Bases de Gröbner - Thèses et Mémoires

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Faculté des Sciences
Département de Mathématiques
MEMOIRE POUR L’OBTENTION DU DIPLOME DE MAGISTER
EN MATHEMATIQUES
OPTION : Asymptotique des équations différentielles et calcul formel.
Intitulé
Présenté par : Kehaili Abdelkader
Soutenu le 30 janvier 2013
devant le Jury composé de :
Mr K . Belghaba Université d’Oran Président
Mme F. Boudaoud Université d’Oran Rapporteur
Mr A . Bouhassoun Université d’Oran Examinateur
Mr A . Hakem Université de Sidi Bel-Abbes Examinateur
Mme K . Nachi Université d’Oran Examinateur
Année Universitaire : 2012/2013
Bases de Gröbner

Remerciement
Je remercie Dieu avant tout car à lui seul revient tous les louanges.
Je tiens à remercier chaleureusement mon encadreur,
Madame F.BOUDAOUD, je lui en suis très reconnaissant, Merci.
Je profite de cette occasion pour remercier tous mes enseignants, sans oublier mes
enseignants de l’université de Mostaganem.
Je tiens à remercier Monsieur K.BELGHABA de me faire l’honneur de présider le
jury de cette thèse.
Je remercie vivement Monsieur A.BOUHASSOUN, et Monsieur A.HAKEM, et
Mme K.NACHI d’avoir accepté de faire partie de ce jury.
Je tiens à saluer tous les membres de ma promotion.
A tous mes amis.

Table des matières
1 Rappel d’algèbre 9
1.1 Anneauetcorps.................................... 9
1.2 Idéaux......................................... 11
1.3 Algèbredespolynômes................................ 16
1.4 Lesensemblesordonnés ............................... 19
1.5 Anneaux Noethériens et théorème de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Ordresmonomiaux .................................. 23
1.7 Idéaux monomiaux et lemme de Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Base de Gröbner 31
2.1 Division dans l’anneau des polynômes à plusieurs variables . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Base de Gröbner sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3 Propriétés des bases de Gröbner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 L’algorithme de Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4.1 Algorithme.................................. 44

6 TABLE DES MATIÈRES
2.5 Bases de Gröbner sur un anneau de valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3 Bases de Gröbner dynamiques 55
3.1 Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Bases de Gröbner dynamiques sur un anneau de Dedekind . . . . . . . . . . . . . 61
4 Applications de bases de Gröbner 69
4.1 Appartenanceàunidéal................................ 69
4.1.1 Appartenance à un idéal sur un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.1.2 Appartenance à un idéal sur un anneau principal . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1.3 Appartenance à un idéal sur un un anneau de Dedekind . . . . . . . . . . . 78
4.2 Résolution d’un système d’équations polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

TABLE DES MATIÈRES 7
Introduction
Dans ce mémoire, on s’intéresse de l’appartenance d’un polynôme à un idéal de K[x1,...,xn].
Tant que l’algorithme de la division euclidienne dans K[x1,...,xn]ne permet pas de tester si un
polynôme fappartient à l’idéal engendré par les polynômes fi, parce que le reste dépend de l’ordre
choisi pour les polynômes fialors pour remédier ceci, on a besoin du concept de bases de Gröbner.
Rappelons qu’une base de Gröbner d’un idéal Ide l’anneau de polynômes est un ensemble de
générateurs de cet idéal vérifiant certaines propriétés supplémentaires. Cette notion a été introduite
dans les années 1960 par Bruno Buchberger qui lui a donné le nom de son directeur de thèse Wolf-
gang Gröbner.
Les bases de Gröbner ont le gros avantage de ramener l’étude des idéaux polynomiaux à l’étude
des idéaux monomiaux (c’est-à-dire formés de monômes), ces derniers idéaux étant plus faciles à
appréhender.
Soit Kun corps (commutatif). Revenons un instant sur le cas des polynômes à une seule variable :
l’anneau K[X] est principal, et un idéal Ide K[X] se représente naturellement par son générateur
principal. Mieux, l’algorithme d’Euclide permet de déterminer celui-ci à partir d’une famille finie
de générateurs, et ainsi de tester l’appartenance d’un polynôme à I.
La notion de base de Gröbner permet de répondre aux problèmes suivants.
1. Un idéal de K[x1,...,xn]possède-t-il toujours un nombre fini de générateurs, autrement dit
peut-on écrire
I=hf1,..., fsi