Diviseurs multiples, PGCD

!
1!
Diviseurs, multiples des nombres entiers naturels
Dans ce chapitre on travail uniquement dans l’ensemble ℕ.
!
I – Définitions :
1. Division euclidienne :
Propriété : Soient a et b deux entiers naturels, avec b non nul.
Il existe un seul couple d’entiers naturels (q ;r) tel que a = b × q + r et 0≤r<b
Effectuer la division euclidienne de a par b, c’est déterminer ces deux entiers naturels
q et r< ;
a est appelé le dividende, b le diviseur, q le quotient et r le reste de cette division.
2. Diviseurs et multiples :
Soient a et d deux entiers naturels, on dit que d est un diviseur de a si et seulement si
il existe un entier naturel k tel que : a = k!×!d.
On dit aussi que d divise a, que a est divisible par d et que a est un multiple de d.
Remarques :
1 est un diviseur de tout entier naturel.
Un diviseur est non nul.
Tout entier naturel est un diviseur de 0 et de lui même.
3. Nombres premiers :
On appelle nombre premiers tout entier naturel n’ayant que deux diviseurs, 1 et lui
même.
Remarque : 1 n’est un nombre premier car il n’a qu’un diviseur.
Pour aller plus loin :
Le crible d’Ératosthène :
Pour trouver les nombres premiers inférieurs à 100 on barre successivement dans ce
crible 1 puis les multiples de 2 sauf 2 puis ceux de 3, de 5 de 7 et ainsi de suite.
1"
2"
3"
4"
5"
6"
7"
8"
9"
10"
11"
12"
13"
14"
15"
16"
17"
18"
19"
20"
21"
22"
23"
24"
25"
26"
27"
28"
29"
30"
31"
32"
33"
34"
35"
36"
37"
38"
39"
40"
41"
42"
43"
44"
45"
46"
47"
48"
49"
50"
51"
52"
53"
54"
55"
56"
57"
58"
59"
60"
61"
62"
63"
64"
65"
66"
67"
68"
69"
70"
71"
72"
73"
74"
75"
76"
77"
78"
79"
80"
81"
82"
83"
84"
85"
86"
87"
88"
89"
90"
91"
92"
93"
94"
95"
96"
97"
98"
99"
100"

!
2!
4. Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) de deux entiers naturels non nuls:
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, le PGCD de a et b est le plus grand des
diviseurs communs à a et b. On le note PGCD (a ; b).
Exemple : PGCD (18 ; 24) = 6.
5. Nombres premiers entre eux :
Soient a et b deux entiers naturels non nuls, si leur PGCD est 1 on dit que a et b sont
premiers entre eux.
Remarque : Les nombres premiers sont tous premiers entre eux, mais la réciproque
est fausse : contre exemple 4 et 9 sont premiers entre eux mais aucun n’est un nombre
premier.
II – Méthodes de détermination du PGCD de deux entiers naturels, a et b, non nuls :
1. On détermine l’ensemble des diviseurs de a, l’ensemble des diviseurs de b et le PGCD
de a et b est le plus grand nombre commun à ces deux ensembles.
Exemple :
Ensemble des diviseurs de 18 : 1;2;3;6;9;18
Ensemble des diviseurs de 24 : 1;2;3;4;6;8;12;24
PGCD(18 ;24) = 6
2. On décompose chacun des nombres a et b en produit de nombres premiers, le PGCD
de a et b est le produit des nombres premiers communs aux deux décompositions
chacun deux étant affecté du plus petit des deux exposants
Exemple :
18 = 2 × 32 et 24 = 23 × 3
PDCG(18 ;24) = 2 × 3 = 6
III – Algorithme des différences, Algorithme d’Euclide :
1. Notion d’algorithme :
Le mot algorithme vient de l’auteur persan Alkuwarizmi (780 – 850 environ)
Définition
Un algorithme est « une suite finie de règles (ou instructions) à appliquer dans un
ordre déterminé à un nombre fini de données pour arriver, en un nombre fini d’étapes,
à un résultat indépendamment des données ». (Encyclopaedia universalis) Il permet
donc de résoudre de façon systématique un problème mathématique ou non.
Il comprend :
▪ L’entrée ou préparation du traitement ou phase d’initialisation : on précise les
variables, on initialise leurs valeurs et on entre les données
▪ Le traitement ou phase de résolution du problème qui peut comprendre des étapes
différentes ou des étapes qui se répètent (boucles).
▪ La sortie ou affichage du ou des résultats.
Exemples d’algorithmes :
▪ Une recette de cuisine.
▪ La construction d’une figure géométrique.

!
3!
▪ Le calcul du PGCD deux nombres entiers (algorithme d’Euclide ou algorithme des
différences).
Dans les deux algorithme étudiés l’entrée sera faite en donnant les deux nombres a et
b dont on cherche le PGCD et la sortie sera ce PGCD, mais le « traitement » sera
différent.
2. Algorithme d’Euclide :
Propriété :
Le pgcd de deux nombre a et b est le même que celui du plus petit nombre et du
reste de la division euclidienne du plus grand par le plus petit.
si a > b alors pgcd(a ;b) = pgcd(b ; r) , r étant le reste de la division euclidienne de
a par b.
Démonstration :
Soit a et b deux nombres entiers positifs tels que a > b et d leur plus grand
diviseur commun.
d est un diviseur de a donc on peut écrire a = d×k
d est un diviseur de b donc on peut écrire b = d×k’
or a = b×q + r donc r = a – b×q
donc r = d×k – d×k’×q = d (k – k’×q) donc d est un diviseur de r
donc d est aussi le plus grand diviseur commun de a, b et du reste r de la division
euclidienne de a par b
Donc en faisant les divisions euclidiennes successive de a par b, puis de b par r, puis
de r par le nouveau reste et ainsi de suite on obtient d que est le dernier reste non nul.
Algorithme :
Entrée :
Soient les nombres a et b avec a > b.
Traitement :
début de la boucle
Faire la division euclidienne de a par b
Si le reste r de cette division est différent de 0 remplacer a par b et b par r et
recommencer.
Sinon le pgcd de a et b est b, fin du traitement.
Sortie :
Le PDCG de a et b est le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives.
Voir l’exemple livre P 16 (Prisme édition 2008)

!
4!
Schématisation
3. Algorithme des différences :
Propriété :
Le pgcd de deux nombre est le même que celui du plus petit nombre et de la différence
de ces deux nombres .
si a > b alors , pgcd(a ;b) = pgcd(b ;a – b).
Démonstration :
Soit a et b deux nombres entiers positifs tels que a > b et d leur plus grand
diviseur commun.
d est un diviseur de a donc on peut écrire a = d×k
d est un diviseur de b donc on peut écrire b = d×k’
or a – b = d×k – d×k’ donc a – b = d (k – k’)
donc d est aussi le plus grand diviseur de a, b et de leur différence a – b
Donc en faisant les différences successives de a par b puis de b par le résultat et ainsi
de suite on obtient le pgcd de a et b qui est le dernier résultat non nul
a et b sont
deux nombres entiers
avec a >b
Effectuer
la division euclidienne
de a par b.
Remplacer
a par b
et
b par r
PGCD(a;b) = b
Le reste est-il nul ?
(c'est à dire a est-il
multiple de b ?)
oui
non

!
5!
Algorithme :
Entrée :
Soient les nombres a et b avec a > b.
Traitement :
début de la boucle
Calculer d = a – b
Si le résultat d est différent de b remplacer a par b et b par d et recommencer.
Sinon, le PGCD de a et b est b, fin du traitement.
Sortie :
Le PDCG de a et b est la dernière différence non nulle.
Voir l’exemple livre P 14
Imaginer un schéma.
!
!