Diviseurs multiples, PGCD

Diviseurs, multiples des nombres entiers naturels
Dans ce chapitre on travail uniquement dans l’ensemble ℕ.
I – Définitions :
1. Division euclidienne :
Propriété : Soient a et b deux entiers naturels, avec b non nul.
Il existe un seul couple d’entiers naturels (q ;r) tel que a = b × q + r et 0 ≤ r < b
Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer ces deux entiers naturels
q et r< ;
a est appelé le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste de cette division.
2. Diviseurs et multiples :
Soient a et d deux entiers naturels, on dit que d est un diviseur de a si et seulement si
il existe un entier naturel k tel que : a = k × d.
On dit aussi que d divise a, que a est divisible par d et que a est un multiple de d.
Remarques :
1 est un diviseur de tout entier naturel.
Un diviseur est non nul.
Tout entier naturel est un diviseur de 0 et de lui même.
3. Nombres premiers :
On appelle nombre premiers tout entier naturel n’ayant que deux diviseurs, 1 et lui
même.
Remarque : 1 n’est un nombre premier car il n’a qu’un diviseur.
Pour aller plus loin :
Le crible d’Ératosthène :
Pour trouver les nombres premiers inférieurs à 100 on barre successivement dans ce
crible 1 puis les multiples de 2 sauf 2 puis ceux de 3, de 5 de 7 et ainsi de suite.
1 11 21 31 41 51 61 71 81 91 2 12 22 32 42 52 62 72 82 92 3 13 23 33 43 53 63 73 83 93 4 14 24 34 44 54 64 74 84 94 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 6 16 26 36 46 56 66 76 86 96 7 17 27 37 47 57 67 77 87 97 8 18 28 38 48 58 68 78 88 98 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1 4. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux entiers naturels non nuls:
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, le PGCD de a et b est le plus grand des
diviseurs communs à a et b. On le note PGCD (a ; b).
Exemple : PGCD (18 ; 24) = 6.
5. Nombres premiers entre eux :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, si leur PGCD est 1 on dit que a et b sont
premiers entre eux.
Remarque : Les nombres premiers sont tous premiers entre eux, mais la réciproque
est fausse : contre exemple 4 et 9 sont premiers entre eux mais aucun n’est un nombre
premier.
II – Méthodes de détermination du PGCD de deux entiers naturels, a et b, non nuls :
1. On détermine l’ensemble des diviseurs de a, l’ensemble des diviseurs de b et le PGCD
de a et b est le plus grand nombre commun à ces deux ensembles.
Exemple :
Ensemble des diviseurs de 18 : 1; 2; 3; 6; 9; 18
Ensemble des diviseurs de 24 : 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
PGCD(18 ;24) = 6
2. On décompose chacun des nombres a et b en produit de nombres premiers, le PGCD
de a et b est le produit des nombres premiers communs aux deux décompositions
chacun deux étant affecté du plus petit des deux exposants
Exemple :
18 = 2 × 32 et 24 = 23 × 3
PDCG(18 ;24) = 2 × 3 = 6
III – Algorithme des différences, Algorithme d’Euclide :
1. Notion d’algorithme :
Le mot algorithme vient de l’auteur persan Alkuwarizmi (780 – 850 environ)
Définition
Un algorithme est « une suite finie de règles (ou instructions) à appliquer dans un
ordre déterminé à un nombre fini de données pour arriver, en un nombre fini d’étapes,
à un résultat indépendamment des données ». (Encyclopaedia universalis) Il permet
donc de résoudre de façon systématique un problème mathématique ou non.
Il comprend :
▪ L’entrée ou préparation du traitement ou phase d’initialisation : on précise les
variables, on initialise leurs valeurs et on entre les données
▪ Le traitement ou phase de résolution du problème qui peut comprendre des étapes
différentes ou des étapes qui se répètent (boucles).
▪ La sortie ou affichage du ou des résultats.
Exemples d’algorithmes :
▪ Une recette de cuisine.
▪ La construction d’une figure géométrique.
2 ▪ Le calcul du PGCD deux nombres entiers (algorithme d’Euclide ou algorithme des
différences).
Dans les deux algorithme étudiés l’entrée sera faite en donnant les deux nombres a et
b dont on cherche le PGCD et la sortie sera ce PGCD, mais le « traitement » sera
différent.
2. Algorithme d’Euclide :
Propriété :
Le pgcd de deux nombre a et b est le même que celui du plus petit nombre et du
reste de la division euclidienne du plus grand par le plus petit.
si a > b alors pgcd(a ;b) = pgcd(b ; r) , r étant le reste de la division euclidienne de
a par b.
Démonstration :
Soit a et b deux nombres entiers positifs tels que a > b et d leur plus grand
diviseur commun.
d est un diviseur de a donc on peut écrire a = d×k
d est un diviseur de b donc on peut écrire b = d×k’
or a = b×q + r donc r = a – b×q
donc r = d×k – d×k’×q = d (k – k’×q) donc d est un diviseur de r
donc d est aussi le plus grand diviseur commun de a, b et du reste r de la division
euclidienne de a par b
Donc en faisant les divisions euclidiennes successive de a par b, puis de b par r, puis
de r par le nouveau reste et ainsi de suite on obtient d que est le dernier reste non nul.
Algorithme :
Entrée :
Soient les nombres a et b avec a > b.
Traitement :
début de la boucle
Faire la division euclidienne de a par b
Si le reste r de cette division est différent de 0 remplacer a par b et b par r et
recommencer.
Sinon le pgcd de a et b est b, fin du traitement.
Sortie :
Le PDCG de a et b est le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives.
Voir l’exemple livre P 16 (Prisme édition 2008)
3 Schématisation
a et b sont
deux nombres entiers
avec a >b
Effectuer
la division euclidienne
de a par b.
Remplacer
a par b
et
b par r
Le reste est-il nul ?
(c'est à dire a est-il
multiple de b ?)
non
oui
PGCD(a;b) = b
3. Algorithme des différences :
Propriété :
Le pgcd de deux nombre est le même que celui du plus petit nombre et de la différence
de ces deux nombres .
si a > b alors , pgcd(a ;b) = pgcd(b ;a – b).
Démonstration :
Soit a et b deux nombres entiers positifs tels que a > b et d leur plus grand
diviseur commun.
d est un diviseur de a donc on peut écrire a = d×k
d est un diviseur de b donc on peut écrire b = d×k’
or a – b = d×k – d×k’
donc a – b = d (k – k’)
donc d est aussi le plus grand diviseur de a, b et de leur différence a – b
Donc en faisant les différences successives de a par b puis de b par le résultat et ainsi
de suite on obtient le pgcd de a et b qui est le dernier résultat non nul
4 Algorithme :
Entrée :
Soient les nombres a et b avec a > b.
Traitement :
début de la boucle
Calculer d = a – b
Si le résultat d est différent de b remplacer a par b et b par d et recommencer.
Sinon, le PGCD de a et b est b, fin du traitement.
Sortie :
Le PDCG de a et b est la dernière différence non nulle.
Voir l’exemple livre P 14
Imaginer un schéma.
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