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PGCD, plus grand commun diviseur
Chapitre 03 du livre
I. Diviseur
1.) La division euclidienne
La division euclidienne est une division dont le quotient est un nombre entier.
Dans une division euclidienne, le dividende est égal à la somme du produit du diviseur par le quotient et
du reste.
Soit trois nombres entiers positifs non nuls, a, b, q et un nombre entier r
avec
a est le dividende ; b est le diviseur, q est le quotient et r est le reste.
Exemple :
2.) Diviseur et multiple
Soit trois nombres entiers positifs non nuls, a, d et q
d est un diviseur de a si
q est aussi alors un diviseur de a
Remarque :
On dit aussi que a est un multiple de d ou q.
Exemples :
28 est un diviseur de 1316 parce que
47 est aussi un diviseur de 1316
1316 est un multiple de 28 et 47
6 n’est pas un diviseur de 51 parce que
(qui n'est pas un entier)
1
3.) Critères de divisibilité

Un nombre est divisible par 2 s’il est pair.
24 ; 358 ; 12544 ; 35282 …..

Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est 3, 6 ou9.
21 ; 345 ; 17244 ; 325723 ;… par exemple pour 345 :

Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres sont des multiples
de 4.
52; 3544 ; 125832 ; 358272 ;….

Un nombre est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou5.
25 ; 135 ; 250 ; 352695 ; 12548790 ; …

Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est 9.
72 ; 288 ; 125748 ; 17244 ; …..par exemple pour 288 :
4.) Nombres premiers
Un nombre entier positif qui possède seulement deux diviseurs 1 et lui-même, est un nombre premier
2, 3, 5, 7, 11, 13,… sont des nombres premiers
remarque:
1 n'est pas un nombre premier
5.) Diviseurs communs
Deux nombres a et b peuvent avoir plusieurs diviseurs communs
Exemple :
Les diviseurs de 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ;54
Les diviseurs de 48 sont : 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;8 ;12 ;16 ;24 ;48
1 ;2 ;3 ;6 sont les diviseurs communs de 54 et 48
6.) Nombre premiers entre eux:
Deux nombres a et b sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1
Exemple :
26 a pour diviseurs 1, 2, 13 et 26
21 a pour diviseur 1, 3, 7 et 21
1 est leur seul diviseur commun donc ils sont premiers entre eux
2
II. Plus grand diviseur commun (PGCD)
1.) Définition
Le plus grand diviseur commun à deux nombres est le plus grand diviseur qui divise à la fois les deux
nombres.
Exemples :
Les diviseurs de84 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; 12 ; 14 ; 21 ; 28 ; 42 ; 84
Les diviseurs de 60 sont : 1 ; 2 ; 3 ;4 ; 5 ; 6 ;10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60
Le plus grand diviseur commun de 84 et de 60 est 12 on note :
Remarque :
Si le PGCD de deux nombres est égal à 1 alors ces deux nombres sont premiers entre eux.
2.) Méthode par l'algorithme des soustractions successives
On utilise la propriété suivante :
Si a et b sont deux entiers positifs tels que
, alors :
Exemple :
Rechercher le PGCD de 84 et 60
3.) Méthode par l’Algorithme d’Euclide (divisions successives)
On utilise la propriété suivante :
Si a et b sont deux entiers positifs tels que
, et r le reste de la division euclidienne de a par b, alors :
Exemple :
Rechercher le PGCD de 84 et 60
Dividende
Diviseur
Reste
84
60
24
60
24
12
24
12
0
3
4.) Comparaison des 2 méthodes
Exemple
Rechercher le PGCD de 10 165 et 3 745
Méthode des soustractions
Méthode de l'algorithme d'Euclide
Dividende
Diviseur
Reste
10165
3745
2675
3745
2675
1070
2675
1070
535
1070
535
0
On constate que la méthode des divisions successives nécessite moins de lignes de calculs
III. Simplification de fractions
1.) Fraction irréductible
Une fraction est dite simplifiée ou irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers
entre eux.
Exemple :
21 et 26 n’ont pas de diviseurs communs sauf 1, c’est une fraction irréductible.
2.) Rendre une fraction irréductible
Il suffit de diviser son numérateur et son dénominateur par le PGCD de ces deux nombres.
Exemple :
Simplifier la fraction
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