Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres M OHAMED A MARA Ensembles fermés de nombres algébriques Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres, tome 19, no 1 (1965-1966), exp. no 6, p. 1-16 <http://www.numdam.org/item?id=SD_1965-1966__19_1_A5_0> © Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres (Secrétariat mathématique, Paris), 1965-1966, tous droits réservés. L’accès aux archives de la collection « Séminaire Dubreil. Algèbre et théorie des nombres » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/legal.php). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ 6-01 Séminaire DUBREIL-PISOT (Algèbre et Théorie des nombres) 19e année, 19%5/%6, n° 6 20 FERMÉS ENSEMBLES décembre 1965 DE NOMBRES ALGÉBRIQUES par Mohamed AMARA Nous proposons d’étudier les ensembles noua supérieurs à l’unité, entier rationnel un q [7]. Nous algébriques réels, rappellerons tout ensembles. ces algébriques ayant ensemble de nombres des nombres q introduits par Charles PISOT d’abord la définition de Définition. - Soit S nul. Nous non propriétés les désignerons Sq par un suivantes : et 1 03B8 est le seul zéro situé dans appartient à S si e > 1 , d’un polynôme Q(z) à coefficients entiers tel que Q(0) = q . 2° Il existe un polynôme A(z) à coefficients entiers tel que 1° e 1 Remarques. 1 ° 0n ne change p as 8 Nous pouvons supposer que 2° La définition de tible montre que S1 est S identique Les ensembles et q >~ 1 n’implique S à Sq généralisée par C. PISOT THÉORÈME 1. - L’ ensemble ~7?~ peut être point La démonstration de famille, admettant 1 03B8 tienne à S . nous Comme Q~z~~ A~z~ ou A~z~. en - q . Q(z) pas que de former de limite de ce un soit nécessairement irréduc~ ensemble fermé. Sq , nous avons théorème est basée 8 v de les familles sur S q pouvons extraire pôle, une suite vers un +4q~ Z > 1 développements compactes nombre fini d’où de fractions 03B8 , tz) nous as- définir . De convergeant et vérifiant toutes les En considérant les l’inégalité 03B8 S . q tendant A fractions rationnelles socions ’ - o 8 rationnelles. A toute suite cette en est fermé. S Tout d’ abord, pour tout ne Q(z) A ~ 0 ~ >, multiplier Q et A par un même entier, ce qui si q’ divise q. En particulier, nous avons S s où l’ ensemble des nombres de Pisot-Vijayaraghavan. ont la propriété remarquable, établie par SALEM pour q = 1. , q 1 et q Nous pouvons primitif. ou changeant en vers une propriétés de fraction pour que 8 Taylor à l’origine des appar- fonc- Nous savons que les coefficients certain rang à leur limite u n,v ce u , qui fixé, n pour , égaux sont à d’un partir permet d’écrire : nous ou encore flv) tendant cients linfini vers soit entiers, en particulier caractériser l’ ensemble déri-vé S’ , bles dérivés successifs S(n)q . SALEM il de même pour en sera THÉORÈME de q -- ’ ficients .".- les ,S , - - entiers, u.n Pour limite. la P et B h les v (1 ) et tenant en réciproque, Pour cela, nous nous quelques (1 ) nous ne permet de des ensem- sont pas vides, q % 1 . _e£ suffisante )z) nombre fini de compte à coeffi- polynôme propriétés montré que les St est qu’il existe q q , et tel que, sur La condition nécessaire s’établit un 1 . La relation en un appliquant une = fini 6 à coef- points. le théorème de Rouché du fait que construisons qu ’un élément polynôme A(z) 1, pour ...-’ l’égalité n’ayant lieu qu’en membre de (z) désignant et d’ établir nécessaire A(0) % avec v a condition . -- K )Kv (0) ) # appartienne à l’ensemble S - 2 . - Vne v , et avec suite tend vers de e v S l’infini admettant premier au avec e v . comme q formons la famille : désignant re spectivement le s polynômes réciproques de Q et A ~ s degrés respectifs de Q et A . admet d’après sa formation exactement un pôle 1 et dans jzjl 1v et vérifie ( z ) ~ S , et 8 E=+1 surz ‘ 1 limite de cette sera (1) LEMME 1... Soit nous ainsi construit une suite de 9,~ suite, soit à droite soit à gauche svivant permet aussi suite une que nous avons : 1, et par une d’ établir : de 8 te extraite de la famille des Du. lemme avons E=-1 . ou La relation tielle = 1 . Nous Sq # Q~ z tendant tendra démonstration par le nombre fini vers vers Z, z récurrence, 03B8 . Une sui- et pour cette suite par- tirons le théorème nous suivant: THEOREME 3. - Si un polynôme A(z) on ait 1 un nombre 9 A(0) q à coefficients entiers tel que |Q(z)| , S(n)q , l’ensemble dérivé appartient à la valeur moyenne de A(z) Q(z) et que, étant au il existe )z)1 sur =1, à plus égale - N (q03B8)4. COROLLAIRE. - Le et par plus petit élément de l’ensemble conséquent augmente indéfiniment avec ~~ f ~ S . q les résultats obtenus pour S.. 20142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014201420142014 Soit en premier lieu 20142014 ~ S q A. Recherche des éléments d’accumulation de rappelons à n . Il n’existe donc pas de dérivé d’ordre transfini de :Nous supérieur est la fraction rationnelle définissant un élément de L’étude de l’équation A(z) - Q(z) ~ z u(z) , u(0) 1 , a permis à m. DUFRESNOY et PISOT [2] de déterminer le plus petit élément de S. ~ à savoir c~ 1.6180339~* ~ zé1 + z - z2 . De plus, par une ro du polynôme méthode faisant appel qu’au "problème des coefficients", ils ont montré dans [3] que l’ensemble des éléments de S’ inférieurs à 1,8 contient, outre 03B11 , le nombre 03B12 1,7548776... , zéro du polynôme 1 - z + 2z - z . Par une méthode analogue, Mme GRANDET [6] a = = autre ne = montré que 2 est le plus petit éléments de S" Bile éléments de S’ inférieurs à 2 ~ mais toutefois elle a les nombres Pn ~ zéros des polynômes : pas obtenu tous les signalé parmi ceux-ci L’utilisation simultanée des deux méthodes indiquées, et les éléments de re, va nous permettre de déterminer tous e~ , zéro En de plus polynôme q-1 du signalée de la suite des inférieurs à S’ 1 (q-l)z- (q-3)z"- + = est le seul 2 Le nombre e~ " S’q inférieurs point au nombre des éléments zéros des polynômes : contient la suite des 2, premiè- qz . GRANDET, l’ensemble par Fine la principalement d’accumulation des nombres cv lesquels n n vérifient: (q SI Les éléments de q &#x26; 2) inférieurs à font e" partie de la, suite des 03B11,q ,q , zéro s des polynômes : et les nombres inférieurs à a [4] MM. DUFRESNOY et PISOT dans éléments de S et q . fonction Soit méromorphe f(z) = Soit = l’origine. Nous Nous savons E (0) -p,-i.t == 1 , u.. une cas tel que, si jusqu’à n ~ 3 , soit plus petits ont montré que la recherche des des coefficients" d’une "problème jf(z)) ~ A(z) est de rang infini si = 1 un sur jz)1 élément ez~ = 1 . de e e = ± 1, S . de contraire. + u. z + le désignerons + à fraction rationnelle associée à ... diaprés [4] qu’il coïncide [5] )zj ~ ".~f(z) rang infini dans le et S’ est intimement liée au q 1 et vérifiait dans Nous dirons que à correspondent n,q nous u + le ... développement de Taylor de par : existe posons l’ordre z~ n - un D (z) 1 E (z) ~ de degré n ~ z En(1/z) , le développement polynôme = - avec celui de avec soit : de w n étant déterminé d’une manière unique. De même, lyn8me E* (z) de degré n, avec E*(0) = 1 , tel étant déterminé d’une manière unique. Nous w* A/ égalités l’une des pas égalité, ~z) t 1 et ont chacun pouvons trouver nous que si nous D (z) avec un un po- posons alors : avons B entraînant celle de Dn(z) si n E*(z) ; ou zéro et un seul Tn et s’il Tn n’y a dans tels que A ( z ) Q ( z ) fortes, est de rang Signalons la relation de récurrence vérifiée par les si infini, les coefficients u n vérifient des inégalités plus à savoir : Puisque nous nous intéressona aux éléments de (z) : D S à q. 03B8* , de (4) nous tirons : Des propriétés suivant : des polynômes Dn et de la relation ~~ ~ ~ nous déduisons le lemme Des propriétés polynômes des et de la relation D n (5), nous déduisons le lemme suivant : LEMME 2 e - Les fractions rationnelles associées à développements admettent l’un des 8~ Nous obtenons deux suites admettant pour +z - qz2 . q d’une manière coefficients entiers plus, u..(0) si =1 C’est ici q2 q unique Si q=1 , 03B8(q) = 03B11 u2 = avec 3 , u. (0) =1 il existe ~ zéro du po03B8* 03B8(q) . un un polynôme u.(z) à et tel que u..(z) polynôme à coefficients entiers avec et tel que qu’intervient le choix de Or il est facile de voir que c’est 8~~ . un 6~’ entier, est déterminé de manière que et comme (3) sera vraie pour il s’ensuit que d’où la frac- point d’accumulation e~" et, pour q 2 , Remarque 2. - Le développement (7) montre qu’il existe De inférieurs S à savoir : tion rationnelle lynôme éléments de suivants : développements (6) déterminent 1. - Les Remarque aux (10). Remarque 3. - Pour les développements (7), d’après (6), nous avons : n ~,3, Si est de rang Si pour tout 1 1 - 2z , existe e n où cas nous z devons avoir : coïncide 2 , le développement de suite, pour les éléments de - w = 2 . Par = indice un Dans le u n , d’où infinie tel que u - est de rang S’ celui de avec inférieurs à il 2, =1 ~ w fini, il existe un indice tel que n u n -wnn = 0 , d.aoù , remarquons que notre étude A n (z) Q n (z) et l’égalité ayant zéros n sont des lieu dans z ~ va se ramener l’équation à coefficients entiers tels que polynômes nombre fini de en un à celle de points. plus Qn (z) De admet exactement 1 . s P Posons (z) _ ~ n n LEMME 3 . - Le n polynôme (1~z) , u n (z) E n choisi de manière que ses zm 0 , où n sur z ! zéros admet tous P (0) > ~ . ." 1 = et, de plus, distincts. LEMME 4. - négatif ou nul, Soit @ suite, Par s et choisis h L’équation Qn(z) ± admet une au moins im Pn(z) = + s -. n Zni désigne m racines distinctes fraction rationnelle associée à entier un sur un élément 6 de S’q , Q et £ et ~’ positif, = 1 . 8 est de rang infini. Posons: désignant respectivement de manière que P(0) et les degrés soient de positifs. A ~ étant g . 1 Etude des fractions rationnelles développement z (1 , 2 , ...) . aussi développement (8) . que B Q étudié ultérieurement. polynômes (7) Le le admet Nous supposerons le @ À , B , Q véri- Les sera admet cas fient: Nous di stinguons (a) h troi s > s . - cas : qui s’en déduisent, à celles mier lieu ni = n2 des lemmes 3 et 4 L’ application par le A ! et ensuite changement B . Compte de aux équations (13 ) nous z tenu de cette donne égalité, (14) et en nous et preobte- nons : soit (b) A == s~ . - Comme dans le h B . De là nous déduisons cas s - précédent, h = 2 et montrons tout d’abord que nous 1 . Le résultat final s’écrira: ou encore : d’où la suite des (c) tant le h = s . - j3 n (n~2) . Il n’existe développement (8) et aucune possédant ~j-= (l , ~ , u~ , 2. Les polynômes A(z) et Q(z) fraction rationnelle de rang un ... , pôle supérieur à w. u~, ...) . vérifient alors la relation (9) : infinie admet- de -=- supposé quelconque. Nous avons seulement l’hypothèse que B(0) ~ q . Si q = 1 ~ ~ admettrait l’un des développements (7) ou (9) (a) h > s . - L’application des lemmes (3) et (4) à l’équation (9) et à nous affirme que : celle qui s’en déduite par le changement de z Le développement est ’ Mais alors les nous polynômes A et (10), vérifient de plus Q et de l’étude de (10) déduisons le résultat : (b) h De la même manière que dans le s . - met les u2 2 . Nous développements (7) ou (8). En de tout d’abord plus q (9), = et 1 d’où la suite des (c) polynômes h = A nous a n ces Q deux relations (n >, 3) montrons s . - et deux q ue B ad- nous donne : a que A == B , et le résultat s’écrit : Nous étudions tout d’abord le vérifient les relations la seule fraction rationnelle associée est celle avons obtenons nous avons : L’étude simultanée de Tout d’ abord = précédent, nous possibilités suivant cas précisément qui définit aux le nombre (9) et éléments 03B8* : q z u~ où cas (10). e de = 3, cas où les Nous pouvons montrer que inférieurs à 8’#’ , Pour poursuivre la recherche des fractions rationnelles de nous établirons en Le lieu les lemmes suivants 1 premier degré LEMME 6. - Il existe vérifie de U un polynôme tel que V nl La démonstration du lemme 6 est basée De la remarque 1 du lemme Etude du - Q P et d’après nous partie à savoir ’*’ sur des 6 n s - 2 et permet (n ~ 2) Etude du n~ 1 la transformation :1 B(0) = q = 1 . - Dans ce P Q ~ (1 , cas, les polynômes 2 , 4 , ... ) et, 2, et la famille des fractions rationnelles associées: et c~ n, q ,q cas (0) == V ou B ~0) ~ q .. 1 du de montrer que les seuls éléments de de la suite des ~~ ,q U;s~2, à coefficients entiers d’où U~ _ s - 2 cas Si le résultat s’ensuit. 2, la remarque 3 du lemme -Etude du font (z) U~s-2e vérifient la relation D’où la suite lemme 6 U1 = cas développements définis par les à s ’ q inférieurs fractions : a ,q g’~ . s - 3 . - Dans l’étude de ce cas, nous nous inspirerons de la démonstration utilisée par M. DUFRESNOY et PISOT pour montrer que a1 est le plus petit élément restent valables pour THEOREME de Nous utiliserons certains de leurs résultats S’ . q ~ 1 , et établirons le théorème suivant : existe deux Supposons qu’il 40 - nous qui polynômes à coefficients entiers avec tel s que : Alors, nous avons : Nous savons, d’ après le lemme 6, qu existe un polynôme Vp , n~ tel que : Nous sommes alors dans les conditions Cas où q des 03B1 (n > 2) n - B(z) = 1 . - Alors V ni d’application du théorème est à A. Nous déduisons la suite identique 4, d’où : et la suite des fractions associées : résultat valable pour n >, ~ , en ajoutant celui obtenu dans la remarque 1 du lem- me2. - Cas où En tenant (O) = 1 , q ~ 2 . - Pour compte de Il existe donc un (14), s nous polynôme J 4 , nous utilisons la transformation trouvons que : Vn(z) tel que et d’après le théorème (14) Les relations et tout nombre Vn=1. 4, (15) et donnent alors : S , défini e de 8 correspondants par Q(z) , supérieur sera à 03B8* , à élimi- cas ner. et les nombres L’ensemble de THÉORÈME Le nombre sont à résultats peuvent être résumés dans les théorèmes suivants: nos inférieurs à 5. - Le s éléments de 2 supérieurs est le plus petit élément de 2 sont le s nombre s a n S"1 . (n 3) , nous avons mis en évidence l’exisD’ après le théorème 2, nous pouvons former six Remarque . - Pour tout élément 03B1 n tence de trois polyn8me s suites admettant former que THÉORÈME ces ments de point d’accumulationo ayant 03B2n pour limite. pour an quatre suites 03B8* éléments, Si il n’existe nous avons alors que c’ est qu’un polynôme aussi déjà déterminé 201420142014~20142014~ 1 - les suites de pouvons respectivent 03B11,q , alors que pour les élé- le A~0) >, pour q lus est naturelle pour q etits éléments de plus petit élément == A~z) . S, q >, 2 . restriction pour une A(z) , de par la fraction rationnelle 1 (et sont S’ montré l’existence d’au moins deux polynômes B. Recherche des avons nous ne . Cette différence vient du fait que la condition Nous Pour tout 6. - Les quatre plus petits éléments de 03B12,q , 03B13,q , Pour o 1 ). D’après S’ , q le théorème S . q à 2~ savoir 03B11,q nous défini pouvons former z - z S q tendant vers c~ ,q à droite et à gauche. Nous trouvons deux suites 6 n et n formons nous en , plus respectivement zéros les suites n n ~ 9’ n~~ 4 (tous particulier 6" , zéro De plus, sins de du les 8’ n pour c.. ,q , en correspondants intéressons aux 1° appliquons q à u2 élément un = A(z) Q(z) développements (17) aux ~~,q contient, et en nombre un mais suffisamment voi- 8 ~ 8’ n des les à, telles que propriétés q pour = 1 ). inégalités: admet le étant entièrement 1 fractions rationnelles développements déterminés, nous nous s suivantes des D polynômes n associés: Lorsque u > u > est de rang fini wn . les nombres évidence vérifient les Les nombres n 1~~ S , qui sont supérieurs à appartiennent à la famille des 6 n (et rationnelle, définissant D~ q les nombres de La fraction et inférieurs à S de : polynôme : Les différents nombres mis Nous q = n respectivement zéros Nous montrerons que la famille des éléments de outre P : et P polynômes 6’n , et et des s ), o > u ", .. nous traînant : et que s>/ n (dans D le cas où la valeur de ^ 2° Nous formons ensuite le D connus (z) . Nous en déduisons n wn , l’ égalité entraînant 8 Tn . déterminons Nous devons avoir Nous devons avoir sont (1 ) >, n+1 polynôme Dn+( z ) par Ia 0 , condition équivalente relation de récurrence à un n w*n , l’égalité n. (4) . en- Si les deux inégalités strictes, u nous avons s ~ Nous associons Soit que N N un dans le 1 n + aux 3 . D’autre part, distinguer Avant d’entamer notre LEMME 7 nombre = propriétés Les En k~ nous Les nous de limitant rationnel diaprés propriétés si A Q D2p aux et pouvons éliminer 4 79 et en nous 6 un satisfaites, s * Nous remarquons N s , est nous avons pair ou impair. entier rationnel. Il en est de même pour le le résultat: ~- . entraînent : D2p+l nombres le lemme de est de rang fini est sont et N n pour étude, signalons = 0~ celui deux cas, suivant que q ? (u~ - v~) q~(u~ - k~ v = > est de rang fini cas u D~(l) et w développements (17)~ entier tel que Nous devons > 8 , nous nous avons D2p+2 obtenons deux 2 . possibilités : entraînent l’entier rationnel restreignant aux nombres 8~8. étant entier et comme nous nous Ces inégalités seront L’ ensemble de THÉORÈME - et 8t limitons ces aux nombres impossibles si §~ 6~ ~ 6 nous nous 2 * nous avons limitons aux nombres o 914 ’ résultats est résumé dans le théorème suivant : 7. - Les nombres sont les nombres 8 6 n , 14 n’ appartiennent as qui les nombres 8 n (n > 14) , aux familles des 8’ n et le nombre b" . BIBLIOGRAPHIE [1] AMARA (Mohamed). - Sur un ensemble remarquable de nombres Acad. Sc. Paris, t. 260, 1965, p. 1052-1054. [2] DUFRESNOY (J.) et PISOT Ann. scient. Ec. Norm. [3] ensemble fermé d’entiers algébriques, 3e série, t. 70, 1953, p. 105-133. Sur un 129-136. DUFRESNOY nées (J.) sur briques, [5] Sup., C. R. 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