À propos des paradoxes de Zénon

17
A PROPOS DES PARADOXES DE ZENON
INTRODUCTION
Cet article est écrit en commentaire critique de :
Adolf Grùnbaum: Modem science and Zeno's paradoxes of
motion : p 422-501 in «The Philosophy of Time» .éd. par R.M.
GALE, (New Jersey, Humanities Press, et Sussex, Harvester Press,
1978 (reprint de 1968)).
Les trois formes des paradoxes de Zenon sur le mouvement étudiées dans l'article de
Grùnbaum sont les suivantes :
1 . Le mouvement de A à B est impossible parce qu'il implique que le mobile qui va de A
en B doit occuper une infinité de positions intermédiaires en une infinité d'instants
distincts. Or le temps de parcours est fini
, - 1 - _, - j_ — ,
B1 B2 B3 B4 B
les positions intermédiaires sont celles correspondant au dessin ci-dessus :
B! milieu de AB
B2 milieu de B:B
B3 milieu de B2B
etc...
En bref le mobile ne pourra jamais atteindre B.
Nous appellerons par la suite ce paradoxe :
paradoxe de dichotomie progressive.
2. Le mouvement de A à B est impossible parce que le départ depuis A est impossible :
supposer que le mobile a bougé, c'est supposer qu'il est déjà passé par une infinité de
positions intermédiaires et qu'une infinité d'instants se sont déjà écoulés. Les positions
intermédiaires sont celles correspondant au dessin ci-dessous :
1 1 • '"-1- . "•' I
A A 3 A 2 A-, S-,
B! milieu de AB
AI milieu de AB^
A2 milieu de AA1
A3 milieu de AA2
etc...
1
B

18 A propos des paradoxes de Zenon
En bref, le mobile ne pourra jamais quitter A.
Nous appellerons ce paradoxe :
paradoxe de dichotomie régressive.
3. Un mobile A(chille) ne peut jamais rattraper un mobile T(ortue).
En effet, supposons A en M et T en N.
Lorsque A arrive en M, T est en Nj.
M N,
j ; | H
N N2
Lorsque A arrive en Nls T est en N2
etc...
Nous appellerons ce paradoxe :
paradoxe de dichotomie progressive explicitée par le contexte
(dans le cas présent "le contexte" c'est la tortue).
Signalons un 4^me paradoxe souvent étudié :
4. Un objet ne peut pas être en mouvement puisqu'à chaque instant, il occupe une position
déterminée, et ne peut donc, dans l'instant en question, être distingué d'un objet fixe.
Grunbaum part d'un point de vue réaliste, selon lequel le mouvement existe bel et bien, et
explicite dans ce contexte quels sont les problèmes réellement posés par l'énoncé des
paradoxes.
ïïs sont au fond ceci :
Est-ce que la modélisation mathématique du mouvement adoptée par les physiciens ne
renferme pas des contradictions du point de vue de la logique proprement dite, ou au
moins du point de vue de la physique ?
Rappelons les présupposés sous-jacents à la modélisation mathématique du mouvement :
- L'espace est assimilable à un continuum à 3 dimensions ; en particulier une droite est
assimilable à un continuum à une dimension. Une propriété remarquable du continuum
mathématique à une dimension est d'être ordonné et dense (entre deux points il y a
toujours un troisième point distinct des deux précédents).
- Le temps est assimilable à un continuum à 1 dimension.
— Le mouvement (selon un axe Ox pour simplifier) est modélise par une fonction f qui
associe à tout instant t la position du mobile en cet instant : t i—» x = f(t).
Les positions défendues par Griinbaum sont les suivantes :
- Il n'y a pas d'absurdité logique dans la modélisation mathématique ordinaire du
mouvement ; toutes les tentatives de prouver une telle absurdité sont vouées à l'échec
dès lors qu'on admet que l'intervalle [0, 1] de réels contient bien une infinité de réels,
en acte.
— Il n'y a pas d'incompatibilité substantielle entre cette modélisation mathématique et la
réalité physique expérimentale.

A propos des paradoxes de Zenon 19
— Si les paradoxes de Zenon sont si prégnants, c'est à cause de notre système de
perception du temps, qui nous fait apparaître son écoulement comme une succession
d'instants.
Ma critique de ces positions sera la suivante :
- Griinbaum déblaie le terrain en réfutant les formes naïves, pourtant répandues chez les
philosophes, d'approbation des arguments de Zenon.
— Il a raison de pointer que la pertinence des arguments de Zenon devrait être cherchée du
côté de : la modélisation mathématique du mouvement est-elle adéquate, du point de
vue logique d'une part, du point de vue physique d'autre part ?
— Mais il a tort lorsqu'il écarte par des arguments purement mathématiques les
interrogations ayant trait à la physique. Notamment il ne tient aucunement compte du
fait que les particules de la physique quantique n'ont pas à proprement parler de
mouvement, ceci en vertu du principe d'incertitude de Heisenberg
- Enfin il va "un peu vite" pour écarter les éventuelles contradictions "logiques" liées à la
notion d'infini actuel.
Je reprends maintenant le fil du texte de Griinbaum pour développer ces commentaires critiques ,
selon trois volets successifs : ..,....,
- Légitimité de la dichotomie appliquée à l'espace ?
— Légitimité de la dichotomie appliquée au temps ?
- Peut-il se passer une infinité d'événements clairement distincts en un laps de' temps fini ?
Je terminerai par un commentaire sur le paradoxe n° 4.

20 A propos des paradoxes de Zenon
A) LEGITEVUTE DE LA DICHOTOMIE APPLIQUEE
A L'ESPACE?
Le modèle mathématique
Rappelons qu'une ligne AB est modélisée mathématiquement par l'ensemble '[0,-£] des nombres
réels, 4 étant la longueur de la ligne AB. '
Notons que tous les mathématiciens n'ont pas la même vision de cet ensemble [0,-£].
Avant Cantor, on refusait de considérer que les réels situés entre 0 et £ forment un ensemble
"achevé", un "infini en acte". On préférait considérer qu'il.s'agissait d'une potentialité "jamais
épuisée" : par exemple entre deux nombres a et b de cet intervalle on peut toujours expliciter
un "nouveau" nombre (a+b)/2.
C'est encore aujourd'hui la position des mathématiques constructives. Pour ce courant des
mathématiques, les abstractions mathématiques sont des objets imaginaires créés par l'esprit
humain et potentiellement réalisables sous forme concrète (un nombre entier est potentiellement
réalisable sous forme de son écriture décimale, un nombre rationnel potentiellement réalisable
sous forme de deux entiers (le numérateur et le dénominateur), une fonction de IR dans 1R
potentiellement réalisable sous forme d'un processus de calcul explicite etc...).
En ce qui concerne le courant actuellement dominant des mathématiques, il considère, après
Cantor, l'existence d'ensembles «infinis actuels» (infinis en acte) comme non problématique
quant aux conséquences logiques qu'on en tire, voire comme une sorte de "réalité idéale" : des
ensembles tels que IN (ensemble des entiers naturels), P( IN.) (ensemble des sous-ensembles
du précédent), seraient donc doués d'une sorte d'existence quasi-objective. Cette position
philosophique reçoit habituellement le nom de "réalisme platonicien".
Pour Griinbaum, qui se situe dans ce courant dominant des mathématiques, les paradoxes de
dichotomie (progressive ou régressive) sont nuls et non avenus au niveau du modèle
mathématique tout au moins : s'étonner de ce qu'une infinité de réels puisse être mise en
évidence sur un segment [0, •£] de longueur finie, c'est tout simplement ignorer le b, a, ba de
la théorie de Cantor : non seulement ce n'est pas absurde du point de vue logique, mais il y a
effectivement, préexistants, avant même qu'on les ait montrés, une infinité de nombres réels sur
l'intervalle [0, •$], qui est doué d'une préexistence objective en tant que totalité.
Le rapport avec la réalité physique
Qu'en-est-il du rapport entre modèle mathématique et réalité physique ?
Griinbaum ne discute pratiquement pas cette question, et c'est bien dommage.
En effet, une chose est de constater que "personne ne voit d'objection a priori" à ce qu'un
intervalle d'espace donné soit divisible en deux indéfiniment ; autre chose est de discuter la
réalité physique du processus. Comme le fait très justement remarquer Griinbaum, un "point"
sur une ligne est considéré par un physicien comme la position possible d'un "objet". Or
l'expérimentation physique est par nature limitée quant à sa précision. Et il est très improbable

A propos des paradoxes de Zenon 21
par exemple qu'on arrive jamais à une précision de l'ordre de 10~50 mètres sur une mesure de
longueur. De ce point de vue, l'ensemble.des positions physiquement possibles sur une ligne
est plutôt fini que infini, même si on n'est jamais arrivé à mettre en évidence la moindre
"discontinuité" dans l'espace. A supposer que l'espace soit formé d'un nombre fini, mais très
grand, de "positions possibles" espacées de 10~100 mètres, la validité du modèle mathématique
resterait presque entière tant qu'on n'est pas capable de mettre en évidence expérimentalement
1 Of\s longueurs de l'ordre de 10 mètres : il se trouve en effet que les calculs sont souvent plus
faciles avec des variables continues qu'avec des variables discrètes. Un bon modèle mathé-
matique est celui qui permet d'avoir une intuition claire des calculs à faire (clarté du modèle du
point de vue conceptuel) et qui permet de faire les calculs facilement (efficacité du modèle du
point de vue de ses applications). En ce sens un modèle "continu" peut très bien être un bon
modèle pour une réalité discontinue mais dont les discontinuités ne sont pas perceptibles. Bref,
la "marche triomphale" de Newton à Einstein et à la mécanique quantique ne dit rien quant au
caractère, discret ou non, de l'espace, alors même que ces trois théories utilisent un espace
modélisé par IR 3 (localement du moins, et pour aller vite...).
Notons que les théories physiques actuelles admettent une taille minimale pour une particule (on
pense en effet qu'on finira un jour par épuiser le sujet), un volume fini .pour l'univers en
espace, voire même en espace temps. En aucune façon la notion "d'infini actuel" n'est donc
fondamentalement nécessaire à la physique d'aujourd'hui. Il est probable que verront bientôt le
jour des théories physiques où toutes les variables seront quantifiées, y compris l'espace et le
temps : dans ce cas l'infini, actuel ou potentiel, pourrait être évincé du modèle mathématique
lui-même.
Ici je me permets de poser "une question à mille francs" au lecteur de ces lignes : en imaginant
un espace et un temps discrets, quelle expérience physique est-il nécessaire de monter pour
mettre en évidence ce caractère discret, discontinu de l'espace et du temps ?
La perception physiologique de l'espace
Comme le fait très justement remarquer Griinbaum, notre perception "physiologique" de
l'espace nous prépare à l'acceptation d'un modèle mathématique "continu". Quand nous
regardons une ligne tracée sur un papier, nous la voyons comme un trait continu. Quand nous
divisons un mètre en deux demi-mètres, nous avons le sentiment de retrouver "la même réalité"
à une dilatation de rapport 2 près.
Certes nous savon's que du point de vue physique, 1020 mètres, 1 mètre et 10"20 mètres, sont 3
réalités fondamentalement distinctes, (alors qu'elles sont équivalentes du point de vue du
modèle mathématique de l'espace), mais notre perception physiologique est limitée entre 1/10
de millimètre et quelques mètres.
Nous savons également qu'une ligne tracée sur le papier se laissera résoudre en un
éparpillement de petites tâches d'encre par le microscope, et que le microscope électronique
montrera que chacune de ces petites tâches est formée de touts petits grains, mais tous les
microscopes du monde n'ont pas encore atteint (à moins que nous n'ayons pas su interpréter
correctement certaines images) un seuil de discontinuité pour l'espace. Ici donc, les
microscopes ont pris le relais de notre intuition immédiate pour nous convaincre de la justesse
du modèle continu de l'espace.