Arithmétique et PGCD (cours)

Pré requis : vocabulaire multiple ..... simplification de fractions.
ARITHMETIQUE
I Vocabulaire :
1) Divisibilité :
Complète le tableau suivant par une croix dans la case lorsque la réponse est oui puis justifie tes réponses.
Est divisible par 2 3 5 9 10
12 x X
165 X x
2430 x x x X X
17 325 x x x
12 et 2430 sont divisibles par 2 car ils sont pairs.
165, 2430 et 17235 sont divisibles par 5 car ils se terminent par 5.
2430 est divisibles par 10 car il se termine par 0.
12, 165, 2430 et 17235 sont divisibles par 3 car 1+2 = 3, 1+6+5 = 12, 2+4+3+0 = 9 et 1+7+2+3+5 =18 et toutes ces sommes sont
divisibles par 3.
2430 et 17235 sont divisibles par 9 car 2+4+3+0=9 et 1+7+2+3+5 = 18 et 9,18 sont divisibles par 9.
2) Critères de divisibilité : rappel
- Un entier est divisible par 2 lorsqu’il est pair.
- Un entier est divisible par 5 lorsqu’il se termine par 5 ou 0.
- Un entier est divisible par 10 lorsqu’il se termine par 0.
- Un entier est divisible par 4 lorsque ses deux derniers chiffres sont dans la table de 4
- Un entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- Un entier est divisible par 9 lorsque la somme de tous ses chiffres est divisible par 9.
3) Division euclidienne :
On veut partager équitablement un lot de 357 CD entre 12 personnes. Combien de CD aura chaque personne ?
Combien de CD restera-t-il ? Quelle opération as-tu posé ?
On pose la division euclidienne 357 ÷ 12. On obtient 357 = 2×29 + 9 utilisation de la touche ÷R de la calculatrice
Chaque personne aura 12 CD et il restera 9 CD.
4) Définition :
Soit a un nombre positif et b un entier positif non nul.
Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors il existe un entier k tel que a = k × b.
On peut dire alors :
- a est divisible par b. - b est un diviseur de a.
- a est un multiple de b. - b divise a.
5) Exemple :
Pose la division euclidienne 168 ÷ 42 : 168 ÷ 42 = 4 donc 4 × 42 = 168.
On dit que 42 divise 168, 42 est un diviseur de 168, 168 est divisible par 42 et 168 est un multiple de 42.
6) Recherche de diviseurs :
Combien 48 a-t-il de diviseurs ? Justifie ta réponse.
48 = 48 × 1 donc 1 et 48 sont des diviseurs de 48.
48 = 24 × 2 donc 2 et 24 sont des diviseurs de 48.
48 = 16 × 3 donc 16 et 3 sont des diviseurs de 48.
48 = 12 × 4 donc 12 et 4 sont des diviseurs de 48.
48 = 8 × 6 donc 8 et 6 sont des diviseurs de 48.
7) Recherche des multiples : crible d’Eratosthène
Dans ce tableau des 40 1
ers
nombres tu vas barrer les multiples de 2 puis de 3 puis de 4 etc…
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Les nombres qui ne sont pas barrés ont une particularité : ils ne sont dans aucune table. Ils ne sont divisibles
que par 1 et par eux mêmes : ces nombres s’appellent des nombres premiers.
Par suite 48 a 10 diviseurs (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48)

8) Décomposition en facteurs premiers
240 = 2 × 120 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5
2 × 2 × 60 noté aussi 2
4
× 3 × 5 tous ses nombres sont des nombres premiers
2 × 2 × 2 × 30
2 × 2 × 2 × 2 × 15
II PGCD :
1) Activité :
On veut paver une surface rectangulaire avec des carrés identiques et sans coupe. La longueur du côté des
carrés est un nombre entier de centimètres. La surface rectangulaire mesure 12 cm par 18 cm.
a) Quelle peut être la longueur du côté des carrés ?
b) Y a-t-il plusieurs possibilités ?
c) Que représente(nt) ce(s) nombre(s) pour 12 et 18 ?
a) La longueur peut être divisée par 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18
La largeur peut être divisée par 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12
La longueur peut être 2 ; 3 ; 6
b) Ces nombres sont les diviseurs communs de 12 et de 18.
c) Le plus grand se note le PGCD ( 12, 18) = 6
2) Définition :
Soient a et b deux entiers non nuls.
On appelle PGCD à et a et b que l’on note PGCD ( a ; b ) le Plus Grand Commun Diviseur à a et b .
III Autres méthodes pour calculer le PGCD :
1) Algorithme des soustractions successives :
Cherche le PGCD (45 ; 25) et cherche le PGCD (25 ; 20) Que constates-tu ?
Les diviseurs de 45 sont : 1, 3, 5, 9, 15, 45
Les diviseurs de 25 sont : 1, 5, 25.
Donc le PGCD ( 45 ; 25 ) = 5.
Les diviseurs de 25 sont : 1, 5, 25.
Les diviseurs de 20 sont : 1, 2, 4, 5, 10, 20.
Donc le PGCD ( 25 ; 20 ) = 5.
On constate que PGCD ( 45 ; 25 ) = PGCD ( 25 ; 20 ) = PGCD (25 ; 45 – 25)
Propriété : ( admise )
Soient a et b deux nombres entiers non nuls avec a > b : PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; a − b ).
Exercice : Calcule à l’aide la propriété précédente le PGCD de 2 208 et 216.
a b a − b
2208 216 1992
1992 216 1776
1776 216 1560
1560 216 1344
1344 216 1128
1128 216 912
912 216 696
696 216 480
480 216 264
264 216 48
216 48 168
168 48 120
120 48 72
72 48 24
48 24 24
24 24 0
Donc le PGCD(2208 ; 216) = 24.
2) Algorithme d’Euclide :
1) Dans l’exercice précédent combien de fois as-tu soustrait 216 ? On a soustrait 216 dix fois.
2) Quel est le nombre obtenu après avoir fini de soustraire 216 ? On a obtenu 48.

3) Déduis-en que l’on peut trouver , à l’aide d’une seule opération, un entier naturel n tel que PGCD(2208 ;
216) = PGCD(216 ;n) avec n <216
On remarque que 48 est le reste de la division euclidienne de 2208 par 216 car 2208 = 216 × 10+48
Donc PGCD(2208 ; 216) = PGCD(216 ; 48)
Propriété :
Soient a et b deux nombres entiers non nuls.
Si r est le reste de la division euclidienne de a par b alors PGCD ( a ; b ) = PGCD ( b ; r ).
Méthode : Calcule à l’aide la propriété précédente le PGCD de 2 208 et 216.
a b r division
2208 216 48 2208 = 216×9 + 48
216 48 24 216 = 48×4 + 24
48 24 0 48 = 24×2+0
Donc le PGCD(2208 ;216) = 24. Cette méthode est plus rapide.
3) Exercice type : Résolution de problème
Un philatéliste possède 1631 timbres français et 932 timbres étrangers. Il souhaite vendre sa collection en
réalisant des lots identiques, c’est à dire comportant le même nombre de timbres et la même répartition de
timbres français et étrangers.
a) Calcule le nombre maximum de lots qu’il pourra réaliser.
b) Combien y aura-t-il, dans ce cas, de timbres français et de timbres étrangers par lot ?
a) Calculons le PGCD de 1 631 et de 932 à l’aide de l’algorithme d’Euclide :
a b Restes PGCD ( 1631 ; 932 )
1 631 932 699 1 631 = 1 × 932 + 699 donc pgcd(1 631 ; 932) = pgcd(932 ; 699)
932 699 233 932 = 1 × 699 + 233 donc pgcd(932 ; 699) = pgcd(699 ; 233)
699 233 0 699 = 3 × 233 + 0 donc pgcd(699 ; 233) = 233
PGCD( 1631 ; 932 ) = 233, il pourra donc réaliser 233 lots identiques au maximum.
b) 1631 : 233 = 7 et il y aura 7 timbres français par lot, et 932 : 233 = 4 et il y aura 4 timbres étrangers par lot.
IV Fractions L’intérêt de cette notion n’est utile qu’après.
1) Remarque :
Peut-on simplifier 2
3 et 28 15 ? Non 2 3 = 2 × 1
3 × 1 et 28
15 = 28 × 1
15 × 1
PGCD ( 3 ; 2 ) = 1 PGCD (28 ; 15 ) = 1
On dit que 2 et 3 sont premiers entre eux ainsi que 28 et 5.
2) Définition :
a et b deux nombres strictement positifs, a et b sont premiers entre eux si le PGCD ( a ; b ) = 1.
3) Exemples :
a) 32 et 15 sont-ils premiers entre eux ?
Les diviseurs de 32 sont : 1, 2, 4, 8, 16, 32.
Les diviseurs de 15 sont : 1, 3, 5, 15.
Par suite PGCD ( 32 ; 15 ) = 1, donc 15 et 32 sont premiers entre eux.
b) 1449 et 2277 sont-ils premiers entre eux ?
a b reste Division euclidienne
2277 1449 828 2277 = 1 × 1449 + 828
1449 828 621 1449 = 1 × 828 + 621
828 621 207 828 = 1 × 621 + 207
621 207 0 621 = 3 × 207
Donc le PGCD ( 2277 ; 1449 ) = 207, par suite 1449 et 2277 ne sont pas premiers entre eux.

4) Définitions :
- Une fraction irréductible signifie que nous ne pouvons pas la simplifier.
- Une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers ente eux.
5) Remarque :
Simplifie la fraction 1449
2277 .
On sait que PGCD ( 1449 ;2277) = 207 donc 1449
2277 = 207×7
207×11 = 7
11 . Et 7 11 est irréductible.
6) Propriété : ( admise)
Si nous simplifions une fraction par le PGCD de son numérateur et de son dénominateur alors on obtient une
fraction irréductible.
7) Exercice type :
Méthode 1 : avec le PGCD
Rendre irréductible 168
240 .
a b reste Division euclidienne
240 168 72 240 = 1×168+72
168 72 24 168=2×72+24
72 24 0 72=3× 24+0
Donc PGCD ( 240 ;168) = 24. Donc 168
240 = 7×24
10×24 = 7
10 et 7 10 est irréductible.
Méthode 2 : avec la décomposition
240 = 2
4
× 3 × 5
168 = 2 × 2 × 2 × 3 × 7 = 2
3
× 3 × 7
168
240 = 2
4
× 3 × 5
2
3
× 3 × 7 = 2 × 5
7 = 10 7