correction 3e ds 01 2008 _sujet 1

Correction Mathématiques n° 1
Sujet 1
Exercice 1 :
Que signifient les lettres PGCD ?
Plus Grand Commun Diviseur.
Quand dit-on de deux nombres qu’ils sont premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Comment rend-t-on une fraction irréductible ?
Pour rendre irréductible une fraction, il suffit de la simplifier par le PGCD de son numérateur et de son
dénominateur.
Exercice 2 : Calculer les nombres suivants et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
585
11114
2
33
47
3
12157
35812
17
5
52455105
11114111111
927
72873731
333
4728 333283474
33
12357 137
4972
352412 3412
12121212
235333333
1010101010
233110
121063
2
3
C
A
B
C
××−
=−=−=
×
−×
===÷=×==
×××
××
−+ −+ −+
××
==
=−×
−
=×
−× ==
−−−
−
−−
=÷=×
+
=−
=255
233399
−×−
=
××
Exercice 3 :
a) Ecrire la liste des diviseurs de 24.
Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
b) Ecrire la liste des diviseurs de 40.
Diviseurs de 40 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40
c) Quel est le PGCD de 24 et 40 ?
Le PGCD de 24 et 40 est 8.
Exercice 4 : a) Compléter chaque case par oui ou par non
2 5 9
1 035 est divisible par non oui oui
774 est divisible par oui non oui
322 et divisible par oui non non
b) D’après ce tableau les fractions 774
1
0
3
5
et 322
7
7
4
sont-elles irréductibles ? Pourquoi ?
774 et 1 035 sont divisibles par 9 donc
774
1035
n’est pas irréductible.
Cette fraction peut être simplifiée par 9.
322 et 774 sont divisibles par 2 donc
322
774
n’est pas irréductible.
Cette fraction peut être simplifiée par 2.

c) Calculer le PGCD de 322 et 1 035 par la méthode de votre choix.
J’utilise l’algorithme d’Euclide :
1 035 = 322 × 3 + 69
322 = 69 × 4 + 46
69 = 46 × 1 + 23
46 = 23 × 2 + 0
23 est le dernier reste non nul.
Le PGCD de 1 035 et 322 est 23.
d) La fraction 322
1
0
3
5
est-elle irréductible ? Pourquoi ?
La fraction
322
1035
n’est pas irréductible car le PGCD de 322 et 1 035 n’est pas égal à 1.
Cette fraction peut être simplifiée par 23.
Exercice 5 :
a) Les nombres 462 et 566 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
462 et 566 sont deux nombres pairs, ils ont donc 2 (entre autres) comme diviseur commun.
b) Calculer le PGCD de 462 et 566 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
J’utilise l’algorithme d’Euclide :
566 = 462 × 1 + 104
462 = 104 × 4 + 46
104 = 46 × 2 + 12
46 = 12 × 3 + 10
12 = 10 × 1 + 2
10 = 2 × 5 + 0
2 est le dernier reste non nul.
Le PGCD de 462 et 566 est 2.
c) Simplifier la fraction 462
5
6
6
pour la rendre irréductible. Justifier la méthode.
Pour rendre irréductible la fraction
462
566
il suffit de la simplifier par le PGCD de 462 et 566.
4624622231
5665662283
÷
==
÷
Exercice 6 :
1) Calculer le PGCD de 372 et 775 (détailler les calculs).
J’utilise l’algorithme d’Euclide :
775 = 372 × 2 + 31
372 = 31 × 12 + 0
31 est le dernier reste non nul.
Le PGCD de 775 et 372 est 31.
2) Un chef d’Orchestre fait répéter 372 choristes hommes et 775 choristes femmes. Il veut faire des
groupes de répétition de sorte que :
- le nombre de choristes hommes soit le même dans chaque groupe,
- le nombre de choristes femmes soit le même dans chaque groupe,
- chaque choriste appartienne à un groupe.
a) Quel nombre maximal de groupes le chef d’orchestre pourra-t-il former ?
Le nombre de groupes doit être un diviseur de 372 et 775. De plus on cherche le plus grand possible. Ce
nombre est donc le PGCD de 372 et 775.
Le chef d’orchestre pourra former 31 groupes.

b) Combien y aura-t-il de choristes hommes et de choristes femmes dans chaque groupe ?
7753125
3723112
÷=
÷=
Chaque groupe sera constitué de 12 choristes hommes et de 25 choristes femmes.
Exercice 7 :
Aujourd’hui nous sommes vendredi. Dans 2 008 jours, quel sera le jour de la semaine ? Justifie ta
réponse.
Il y a 7 jours dans une semaine.
Si aujourd’hui nous sommes vendredi, dans 7 jours, dans 14 jours (2 × 7), dans 21 jours (3 × 7), nous
serons encore un vendredi.
2 008 = 7 × 286 + 6
Il suffit donc de compter 6 jours à partir de vendredi.
Nous serons donc un jeudi.