Un multiple qui ne contient que des 1

Quiconque s’est déjà donné la peine d’apprendre par
coeur le premier milliard de décimales de � a certainement
poussé un long soupir de soulagement en parcourant
les décimales 5275045519, car ce sont les dernières de
cette liste. Le problème, après avoir passé plus de trente
et un ans et huit mois de temps éveillé (à raison d’une
décimale par seconde) à s’être astreint à cette tâche, est de
déterminer à quoi cela pourrait servir. Heureusement, il y
a moyen de recycler cette information à priori inutile.
Désignons donc pas ARCHIMÈDE le nombre entier
formé de 3 et du premier milliard de décimales de �, sans
la virgule. Archimède est donc égal à la partie entière de
109 �.
On a donc
ARCHIMÈDE = 31415926535897932...(etc.)...
5275045519
Maintenant, la question qui nous occupera : y a-t-il un
multiple de ARCHIMÈDE qui ne contienne que des
«1» ?
Abordons la chose intuitivement : le nombre
ARCHIMÈDE contient un milliard et un chiffres, répartis
de façon apparemment aléatoire de 0 à 9. En considérant
les multiples successifs, on s’attend à trouver encore
une fois une longue suite de chiffres qui se comportent
en apparence comme une suite aléatoire, où chacun des
chiffres de 0 à 9 apparaît environ cent millions de fois.
Qui plus est, les multiples successifs d’ARCHIMÈDE
comptent encore plus de chiffres. Il semble donc a priori
que le fait de tomber sur une interminable série de «1»
relèverait d’un hasard absolument stupéant.
Voyons maintenant ce qu’il en est en abordant le problème
un peu plus rigoureusement. Dans quels cas existe-t-il un
multiple d’un entier N qui ne contienne que des «1» ?
On constate rapidement que N doit forcément se terminer
par 1, 3, 7 ou 9, sinon il est facile de vérier qu’aucun de
ses multiples ne pourrait se terminer par un «1», donc, a
Un multiple qui ne contient que des 1
Matthieu Dufour
dufour[email protected]
GRMS ENVOL no 145 — octobre-novembre-décembre 2008 19
fortiori, encore moins ne compter que des «1». Le nombre
ARCHIMÈDE satisfait à cette condition puisqu’il se
termine par 9. Mais il est tellement gigantesque que pour
l’instant, nous allons le remplacer par un nombre plus
petit (beaucoup plus petit!), qui se termine par 1,3 7 ou 9.
Considérons par exemple N = 13. Existe-t-il un multiple
de 13 qui ne compte que des «1»?
Dressons un tableau des restes de la division de
1,11,111,1111, etc. par 13 :
Nb de
chiffres
Nombre formé
de 1 Division par 13 Reste
1 1 0 x 13 + 1 1
2 11 0 x 13 + 11 11
3 111 8 x 13 + 7 7
4 1111 85 x 13 + 6 6
5 11111 854 x 13 + 9 9
6 111111 8 547 x 13 + 0 0
7 1111111 85 470 x 13 + 1 1
8 11111111 854 700 x 13 + 11 11
9 111111111 8 547 008 x 13 + 7 7
10 1111111111 85 470 085 x 13 + 6 6
11 11111111111 854 700 854 x 13 + 9 9
12 111111111111 8 547 008 547 x 13 + 0 0
13 1111111111111 85 470 085 470 x 13 + 1 1
14 11111111111111 854 700 854 700 x 13 + 11 11

Le tableau montre qu’on peut répondre par l’afrmative
à la question car 111111 est un multiple de 13. Mais plus
intéressant encore est la colonne des restes : en divisant
un nombre par N, il y a N restes possibles, à savoir 0, 1,
2, ..., N − 1.
Si on prolonge le tableau jusqu’à considérer au moins
N + 1 chiffres, alors dans la colonne des restes, il y aura
forcément une valeur qui se répétera au moins une fois,
car on vient de voir qu’il n’y a qu’au plus N reste possible
pour N + 1 entrées.
Or, si deux entiers ont même reste après division par N, leur
différence est forcément un multiple de N. Par exemple,
dans le tableau, 111111111 et 111 ont tous deux un reste
de 7 après division par 13. 13 est donc un facteur de la
différence 111111111 – 111 = 111111000. La structure
d’un nombre qui est la différence de deux nombres
composés uniquement de «1» sera nécessairement une
suite de «1» suivi d’une suite de «0», i.e. un nombre de la
forme 111...1 × 10k.
Ici, nous allons utiliser un théorème élémentaire de
théorie des nombres qui afrme que si le produit de deux
entiers AB est un multiple d’un entier N, et que N et B sont
relativement premiers entre eux, alors A est un multiple
de N.
Les seuls facteurs premiers du facteur 10k sont 2 et 5.
Puisque ni 2, ni 5 ne peut être un facteur de N (parce que N
se termine par 1,3,7 ou 9), N et 10k sont donc relativement
premiers. En utilisant le théorème sus-mentionné, on a
que N divise le premier membre, à savoir 111...1.
Dans l’exemple ci-haut, le premier membre est composé
de six «1», soit 111111, qui est bien un multiple de 13,
comme nous l’avons vu.
Et donc, il existe un multiple de N qui ne contient que
des «1»! Maintenant, le raisonnement ci-haut est tout
aussi valide pour n’importe quel nombre se terminant
par 1,3,7 ou 9, et donc il vaut aussi pour le nombre
ARCHIMÈDE!
Avec N = ARCHIMÈDE, si on dresse sur des kilomètres
le tableau des restes des nombres composés uniquement
de «1» après division par N, à partir de N + 1 lignes, il y
en aura au moins deux correspondant au même reste. En
faisant la différence, on obtiendra un nombre de la forme
111...1 × 10k qui est divisible par ARCHIMÈDE.
Puisque ARCHIMÈDE et 10k sont premiers entre eux,
ARCHIMÈDE divise alors la première partie du produit,
soit le nombre de la forme 111...1, et il existe donc un
multiple de ARCHIMÈDE qui ne contient que des «1».
Surprenant, non?
ENVOL no 145 — octobre-novembre-décembre 2008
20 GRMS
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