algèbre commutative géométrie algébrique - IMJ-PRG

Cours accéléré de 3ecycle — Automne 1999
ALGÈBRE COMMUTATIVE
ET INTRODUCTION À LA
GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Antoine CHAMBERT-LOIR
Université Pierre et Marie Curie – Paris VI

Antoine Chambert-Loir
Institut de mathématiques de Jussieu, Boite 247, 4, place Jussieu,
F-75252 Paris Cedex 05.
E-mail : [email protected]
Ce livre est disponible à l’adresse Internet http://www.math.jussieu.fr/~chambert/
publications.html#acl98d
Copyright c 1998–99, Antoine Chambert-Loir

ALGÈBRE COMMUTATIVE
ET INTRODUCTION
À LA GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE
Antoine Chambert-Loir
Résumé.—Ce cours de 3ecycle a deux visages, l’algèbre et la géométrie : d’une part
des parties définies par des équations polynômiales, d’autre part des algèbres de type fini
sur un corps. On montrera sur quelques exemples (théorème des zéros de Hilbert, dimen-
sion, régularité) comment ce sont deux faces d’une même tête et comment les aspects
géométriques et algébriques s’éclairent mutuellement.
Abstract.—This graduate course has two faces : algebra and geometry. Indeed, we
study simultaneously loci of points defined by polynomial equations and algebras of finite
type over a field. We shall show on examples (Hilbert’s Nullstellensatz, dimension theory,
regularity) how these are two faces of a single head and how both geometric and algebraic
aspects enlight the one the other.

TABLE DES MATIÈRES
Au lecteur ................................................................ vii
1. Préliminaires d’algèbre commutative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Anneaux, idéaux .................................................. 1
1.2. Localisation ...................................................... 3
1.3. Chaînes, anneaux noethériens ...................................... 4
1.4. Anneaux artiniens ................................................ 7
1.5. Éléments entiers .................................................. 9
1.6. Produit tensoriel .................................................. 12
1.7. Limites inductives ................................................ 12
2. Préliminaires de topologie .............................................. 15
2.1. Faisceaux ........................................................ 15
2.2. Espaces annelés .................................................. 17
2.3. Espaces annelés modelés .......................................... 17
3. Variétés algébriques .................................................... 21
3.1. Ensembles algébriques ............................................ 21
3.2. Topologie de Zariski .............................................. 25
3.3. Variétés algébriques affines ........................................ 29
3.4. Variétés algébriques .............................................. 32
3.5. Localisation ...................................................... 35
4. Exemples .............................................................. 39
4.1. Espaces projectifs ................................................ 39
4.1.1. Droite projective .................................................. 39
4.1.2. Espace projectif .................................................... 39
4.2. Produits .......................................................... 43
4.3. Grassmanniennes .................................................. 47
4.3.1. Construction ...................................................... 48