correction 3e ds 01 2008 _sujet 1

Correction Mathématiques n° 1
Sujet 1
Exercice 1 :
Que signifient les lettres PGCD ?
Plus Grand Commun Diviseur.
Quand dit-on de deux nombres qu’ils sont premiers entre eux ?
Deux nombres sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.
Comment rend-t-on une fraction irréductible ?
Pour rendre irréductible une fraction, il suffit de la simplifier par le PGCD de son numérateur et de son
dénominateur.
Exercice 2 : Calculer les nombres suivants et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible :
5 8 5 5 2 × 4 × 5 5 10 −5
A= − × = −
= − =
11 11 4 11 11× 4
11 11 11
2
9 2
7
−
3 = 3 3 = 3 = 7 ÷ 28 = 7 × 3 = 7 × 3 = 1
B=
4×7
28
4
3 3 3 28 3 × 4 × 7 4
×7
3
3
3
3−
1 2 × 3× 5 7
1 3 7
1 2 15 7
4 9 7
2
−
+
− × +
− +
− +
3 5 × 2 × 4 12
C = 3 5 8 12 =
= 3 4 12 = 12 12 12 = 12
2 35
−33
−33
−33
1 7
−
−
10 10
10
10
10
5 2
2 −33 1 −10
−2 × 5
−5
÷
= ×
=
=
12 10 6 33
2 × 3 × 33 99
Exercice 3 :
a) Ecrire la liste des diviseurs de 24.
Diviseurs de 24 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
b) Ecrire la liste des diviseurs de 40.
Diviseurs de 40 : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ; 10 ; 20 ; 40
c) Quel est le PGCD de 24 et 40 ?
Le PGCD de 24 et 40 est 8.
C=
Exercice 4 :
a) Compléter chaque case par oui ou par non
2
5
9
1 035 est divisible par
non
oui
oui
774 est divisible par
oui
non
oui
322 et divisible par
oui
non
non
774
322
et
sont-elles irréductibles ? Pourquoi ?
1035
774
774
n’est pas irréductible.
774 et 1 035 sont divisibles par 9 donc
1035
Cette fraction peut être simplifiée par 9.
b) D’après ce tableau les fractions
322
n’est pas irréductible.
774
Cette fraction peut être simplifiée par 2.
322 et 774 sont divisibles par 2 donc
c) Calculer le PGCD de 322 et 1 035 par la méthode de votre choix.
J’utilise l’algorithme d’Euclide :
1 035 = 322 × 3 + 69
322 = 69 × 4 + 46
69 = 46 × 1 + 23
46 = 23 × 2 + 0
23 est le dernier reste non nul.
Le PGCD de 1 035 et 322 est 23.
322
est-elle irréductible ? Pourquoi ?
1035
322
La fraction
n’est pas irréductible car le PGCD de 322 et 1 035 n’est pas égal à 1.
1035
Cette fraction peut être simplifiée par 23.
d) La fraction
Exercice 5 :
a) Les nombres 462 et 566 sont-ils premiers entre eux ? Justifier.
462 et 566 sont deux nombres pairs, ils ont donc 2 (entre autres) comme diviseur commun.
b) Calculer le PGCD de 462 et 566 en utilisant l’algorithme d’Euclide.
J’utilise l’algorithme d’Euclide :
566 = 462 × 1 + 104
462 = 104 × 4 + 46
104 = 46 × 2 + 12
46 = 12 × 3 + 10
12 = 10 × 1 + 2
10 = 2 × 5 + 0
2 est le dernier reste non nul.
Le PGCD de 462 et 566 est 2.
462
pour la rendre irréductible. Justifier la méthode.
c) Simplifier la fraction
566
462
Pour rendre irréductible la fraction
il suffit de la simplifier par le PGCD de 462 et 566.
566
462 462 ÷ 2 231
=
=
566 566 ÷ 2 283
Exercice 6 :
1) Calculer le PGCD de 372 et 775 (détailler les calculs).
J’utilise l’algorithme d’Euclide :
775 = 372 × 2 + 31
372 = 31 × 12 + 0
31 est le dernier reste non nul.
Le PGCD de 775 et 372 est 31.
2) Un chef d’Orchestre fait répéter 372 choristes hommes et 775 choristes femmes. Il veut faire des
groupes de répétition de sorte que :
- le nombre de choristes hommes soit le même dans chaque groupe,
- le nombre de choristes femmes soit le même dans chaque groupe,
- chaque choriste appartienne à un groupe.
a) Quel nombre maximal de groupes le chef d’orchestre pourra-t-il former ?
Le nombre de groupes doit être un diviseur de 372 et 775. De plus on cherche le plus grand possible. Ce
nombre est donc le PGCD de 372 et 775.
Le chef d’orchestre pourra former 31 groupes.
b) Combien y aura-t-il de choristes hommes et de choristes femmes dans chaque groupe ?
775 ÷ 31 = 25
372 ÷ 31 = 12
Chaque groupe sera constitué de 12 choristes hommes et de 25 choristes femmes.
Exercice 7 :
Aujourd’hui nous sommes vendredi. Dans 2 008 jours, quel sera le jour de la semaine ? Justifie ta
réponse.
Il y a 7 jours dans une semaine.
Si aujourd’hui nous sommes vendredi, dans 7 jours, dans 14 jours (2 × 7), dans 21 jours (3 × 7), nous
serons encore un vendredi.
2 008 = 7 × 286 + 6
Il suffit donc de compter 6 jours à partir de vendredi.
Nous serons donc un jeudi.