TS 2012 06 liban

Liban 2012
Exercice 1 (6 points)
Partie A
On considère la fonction g définie sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ par : g ( x ) = 2 x 3 − 1 + 2 ln x .
1. étudier les variations de la fonction g sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ .
2. Justifier qu’il existe un unique réel α tel que g ( α ) = 0 . Donner une valeur approchée de α , arrondie au centième.
3. En déduire le signe de la fonction g sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ .
Partie B
On considère la fonction f définie sur l’intervalle ] 0 ; + ∞ [ par : f ( x ) = 2 x −
ln x
x2
.
On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d’un repère (O ; i , j ) orthogonal.
1. Déterminer les limites de la fonction f en 0 et en +∞ .
2. Démontrer que la courbe C admet pour asymptote oblique la droite D d’équation y = 2 x .
Étudier la position relative de la courbe C et de la droite D.
3. Justifier que f ' ( x ) a même signe que g ( x ) .
4. En déduire le tableau de variation de la fonction f.
5. Tracer la courbe C dans le repère (O ; i , j ) . On prendra comme unités : 2 cm sur l’axe des abscisses, 1 cm sur l’axe
des ordonnées.
Partie C
Soit n un entier naturel non nul. On considère l’aire du domaine E du plan compris entre la courbe C, la droite D et les
droites d’équations respectives x = 1 et x = n .
2
1. Justifier que cette aire, exprimée en cm , est donnée par : In = 2
2. a. Calculer l’intégrale
∫
n
1
ln x
x2
dx .
à l’aide d’une intégration par parties.
b. En déduire l’expression de In en fonction de n.
3. Calculer la limite de l’aire In du domaine E quand n tend vers +∞ .
Exercice 3 (5 points)
On dispose de deux urnes U1 et U2.
L’urne U1 contient 4 jetons numérotés de 1 à 4.
L’urne U2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urne U1, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l’urne U2 le nombre de
boules indiqué par le jeton.
On considère les événements suivants :
J1 : « le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 1 »
J2 : « le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 2 »
J3 : « le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 3 »
J4 : « le jeton tiré de l’urne U1 porte le numéro 4 »
B : « toutes les boules tirées de l’urne U2 sont blanches »
On donnera tous les résultats sous la forme d’une fraction irréductible sauf dans la question 4.b. où une valeur arrondie à
–2
10 suffit.
1. Calculer PJ1 ( B ) , probabilité de l’événement B sachant que l’événement J1 est réalisé.
Calculer de même la probabilité PJ2 ( B ) . On admet dans la suite les résultats suivants : PJ3 ( B ) =
1
1
et PJ4 ( B ) =
.
30
210
2. Montrer que P ( B ) , probabilité de l’événement B, vaut
1
.
7
3. On dit à un joueur que toutes les boules qu’il a tirées sont blanches. Quelle est la probabilité que le jeton tiré porte le
numéro 3 ?
4. On joue 10 fois de suite à ce jeu. Chacune des parties est indépendante des précédentes. On note N la variable
aléatoire prenant comme valeur le nombre de parties où toutes les boules tirées sont blanches.
a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire N ?
b. Calculer la probabilité de l’événement (N = 3).
Ex4 2012 Liban 5 points
On se place dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct (O ; u, v ) .
1. Un triangle
a. On considère les points A, B et C d’affixes respectives a = 2 , b = 3 + i 3 et c = 2i 3 .
Déterminer une mesure de l’angle ABC .
b. En déduire que l’affixe ω du centre Ω du cercle circonscrit au triangle ABC est 1 + i 3 .
2. Une transformation du plan
On note
( zn )
la suite de nombres complexes, de terme initial z0 = 0 , et telle que : zn+1 =
1+ i 3
zn + 2 , pour tout entier
2
naturel n. On note An le point d’affixe zn.
a. Montrer que les points A2, A3 et A4 ont pour affixes respectives : 3 + i 3 , 2 + 2i 3 et 2i 3 .
On remarquera que : A1 = A , A2 = B et A3 = C .
b. Comparer les longueurs des segments [A1A2], [A2A3] et [A3A4].
c. Établir que pour tout entier naturel n, on a : zn+1 − ω =
1+i 3
( zn − ω ) où ω désigne le nombre complexe défini à la
2
question 1. b.
d. En déduire que le point A n+1 est l’image du point An par une transformation dont on précisera les éléments
caractéristiques.
e. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : An+6 = An. Déterminer l’affixe du point A2012.
3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en
compte dans l’évaluation.
Déterminer, pour tout entier naturel n, la longueur du segment [AnAn+1].
Ex1 :
Partie A :
1° Dérivée :
La fonction est dérivable sur ]0;+∞[ comme somme de fonctions dérivables sur ]0;+∞[
Pour tout de ]0;+∞[ :
1
2
= 2×3 ²+2× =6 ²+
>0⟹6
La fonction
2° Equation
Limite en 0 :
> 0
2
> 0 ⟹ 6
+
2
>0⟹
est strictement croissante sur ]0;+∞[
=0
> 0
!"2
%
→$
= 0 !" ' = −∞ ⟹ !" 2
→$
&$
Limite en +∞ :
!" 2 % = +∞
→)*
′
→$
&$
%
−1+2 '
!" ' = +∞ ⟹ !" 2
→)*
+
0
−∞
→)*
%
= −∞ ⟹ !"
−1+2 '
= −∞
→$
&$
= +∞ ⟹ !"
→)*
+∞
= +∞
+∞
+
0
D’après le tableau de variations,
la fonction est continue et strictement croissante sur ]0;+∞[
donc est une bijection de ]0;+∞[ sur ] − ∞;+∞[
de plus 0 ∈] − ∞;+∞[
donc l’équation
= 0 admet une unique solution dans ]0;+∞[, on la note +.
Valeur de + arrondie au centième :
0,86
−0,0295
0
+
+0,004
0,865
+0,038
0,87
D’où + ≈ 0,86 arrondie au centième
3° d’après le tableau de variation complété avec +:
0
+
||
−
0
′
Partie B : 5
=2 −
1° Limite en 0 : 6
]0;+∞[
=2 −
= 2 −
!"2 = 0
+
+∞
× '
→$
=
;
1
1
!" = +∞
⟹ !" 82 − × ' 9 = +∞ ⟹ !"6
1
→$ ²
→$
→$
7 ⟹ !" 8 × ' 9 = −∞<
&$
→$
!" ' = −∞
;
→$
:
&$
Limite en +∞
!" 2 = +∞
→)*
F ⟹ !" 82 −
'
→)*
!"
= 0 >?@!AAB'C C@"DB?é
→)* ²
'
9 = +∞ ⟹ !" 6
2° D d’équation G = 2 asymptote à >H
'
!"
= 0 ⟹ !" 6
− 2 = 0
→)* ²
→)*
Ainsi la droite I d’équation G = 2 est asymptote à >H au voisinage de +∞
Position de >H et D
On étudie le signe de 6
−2 =−
→)*
= +∞
= +∞
−1
−
||
−
0
'
0
+
²
||
−
0
6
−2
Ainsi :
>H est au-dessus de I sur ]0; 1[
>H est en-dessous de I sur ]1;+∞[
>H coupe I au point d’abscisse 1
0
3° Dérivée
Pour tout de ]0;+∞[
1
× −2 × '
6
= 2−
=2−
J
Signe de la dérivée :
0
||
′
%
0
||
6′
−
+
−
6 + ≈ 1,92
−2 '
+
0
0
4° Tableau de variations de la fonction 6
0
+
||
−
0
6′
+∞
6
+∞
−
+
+
+
1
6 +
J
= 2−
+
+
+
+
1− '
%
=
+∞
+∞
+∞
2
%
−1+2 '
%
=
%
y
9
8
7
6
5
4
3
2
S
1
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
-1
Partie C : Pour ' ∈ *
1° >H est en-dessous de I sur ]1;+∞[,
donc l’aire limitée par les droites d’équation = 1;
'
K = L M2 − 6 N = L
O. Q.
²
De plus 1R. B. = 2C"²
D’où
'
K = 2L
C"²
²
2° On pose R
On a R
= ' S
= on choisit S
Les fonctions …
L
'
D’où
=−
1
−1
=T ' ×− U −L
= 2 X−
Limite en +∞:
YZ
− + 1[ C"²
= ' la droite D et la courbe >H est donnée par
=
1
1
1
1
= T ' × − U − T U = − ln ' − + 1
'
'
ln '
1
ln '
1
= 0 >C@"DB?é !" = 0 ⟹ !" \2 ]−
− + 1^_ = 2
→)* '
→)* '
→)*
'
'
!"
Ainsi !" K = 2C"².
→)*
Ex3 :
Arbre pondéré :
B
J1
B
0.25
B
J2
B
0.25
Ω
0.25
B
J3
0.25
B
B
J4
B
L’urne U2 contient 4 boules blanches et 6 boules noires.
Un jeu consiste à tirer un jeton de l’urne U1, à noter son numéro, puis à tirer simultanément de l’urne U2 le nombre de
boules indiqué par le jeton.
1. 1er cas : ` est réalisé
Dab c =
J
$
= 0,4
on tire 1 boule ds l’urne d
: 4 blanches favorables sur 10 boules possibles
2ème cas : ` est réalisé
On tire simultanément 2 boules dans l’urne d
Da
4
X [
6
2
c = 2 =⋯=
=
10
45 15
X [
2
2. Probabilité de B
c est la réunion de ` ∩ c;` ∩ c;`% ∩ c;`J ∩ c qui sont 2 à 2 incompatibles
Donc
D c = D ` ∩ c + D ` ∩ c + D `% ∩ c + D `J ∩ c
=D `
=
=
× Dab c + D `
× Da c + ⋯
1 4 1 2 1 1 1
1
×
+ ×
+ ×
+ ×
4 10 4 15 4 30 4 210
1
4
2
1
1
×8 +
+
+
9
4
10 15 30 210
=⋯=
1
7
3. Probabilité que le jeton tiré porte le n° 3 sachant que toutes les boules sont blanches.
1 1
D c ∩ `%
7
4 30 8 1 9 7
Dg `% =
1
D c
120
120
7
j
4. On répète 10 fois une même épreuve qui n’a que deux issues c et ch de probabilités i et i
Donc la variable aléatoire k donnant le nombre de parties où toutes les boules tirées sont blanches suit une loi
binomiale de paramètres 10 i
4b. D k
10
X [
3
3
%
X [
i
j i
i
%
j i
i
X [
120
X [
X [ 4 0,12
!√3N[
(3
!√3
M(3
i
Ex4 :
1. Un triangle
1.a. Calcul de l’angle en B :
C(l
B(l
X2!√3 ( M3
2 ( M3
!√3N
(1 ( !√3
!√3NM(1
M(1 ( !√3NM(1
!√3N
!√3N
⋯
(!√3
q
C(l
q
q
ssssst; c>
ssssst N ( ⟹ rc>
u 90°
( ⟹ arg 8
9 ( ⟹ Mcr
2
B(l
2
2
1.b Le triangle ABC a un angle droit en B, donc il est rectangle, donc il est inscrit dans un cercle dont le
centre de le milieu de son hypoténuse r> , on note Ω ce milieu.
1
1
x
M2 2!√3N 1 !√3
B C
2
2
argM(!√3N
2. Une transformation du plan
On considère la suite y
y$ 0
y
)z√%
)
2 ' ∈
y
2.a calcul de termes :
1 + !√3
1 + !√3
y =
y$ + 2 =
×0+2=2
2
2
1 + !√3
1 + !√3
y =
y +2=
× 2 + 2 = ⋯ = 3 + !√3
2
2
1 + !√3
1 + !√3
y% =
y +2=
× M3 + !√3N + 2 = ⋯ = 2 + 2!√3
2
2
1 + !√3
1 + !√3
yJ =
y +2=
× M2 + 2!√3N + 2 = ⋯ = 2!√3
2
2
On obtient bien r ; r% ; rJ d’affixes 3 + !√3; 2 + 2!√3; 2!√3
Et on observe que : r = r; r = c;rJ = >
2.b. Comparaison de longueurs
r r = {y| − y|b { = {3 + !√3 − 2{ = {1 + !√3{ = }1 + √3 = ⋯ = 2
r r% = {y|~ − y| { = {2 + 2!√3 − 3 − !√3{ = {−1 + !√3{ = } −1
r% rJ = {y|• − y|~ { = {2!√3 − 2 − 2!√3{ = |−2| = • −2
On observe que r r = r r% = r% rJ = 2
+ √3 = ⋯ = 2
+ 0² = ⋯ = 2
2.c. Pour tout entier '
⋆y
1 + !√3
1 + !√3
−x =]
y + 2^ − M1 + !√3N =
y + 1 − !√3
2
2
)
1 + !√3
1 + !√3
1 + !√3
y −x =
y −
× M1 + !√3N
2
2
2
1 + !√3
1
=
y − M1 + 2!√3 − 3N
2
2
1 + !√3
=
y + 1 − !√3
2
⋆ Ainsi, pour tout entier '
y
2.d.
)
− x = 1 + !√3
y −x
2
?
r „…………………………† r
pour tout entier ' y
or
)z√%
= +
@ùy
Ainsi r
)
z√%
)
)
− x = )z√%
= cos X% [ + !A!' X % [ =
Š
Š
y −x
‹Œ
~
zŠ
1 + !√3
y − x ⟺ y ) − x = % y − x
2
Š
est l’image de r par la rotation de centre Ω et d’angle + %
)
− x = 2.e : Pour tout entier naturel • :
Š
•X‘ ; [
%
r „…………………† r
Donc Ωr = Ωr
Š
•X‘ ; [
%
„…………………† r
)
)j
)
Š
•X‘ ; [
%
„…………………† r
)%
Š
•X‘ ; [
%
„…………………† r
Š
sssssssst ; Ωr
ssssssssssssst
et M Ωr
)j N = 6 × = 2q = 0
%
Ainsi, pour tout ' : r = r
)j
Affixe de “”•–” :
2012 = 335 × 6 + 2
pour tout ' : r = r )j
⟹ r$ = rj = r = ⋯ = r
$ $
)J
Š
•X‘ ; [
%
„…………………† r
[ 2q]
.
Et r = r— = r J = ⋯ = r $
D’où r $ a le même affixe que r
Ainsi l’affixe de r $ est 3 + !√3
3. Longueur “• “•)–
Š
•X‘ ; [
%
r
r
„…………………† r
˜
Š
•X‘ ; [
%
)
„…………………† r
La rotation conserve les longueurs donc r r
)
=r
˜
r =⋯=r r =2
)’
Š
•X‘ ; [
%
„…………………† r
)j