Page 1 Première ES IE2 second degré S1 1 Exercice 1 : (3 points) 1

Première ES
IE2 second degré
S1
Exercice 1 : (3 points)
1) Soit le polynôme f(x) = x² + 8x – 10.
a) Recopier et compléter : x² + 8x = (x + 4)² - ……
b) Quelle est la forme canonique de f(x) ?
2) Attribuer à chacune des fonctions polynômes du second degré sa forme
canonique :
3² 1

x +  
g(x) = x² + 10x + 1
A
2

4


h(x) = x² + 3x + 2
B
(x + 5)² - 24
i(x) = 2x² + 16x – 5
C
2(x + 4)² - 37
Exercice 2 : (7 points)
a) Résoudre les équations données.
1) 15x² + x – 6 = 0
2) x² - 16x = 0
3) (x + 3)(x – 2) = 13x – 17
b) Donner la forme factorisée de 15x² + x - 6.
4) 9a + 4 = (a + 2)²
5) x² - 3x + 5 = 0
c) Donner la forme canonique de x² - 3x + 5.
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IE2 second degré
S2
Exercice 1 : (3 points)
1) Soit le polynôme f(x) = x² + 10x + 27.
a) Recopier et compléter : x² + 10x = (x + 5)² - ……
b) Quelle est la forme canonique de f(x) ?
2) Attribuer à chacune des fonctions polynômes du second degré sa forme
canonique :

g(x) = -x² - 10x - 27
A
1 ² 3

x +  +
2

4


h(x) = 4x² + 8x - 3
B
-(x + 5)² - 2
i(x) = x² + x + 1
C
4(x + 1)² - 7
Exercice 2 : (7 points)
a) Résoudre les équations données.
1) x² + 2x – 6 = 0
4) (v + 6)² + 25 = 0
2) (u + 9)(13u – 1) = u + 9
5) 4x² - 12x = 0
3) 8x²- 5x + 1 = 0
b) Donner la forme factorisée de x² + 2x – 6.
c) Donner la forme canonique de 8x² - 5x + 1.
1
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IE2 second degré
CORRECTION
S1
Exercice 1 : (3 points)
1) Soit le polynôme f(x) = x² + 8x – 10.
a) Recopier et compléter : x² + 8x = (x + 4)² - ……
b) Quelle est la forme canonique de f(x).
2) Attribuer à chacune des fonctions polynômes du second degré sa forme
canonique :
1)

g(x) = x² + 10x + 1
A
3² 1

x +  2

4


h(x) = x² + 3x + 2
B
(x + 5)² - 24
i(x) = 2x² + 16x – 5
C
2(x + 4)² - 37
a) Comme (x + 4)² = x² + 2x4 + 4² = x² + 8x + 16 alors x² + 8x = (x + 4)² - 16
b) La forme canonique de f(x) est (x + 4)² - 10 - 16.= (x + 4)² - 26
2)
On peut développer les formes canoniques et les comparer aux formes développées.
3² 1

9 1
3 3²
A x +  - = x² + 2x +   = x² + 3x + - = x² + 3x + 2 = h(x)
2

4
4 4
2 2
B (x + 5)² - 24 = x² + 2x5 + 5 ² = x² + 10x + 25 - 24 = x² + 10x + 1 = g(x)
C 2(x + 4)² - 37 = 2(x² + 2x4 + 4²) - 37 = 2x² + 16x + 32 - 37 = 2x² + 16x – 5 = i(x)
Exercice 2 : (7 points)
a) Résoudre les équations données.
1) 15x² + x – 6 = 0
2) x² - 16x = 0
3) (x + 3)(x – 2) = 13x – 17
4) 9a + 4 = (a + 2)²
5) x² - 3x + 5 = 0
b) Donner la forme factorisée de 15x² + x - 6.
c) Donner la forme canonique de x² - 3x + 5.
a)
1) On calcule le discriminant :  = 1² - 415(-6) = 1 + 360 = 361 = 19²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 =
-1 – 19
20
2
==30
30
3
et x2 =
-1 + 19 18 3
=
=
30
30 5
 2 3
L’ensemble des solutions de cette équation est S = - ; .
 3 5
2) x² - 16x = 0

x(x – 16) = 0

x = 0 ou x – 16 = 0
2
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IE2 second degré
CORRECTION

S1
x = 0 ou x = 16
L’ensemble des solutions de cette équation est S = {0 ;16}.
Remarque :
Pour ce type d’équation, il n’est pas nécessaire de calculer le
discriminant.
3) (x + 3)(x – 2) = 13x – 17

x² -2x + 3x – 6 = 13x - 17

x² + x – 6 – 13x + 17 = 0

x² - 12x + 11 = 0
On calcule le discriminant :  = (-12)² - 4111 = 144 – 44 = 100 = 10²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 =
12 – 10
=1
2
et x2 =
12 + 10
= 11
2
L’ensemble des solutions de cette équation est S = {1 ;11}.
4) 9a + 4 = (a + 2)²

9a + 4 = a² + 4a + 4

a² + 4a – 9a + 4 – 4 = 0

a² -5a = 0

a(a – 5) = 0

a = 0 ou a = 5
L’ensemble des solutions de cette équation est S = {0 ;5}.
5) x² - 3x + 5 = 0
On calcule le discriminant :  = (-3)² - 415 = 9 – 20 = -11.
Comme  < 0, cette équation n’admet pas de solution réelle.
L’ensemble des solutions de cette équation est vide : S = .
2 
3

b) La forme factorisée de 15x² + x – 6 est 15 x +  x – .
3 
5

c) La forme canonique de f(x) = x² - 3x + 5 est donnée par a(x - )² + β.
avec  = -
b
et β = f().
2a
Ici a = 1 et b = -3.
Donc  =
3²
3
3
9 9
9 - 92 + 54 11
et β =   - 3  + 5 = - + 5 =
=
2
2
 
 
2
4 2
4
4
 3² 11
La forme canonique de x² - 3x + 5 est donc x -  + .
 2
4
3
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IE2 second degré
CORRECTION
S2
Exercice 1 : (3 points)
1) Soit le polynôme f(x) = x² + 10x + 27.
a) Recopier et compléter : x² + 10x = (x + 5)² - ……
b) Quelle est la forme canonique de f(x) ?
2) Attribuer à chacune des fonctions polynômes du second degré sa forme
canonique :

g(x) = -x² - 10x - 27
A
1 ² 3

x +  +
2

4


h(x) = 4x² + 8x - 3
B
-(x + 5)² - 2
i(x) = x² + x + 1
C
4(x + 1)² - 7
1) a)
Comme (x + 5)² = x² + 2x5 + 5² = x² + 10x + 25,
Alors x² + 10x = (x + 5)² - 25.
b)
La forme canonique de f(x) est (x + 5)² - 25 + 27 = (x + 5)² + 2.
2) On peut développer les formes canoniques et les comparer aux formes développées.
A
1 ² 3

1 3
1  1 ² 3
x +  + = x² + 2x +   + = x² + x + + = x² + x + 1 = i(x)
2
2


4
4
4 4
2  
B
-(x + 5)² - 2 = -(x² + 2x5 + 5²) – 2 = -x² - 10x – 25 – 2 = -x² - 10x – 27 = g(x)
C
4(x + 1)² - 7 = 4(x² + 2x1 + 1²) – 7 = 4x² + 8x + 4 – 7 = 4x² + 8x – 3 = h(x)
Exercice 2 : (7 points)
a) Résoudre les équations données.
1) x² + 2x – 6 = 0
2) (u + 9)(13u – 1) = u + 9
3) 8x²- 5x + 1 = 0
4) (v + 6)² + 25 = 0
5) 4x² - 12x = 0
b) Donner la forme factorisée de x² + 2x – 6.
c) Donner la forme canonique de 8x² - 5x + 1.
a)
1) On calcule le discriminant :  = 2² - 41(-6) = 4 + 24 = 28 =
28² = (2 7)²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 =
-2 - 2 7
= -1 2
7 et x2 =
-2 + 2 7
= -1 +
2
L’ensemble des solutions de cette équation est S = {1 2) (u + 9)(13u – 1) = u + 9

7;1+
7
7}.
13u² - u + 117u – 9 = u + 9
4
Première ES
IE2 second degré
CORRECTION
S2

13u² + 116u – 9 – u – 9 = 0

13u² + 115u – 18 = 0
On calcule le discriminant :  = 115² - 413(-18) = 14 161 = 119²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 =
-115 – 119
234
-115 + 119 4
2
== - 9 et x2 =
=
= .
26
26
26
26 13

L’ensemble des solutions de cette équation est S = -9 ;

3)
2
13

.

8x²- 5x + 1 = 0
On calcule le discriminant :  = (-5)² - 481 = 25 - 32 = -7
Comme  < 0, cette équation n’admet pas de solution réelle.
L’ensemble des solutions de cette équation est vide : S = .
4)
(v + 6)² + 25 = 0

(v + 6)² = -25
Or un carré est toujours positif ou nul.
Donc cette équation n’a pas de solution réelle.
L’ensemble des solutions de cette équation est vide : S = .
5)
4x² - 12x = 0 
4x(x -3) = 0

4x = 0 ou x – 3 = 0

x = 0 ou x = 3
L’ensemble des solutions de cette équation est S = {0 ;3}.
Remarque :
Pour ce type d’équation, il n’est pas nécessaire de calculer le
discriminant.
b) La forme factorisée de x² + 2x – 6 est (x – 1 +
7)(x – 1 -
7)
c) La forme canonique de f(x) = 8x² - 5x + 1est donnée par a(x - )² + β.
avec  = -
b
et β = f().
2a
Ici a = 8 et b = -5.
Donc  =
5
 5 ²
5
25 50 32 7
25 25
et β = 8  - 5  + 1 = 8
+1=
+
=
16
32 32 32 32
16
16
256 16


La forme canonique de 8x² - 5x + 1 est donc 8x -
5 ² 7
 + .
16
32
5