1 Limites et continuité - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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Exercices d’Analyse réelle
Cette feuille accompagne la synthèse de cours sur l’analyse réelle et est complétée par le devoir
sur les fonctions lipschitziennes.
1 Limites et continuité
Exercice 1 Démontrer que si fadmet une limite finie en a, celle-ci est unique.
Exercice 2 Démontrer qu’il existe des réels positifs Met Atels que
∀x>A, e−x6M
x2.
Exercice 3 Démontrer qu’une fonction k-lipschitzienne 1sur Iest continue sur I.
Exercice 4 Démontrer qu’une fonction continue et périodique de Rdans Rest bornée sur R.
Exercice 5 Soit fune fonction continue sur R+et admettant une limite finie en +∞.
1. Démontrer que fest bornée sur R+.
2. La fonction fadmet-elle un maximum ou un minimum ?
Exercice 6 Démontrer qu’une fonction périodique sur Radmettant une limite finie en +∞est
constante.
Exercice 7 Le polynôme P=−2X2011 + 2010X201 −X11 + 7 admet-il des racines réelles ?
Exercice 8 (Un théorème de point fixe) Soit fune fonction continue de [0,1] dans [0,1].
Montrer que fadmet un point fixe, i.e. un réel atel que f(a) = a. Le point fixe est-il unique ?
Exercice 9 (Une fonction continue atteint les moyennes arithmétiques) Soit fune fonc-
tion continue sur [0,1] et x1, x2,...,xndes réels de [0,1]. Démontrer qu’il existe un réel c∈[0,1]
tel que
f(c) = f(x1) + ···+f(xn)
n.
Exercice 10 (Une équation fonctionnelle) Soit gune fonction continue telle que pour tout
réel x,g(2x) = g(x).
1. Démontrer que gest constante.
2. Déterminer une fonction h:R→Rnon constante vérifiant pour tout réel x,h(2x) = h(x).
Exercice 11 (Une fonction nulle part continue) Soit fla fonction définie sur Rpar : f(x) =
1 si x∈Qet f(x) = 0 sinon.
1. Soit aun nombre irrationnel. Démontrer que fn’est pas continue en a(on pourra utiliser le
fait que Qest dense dans R,i.e. tout nombre réel xest limite d’une suite de rationnels).
2. Soit pet qdes nombres rationnels avec qnon nul. Le nombre p+q√2 est-il rationnel ?
3. En déduire que l’ensemble des nombres irrationnels est dense dans R,i.e. tout nombre réel
xest limite d’une suite d’irrationnels.
4. Étudier la continuité de fen aun rationnel. Conclure.
Exercice 12 (Uniforme continuité VS Lipschitzien)
1. Soit x>y>0 des réels. Démontrer que √x−√y6√x−y.
2. En déduire que la fonction racine carrée est uniformément continue sur R+.
3. Démontrer qu’en revanche la fonction racine carrée n’est pas lipschitzienne sur R+.
1. Si fest une fonction de Idans Ret k∈R+, on dit que fest k-lipschitzienne sur Isi
∀(x, y)∈I2,|f(x)−f(y)|6k|x−y|.

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Exercice 13 (Une jolie démonstration) Soit fune fonction continue de Rdans R, additive,
(i.e. ∀(x, y)∈R2, f(x+y) = f(x) + f(y)). Le but de l’exercice est de démontrer que fest
une fonction linéaire. Pour cela on montre d’abord que pour tout x∈Ret pour tout λ∈R,
f(λx) = λf(x).
On fixe un réel x.
1. Démontrer que pour tout n∈N,f(nx) = nf(x).
2. Démontrer que f(0) = 0 puis que pour tout a∈R, f (−a) = −f(a).
3. En déduire que pour tout n∈Z,f(nx) = nf(x).
4. Soit p∈N∗. Démontrer que f(x
p) = f(x) p, en déduire que pour tout rationnel ron a f(rx) =
rf(x).
5. Conclure (on pourra utiliser la densité de Qdans R).
Exercice 14 (Lemme de Lebesgue) Soit φ: [0, π]→Rune fonction de classe C1sur [0, π].
Pour tout réel >0, on pose
I(x) = Zπ
0
φ(t) sin(xt) dt.
1. Justifier que pour tout réel x > 0, on a
I(x) = φ(0) −φ(π) cos(πx)
x+1 xZπ
0
φ′(t) cos(xt) dt.
2. En déduire avec soin qu’il existe un réel M > 0 tel que
∀x > 0,|I(x)|6M
x.
On pourra utiliser librement que si gest une fonction continue sur [0, π] on a
Zπ
0
g(t) dt
6Zπ
0|g(t)|dt.
3. En déduire la limite de I(x) lorsque xtend vers +∞.
Exercice 15 (Existence de l’intégrale de Gauss) On considère la fonction fdéfinie sur R
par
f(x) = Zx
0
e−t2dt.
Le but de l’exercice est de montrer que fadmet une limite finie en +∞.
1. Déterminer la monotonie de fsur R.
2. Soit t>1. Comparer e−t2à e−t, en déduire que fest majorée sur [1,+∞[.
3. Conclure.
Exercice 16 (Un peu d’intégration) On note Ele R-espace vectoriel des fonctions continues
sur Ret on définit sur El’application φpar φ(f) = goù gest définie sur Rpar
g(x) = Zx
0
tf(t) dt.
1. Démontrer que φest un endomorphisme de E.
2. Démontrer que φest injective mais n’est pas surjective.
2 Avec la dérivabilité
Exercice 17 Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes :
1. g:R→Rdéfinie par g(x) = x−1
x+ 2 si x>1 et g(x) = x2−1 x−3si x < 1.
2. f:x7→ argch (x2−5x+ 7).
Exercice 18 Étudier la fonction f:x7→ arcsin(1 −x2).

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Exercice 19 (Un exemple de fonction dérivable mais pas de classe C1)On note fla fonc-
tion «serpent» définie sur [0,+∞[ par f(x) = x2sin 1
xpour x6= 0 et f(0) = 0.
1. Démontrer que fest dérivable sur [0,+∞[.
2. Démontrer que fn’est pas de classe C1en 0.
Exercice 20
f(x) = ln(x+ 1)
x.
Démontrer que fse prolonge en une fonction de classe C1sur R+.
Exercice 21 On note fla fonction définie par
f(x) = 1
x−1 sin x.
Démontrer que la fonction fse prolonge en une fonction de classe C1sur [0,π
2].
Exercice 22 (Étude d’une fonction réciproque) On note fla fonction définie sur Rpar
f(x) = arctan x+ arctan(x3)
1. Démontrer que fest une bijection de Rsur un intervalle à préciser.
2. On note f−1l’application réciproque de f. Sans déterminer f−1, justifier que f−1est dérivable
en π
2et calculer le nombre dérivé (f−1)′(π 2).
Exercice 23 Soit n∈N. Calculer la dérivée n-ième de la fonction x7→ x2e3x.
Exercice 24 (À propos d’extrema) Étudier les extrema locaux et globaux de la fonction f:
x7→ x−ln(1 + x2).
Exercice 25 (Des inégalités avec cos et sin)
1. On sait que pour tout t∈R,cos t61. Soit x∈R+. Intégrer l’inégalité suivante entre 0 et x.
Quelle inégalité classique vient-on de retrouver ?
2. Démontrer à l’aide de la même technique que ∀x∈R+,cos x−1>−x2
2.
Exercice 26 (Raccords) Le but de l’exercice est de résoudre sur ]0,+∞[, l’équation ln x y′+y
x=
1. On pose f:x7→ x−1
ln x.
1. Déterminer la limite lde fen 1. On prolonge ainsi fen 1 en posant f(1) = l.
2. Démontrer que fest dérivable en 1. On pourra poser u=x−1 et utiliser un développement
limité à l’ordre 2 au voisinage de 0 de ln(1 + u).
3. Résoudre l’équation différentielle sur ]0,+∞[.
Exercice 27 Démontrer que pour tout réels xet yde [1,+∞[, on a : |ln(1+x)−ln(1+y)|61
2|x−y|.
Exercice 28
1. Soit fune fonction dérivable sur R. Démontrer que si f′s’annule en pvaleurs distinctes,
alors fs’annule en au plus p+ 1 zéros distincts.
2. En déduire le nombre maximum de solutions dans Rde l’équation x2010 + 2x+ 3 = 0.
3. Généralisation : soit n>2 un entier et pet qdes réels. Démontrer que l’équation xn+px+q=
0 ne peut avoir plus de deux racines réelles si nest pair et plus de trois racines réelles si n
est impair.
Exercice 29 Soit fune fonction dérivable sur [0,2] telle que f(0) = 0, f(1) = 3 et f(2) = 1.
Montrer qu’il existe c∈[0,2] tel que f′(c) = 0.
Exercice 30 Soit fune fonction de classe C2sur un intervalle Iet a∈Itel que f′(a) = 0.
1. Démontrer si f′′ (a)>0, alors fadmet un minimum local en a.
2. A l’aide de deux exemples, démontrer que si f′′ (a) = 0, on ne peut rien conclure.
Exercice 31 (Développement en série entière de cos)

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1. Soit n∈N. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral pour la fonction cosinus à l’ordre
2n+ 1 et avec a= 0.
2. En déduire que l’on a pour tout réel x>0, on a
cos x=
+∞
X
k=0
(−1)kx2k
(2k)! .
3. Justifier que le résultat précédent reste vrai pour x < 0.
Exercice 32 (Une suite récurrente) On note fla fonction définie sur R+par f(x) = cos √x
et (un) la suite définie par u0= 0 et pour n>1, un+1 =f(un).
1. La fonction fest-elle continue, dérivable, de classe C1en 0 ?
2. Démontrer que fadmet un unique point fixe adans [0,1].
3. (a) Démontrer que pour x>0, on a |sin x|6x.
(b) En déduire que fest 1
2-lipschitzienne.
4. Démontrer que pour tout n∈N, on a |un−a|61
2n|u0−a|. En déduire que la suite (un)
converge et préciser la limite.
Exercice 33 (Exponentielle Vs polynôme) Le but de cet exercice est de montrer que si P
une fonction polynomiale de degré n∈N, alors Pcoïncide avec la fonction exponentielle en au
maximun n+ 1 points et que cette inégalité est optimale.
1. Existe-t-il un polynôme P∈R[X] tel que ∀x∈R, P (x) = ex?
2. Soit n∈N. Démontrer qu’il existe un polynôme Pde degré inférieur ou égal à ntel que
l’équation P(x) = exadmette n+ 1 solutions.
3. Soit Pune fonction polynomiale de degré n∈N, démontrer que l’équation P(x) = exadmet
au maximum n+ 1 solutions sur R.
Exercice 34 (Du ping-pong) Soit fune fonction réelle bijective sur Iet de classe C1sur I. On
suppose que la dérivée f′ne s’annule pas sur I.
1. Démontrer que la fonction fest strictement monotone.
2. Démontrer que l’application réciproque f−1est de classe C1sur J=f(I).
3. Démontrer que si fest de classe Cnalors l’application réciproque f−1est de classe Cnsur
J=f(I).
Exercice 35 (Un exo que mon prof adore) On considère a < b < c trois réels. Dessiner le
graphe des «polynômes» suivants et représenter les tangentes horizontales. Préciser ensuite les
points critiques et s’il s’agit d’extremum local, global ou autre.
1. P= (X−a)(X−b)(X−c).
2. P= (X−a)(X−b)2(X−c)4.
3. P= (X−a)3(X−b)3(X−c)4
4. P= (X−a)2(X−b)4(X−c)4.
Exercice 36 (Oral concours) Le but de l’exercice est de démontrer que si P∈R[X] est scindé,
alors P′est scindé. Il est conseillé d’avoir auparavant traité l’exercice 35.
1. Démontrer le résultat dans le cas où Pn’admet que des racines simples.
2. Traitons maintenant le cas général. On pourra remarquer que si aest une racine de Pde
multiplicité r>2, alors P′est divisble par (X−a)r−1.
3. La réciproque de ce résultat est-elle vraie ?

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3 Compléments difficiles
Exercice 37 (Très difficile) Démontrer qu’une fonction continue sur [0,+∞[ et de limite finie
à l’infini est uniformément continue sur [0,+∞[.
Exercice 38 (Point fixe répulsif) Soit fune fonction dérivable sur Ret aun point fixe répulsif
de f, c’est à dire un point fixe tel que |f′(a)|>1. Soit ula suite définie par u0∈Ret un+1 =f(un).
On suppose de plus que un’est pas une suite stationnaire. Le but est de montrer que la suite u
diverge.
1. Démontrer que pour tout n∈N, un6=a.
2. Démontrer que si la suite uconverge vers a, alors à partir d’un certain rang, la suite de terme
général |un−a|est croissante (on pourra étudier la limite de f(un)−f(a)
un−a). Conclure à une
contradiction.
Exercice 39 (Rolle à l’infini) Soit fune fonction de R+dans Rcontinue telle que lim+∞f=
l∈R.
1. Démontrer que fest bornée sur R+.
2. On suppose de plus que fest dérivable sur ]0,+∞[ et que la limite lvaut f(0). On veut
démontrer qu’il existe un réel c > 0 tel que f′(c) = 0.
(a) Traiter le cas où fest constante.
(b) On suppose fnon constante, il existe donc a > 0 tel que f(a)6=f(0) On suppose
que f(a)> f(0). Soit m∈]f(0), f (a)[. Démontrer avec soin qu’il existe c∈[0, a[ et
d∈]c, +∞[ tel que f(c) = f(d) = m. Conclure. Et si f(a)< f (0) ?
Exercice 40 (Les dérivées intermédiaires sont bornées) Soit fde classe C2sur R+telle
que fet f′′ soient bornées respectivement par M0et M2.
1. Soit a > 0. Appliquer la formule de Taylor avec reste intégral en a, en déduire que f′est
bornée par 2M0
a+aM2 2.
2. En déduire que f′est bornée par 2√M0M2.
Exercice 41 (Fonction coercive) Soit fune fonction réelle continue sur Rtelle que
lim
+∞
f= lim
−∞
f= +∞.
1. Donner un exemple d’une telle fonction.
2. Démontrer que fadmet un minimum global sur R. Montrer que ce minimum n’est pas
forcément unique.
3. Une application : soit n1,...,npdes réels strictements positifs et a1, . . . , apdes réels. Dé-
montrer que la fonction x7→ n1|x−a1|+···+np|x−ap|admet un minimum global sur R.
Connaissez-vous une interprétation statistique du résultat précédent ?
Exercice 42 Soit fune fonction de classe C2en a∈I. On suppose que aest un point d’inflexion,
démontrer que f′′ (a) = 0 (on pourra utiliser un DL2de fen a).