Pré requis : vocabulaire multiple ..... simplification de fractions.
ARITHMETIQUE
I Vocabulaire :
1) Divisibilité :
Complète le tableau suivant par une croix dans la case lorsque la réponse est oui puis justifie tes réponses.
Est divisible par 2 3 5 9 10
12 x X
165 X x
2430 x x x X X
17 325 x x x
12 et 2430 sont divisibles par 2 car ils sont pairs.
165, 2430 et 17235 sont divisibles par 5 car ils se terminent par 5.
2430 est divisibles par 10 car il se termine par 0.
12, 165, 2430 et 17235 sont divisibles par 3 car 1+2 = 3, 1+6+5 = 12, 2+4+3+0 = 9 et 1+7+2+3+5 =18 et toutes ces sommes sont
divisibles par 3.
2430 et 17235 sont divisibles par 9 car 2+4+3+0=9 et 1+7+2+3+5 = 18 et 9,18 sont divisibles par 9.
2) Critères de divisibilité : rappel
- Un entier est divisible par 2 lorsqu’il est pair.
- Un entier est divisible par 5 lorsqu’il se termine par 5 ou 0.
- Un entier est divisible par 10 lorsqu’il se termine par 0.
- Un entier est divisible par 4 lorsque ses deux derniers chiffres sont dans la table de 4
- Un entier est divisible par 3 lorsque la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- Un entier est divisible par 9 lorsque la somme de tous ses chiffres est divisible par 9.
3) Division euclidienne :
On veut partager équitablement un lot de 357 CD entre 12 personnes. Combien de CD aura chaque personne ?
Combien de CD restera-t-il ? Quelle opération as-tu posé ?
On pose la division euclidienne 357 ÷ 12. On obtient 357 = 2×29 + 9
utilisation de la touche ÷R de la calculatrice
Chaque personne aura 12 CD et il restera 9 CD.
4) Définition :
Soit a un nombre positif et b un entier positif non nul.
Lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul, alors il existe un entier k tel que a = k × b.
On peut dire alors :
- a est divisible par b. - b est un diviseur de a.
- a est un multiple de b. - b divise a.
5) Exemple :
Pose la division euclidienne 168 ÷ 42 : 168 ÷ 42 = 4 donc 4 × 42 = 168.
On dit que 42 divise 168, 42 est un diviseur de 168, 168 est divisible par 42 et 168 est un multiple de 42.
6) Recherche de diviseurs :
Combien 48 a-t-il de diviseurs ? Justifie ta réponse.
48 = 48 × 1 donc 1 et 48 sont des diviseurs de 48.
48 = 24 × 2 donc 2 et 24 sont des diviseurs de 48.
48 = 16 × 3 donc 16 et 3 sont des diviseurs de 48.
48 = 12 × 4 donc 12 et 4 sont des diviseurs de 48.
48 = 8 × 6 donc 8 et 6 sont des diviseurs de 48.
7) Recherche des multiples : crible d’Eratosthène
Dans ce tableau des 40 1
ers
nombres tu vas barrer les multiples de 2 puis de 3 puis de 4 etc…
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
Les nombres qui ne sont pas barrés ont une particularité : ils ne sont dans aucune table. Ils ne sont divisibles
que par 1 et par eux mêmes : ces nombres s’appellent des nombres premiers.
Par suite 48 a 10 diviseurs (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48)