3
est irréductible et 8 = 2 a pour seul diviseur premier 2 ; il est décimal.
8
91 13 × 7
=
= 13 ; c’est un nombre entier donc décimal.
7
7
42
est irréductible et 17 est un nombre premier autre que 2 ou 5 ; il n’est pas décimal.
17
2) a) Le reste partiel 1 réapparaissant, la suite des quotients partiels,
depuis l’occurrence précédente du reste 1, va se répéter à
1, 0
1
l’identique : = 0, 142857
30
7
20
b) La période est composée de 6 chiffres, après 5 périodes, à partir
ème
ème
de la 31
décimale commence une nouvelle période. La 32
60
1
40
décimale du développement périodique de est donc 4
7
50
42
ème
1
3) a) La 20
décimale de l’écriture décimale de
est 5, donnée dans la cellule B22.
17
42
b)
= 2, 4705882352941176
17
c) Dans la division les restes partiels sont strictement inférieurs au diviseur. Dans le cas de
42 ÷ 17, il y donc 17 restes possibles (de 0 à 16) or les 16 premiers restes (de A2 à A17) sont,
42
dans le désordre, tous les entiers de 1 à 16, le suivant ne peut être 0 ( n’est pas un nombre
17
décimal) c’est donc l’un des nombres de 1 à 16 déjà apparus.
7
0,1 4 2 8 5 7
4) a = 1, 23
100 a = 123, 23
100 a − a = 123, 23 − 1, 23 d’où 99 a = 122 donc a =
122
99
Exercice 5 :
a. Entre 0 et 0,1 il y a 9 nombres qui s’écrivent avec deux chiffres après la virgule.
On peut les représenter par des points situés sur une droite graduée :
__⏐______⏐______⏐______⏐______⏐_____⏐______⏐______⏐______⏐_____⏐_____⏐
0
0,01
0,02
0,03
0,04 0,05
0,06
0,07
0,08 0,09 0,1
Il est possible de graduer plus finement ce morceau de droite en considérant chaque segment
compris entre deux graduations successives et en agrandissant l’échelle pour le partager en 10
parties égales.
Par exemple, si on procède de cette manière avec l’intervalle [0 ; 0,01], le segment d’extrémité 0 et
0,01 de longueur
sera partagé en 10 segments de mesure de longueur dix fois plus petite soit
.
Les extrémités de ces segments situées entre 0 et 0,01 représentent des nombres décimaux qui
s’écrivent avec 3 chiffres après la virgule 0,001 ; 0,002 ; …. ; 0,009. Il y en a 9.
On pourrait faire le même raisonnement pour chacun des 9 intervalles suivants : [0,01 ; 0,02] ; ….. ;
[0,09 ; 0 ;1].
Il y a donc 90 nombres ayant 3 chiffres après la virgule compris entre 0 et 0,1.
b. Il n’est pas possible d’écrire un tel nombre puisque entre deux nombres décimaux, il y en a une
infinité d’autres.
Exercice 6 :
a. A=
=
A=
A=
Cette fraction est irréductible car le numérateur 12 916 n'est ni multiple de 3 (la somme de ses chiffres
est 1) ni multiple de 5 ni multiple de 7 donc le numérateur et le dénominateur n'ont aucun multiple
commun.
b. B =
c. C =
=
=
En utilisant une calculatrice C ≈ 3,0613974…
On en déduit l’encadrement suivant : 3,0613 < C < 3,0614
Connaissant un encadrement de deux nombres, il faut encadrer leur différence afin de savoir quelles
sont leurs distances minimales et maximales ce qui permet de répondre aux questions :
Encadrement de C
Encadrement de l'opposé de C
Encadrement de π :
3,0613 < C < 3,0614
- 3,0614 < -C < - 3,0613
3,1415 < π < 3,1416
Par addition membre à membre
0,0801 < π-C < 0,0803
En élargissant l'intervalle :
0 < 0,0801 < π-C < 0,0803 < 0,1
La distance entre π et C étant inférieure à un dixième, on peut dire que le nombre C est une valeur
approchée de π à un dixième près.
d. B =
En utilisant une calculatrice
≈ 3,1415094…
On en déduit l’encadrement suivant : 3,1415 < B < 3,1416
Encadrement de π :
3,1415 < π < 3,1416
Ces deux nombres sont situés dans le même intervalle. La distance entre les deux bornes de
l’intervalle est de 0,0001. On en déduit que B est une valeur rationnelle de π approchée au dixmillième près.
Exercice 7:
a. F5 =
b. F1 =
=
F1 est un nombre décimal puisque
est irréductible et que son
1
dénominateur s’écrit sous la forme d’un produit de puissance de 2 et de 5 : 2 = 2 x 5
On aurait aussi pu dire que
0
= 1,5 et donc que c’est un nombre décimal parce que son écriture à
virgule est finie.
F2 =
=
=
Pour les mêmes raisons,
F3 =
=
= 1,4 est un nombre décimal.
=
=
=
=
est une fraction irréductible et 12 = 3x2². F3 n’est donc pas un nombre décimal.
F4 =
=
=
=
=
=
=
=
est une fraction irréductible et 29 n’est pas un produit de puissance de 2 et de puissance de 5. F4
n’est donc pas un nombre décimal
c. F1 = 1,5
F2=1,4
F3 =
≈ 1,4167
F4 ≈ 1,4138
d.
≈ 1,4142
En l’utilisant pour calculer les différences avec les valeurs trouvées précédemment, on remarque que
la suite des fractions ci-dessus se rapproche de plus en plus de √2 soit par excès, soit par défaut :
F1 -
≈ 1,5 - 1,4142 ≈ 0,0858
F2 -
≈ 1,4 – 1,4142 ≈ - 0,0142
F3 -
≈ 1,4167 - 1,4142 ≈ 0,0025
F4 ≈ 1,4138 – 1,4142 ≈ - 0,0004
Remarque
Si on continuait avec les fractions F5, F6, F7, F8,… en utilisant des valeurs arrondies plus précises,
on aurait les résultats suivants :
F5 -
≈ 0,0000721
F6 -
≈ - 0,0000124
F7 -
≈ 0,0000021
F8 -
≈ - 0,0000007.
On a le résultat suivant F2<F4<F6<F8<
<F7<F5<F3<F1
Exercice 8 :
Il y a 10 choix possibles pour le premier vers. Pour chacun de ces dix choix possibles pour le premier
vers, il y a dix choix possibles pour le deuxième vers, soit 10x10 choix possibles pour les deux
premiers vers.
En continuant le raisonnement, on trouve alors 10x10x10x…x10 (produit de 14 termes égaux à 10)
14
choix possibles pour lire un poème. Ce nombre s’écrit 10 et vaut 100 000 000 000 000 soit cent mille
milliards.
Le titre de l’ouvrage est « Cent mille milliards de poèmes ».
Exercice 9 :
a. A l’issue de l’étape a) le rectangle est composé de 2x3 feuilles de pâte.
b. A l’issue de l’étape b) le rectangle est composé de 2x3x3 feuilles de pâte.
c. A la fin de la première répétition des deux étapes précédentes, on obtient un rectangle composé de
(2x3X3) 3 x 3 feuilles. En réitérant une nouvelle fois ces deux étapes, on obtient un rectangle
composé de
6
6
(2x3x3x3x3)x 3x 3 feuilles soit de 2 x 3 feuilles. Comme 2 x 3 = 1458, un mille feuilles a bien plus
que mille feuilles.
Exercice 10
=
x 10
27 – 21
=
x 10
6
Exercice 11
a.
= 0,02
Affirmation fausse car 0,2 x 0,2 = 0,04 donc
b.
= 10
Affirmation fausse car 10
c. La moitié de
-
16
8 2
= (10 )
donc
= 10
8
est égale à
Affirmation vraie car
d. (
= 0,2
=10
et
=5
)² est égal à 3-2
Affirmation fausse car (
-
)² = 3 + 2 - 2
=5-2
e. (
+
)(
) est égal à 3-2
Affirmation vraie en utilisant l’identité remarquable : (a + b)(a – b)= a² - b²
f.
-
est égal à 10
Affirmation fausse car
g.
180 − 80 = 6 5 − 4 5 = 2 5
est égal à 10. Affirmation vraie car
€
Exercice 15
10
5 2
15 = (15 )
5
donc le côté a pour longueur : 15 cm soit :759 375 cm.
Exercice 13
a.
;
;
;
;
;
;
=
b.
1
3
=
1x 3
3x 3
3
3
=
;
;
€
c.
=
Exercice 14
1.faux : contre exemple :
2. vrai x = 0
3. vrai c’est 40
1
3
42 6
=
€ 5
35
5. réponse b : car ( 2 − 3)( 2 + 3) = 4 − 3 = 1
4. vrai c’est
Exercice 15
€ périmètre du carré est égal à 4 x (
Le
3
+ 3) soit 4x
3
+12
€ rectangle est 2((
Celui du
72 +3 6 ) + 2 ) =14 2 + 6 6 =2 2 (7 + 3 3 )
2
L’aire du carré est égale à ( 3 + 3) = 12 +6 3
L’aire du rectangle est égale à ( 72 +3 6 ) 2 =(6x 2 +3 6 ) 2 = 12 + 6 3
€
€
Exercice 16
€
€
€
2
€
€
€ €
a. 17 = 289 < 300 < 324 = 18
€
b.
€
€
€
€ €
De l’inégalité précédente, on déduit que 17 <
D’où 17 < 10 x
<
<
< 18
soit 1,7 <
€
2
=
c.
€
< 1,8
< 18
€
2
2
d. 30 000 = 300 x 100. Comme 17 = 289 < 300 < 324 = 18 , on en déduit que ;
17² x 100 < 30 000 < 18² x 100, soit 17² x 10² < 30 000 < 18² x 10² soit 170² < 30 000 < 180²
En utilisant une calculette, il est possible d’affiner cet encadrement :
173² = 29929 et 174² = 30276
D’où 173² < 30 000 < 174²
e. De l’inégalité précédente, on déduit que 173 <
=
f. 0n en déduit que
Exercice 17
< 174
d’où 173 < 100 x
<
<
soit 1,73 <
< 1,74
< 174