II- Détermination d`une primitive

PhG-Primitives
y
y0
x0 x
y0
x0 x
y
Courbe continue :
x est proche de x
0, y est proche de y 0.Courbe discontinue :
x est proche de x
0, y est loin de y 0.
Jusqu'à présent nous avons recherché la fonction dérivée d'une fonction. La recherche inverse présente
un grand intérêt. Connaissant une fonction f, peut-on trouver une fonction F admettant f pour
fonction dérivée ? Si une telle fonction F existe, alors elle est appelée primitive de f.
Les primitives interviennent dans le calcul intégral et sont si intéressantes qu'elles deviennent des
fonctions usuelles. Par exemple x 2
2, ln x et e x sont respectivement les primitives de x, 1 x et e x.
I- Définition et théorèmes
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, on appelle primitive F de f, toute fonction dérivable
sur I dont la dérivée est égale à f. Pour tout x de l'intervalle I, on a : F '(x) = f(x).
Exemple :
1. La fonction F : x
Error!
3x est une primitive sur
Error!
de la fonction f : x
Error!
3.
2. La fonction G : x
Error!
x 2 est une primitive sur
Error!
de la fonction g : x
Error!
2x.
3. La fonction H : x
Error!
Error!
est une primitive sur ] – ; 0 [ de la fonction h : x
Error!
–
1
x 2.
4. La fonction K : x
Error!
ln x est une primitive sur ] 0 ; + [ de la fonction k : x
Error!
Error!
.
Théorème 1
Toute fonction CONTINUE sur un intervalle I admet une infinité de primitives ; ces primitives
diffèrent d'une constante.
Si F(x) est une primitive quelconque de f, les autres primitives sont de la forme F(x) + C
où C est une constante arbitraire réelle.
Exemples :
1. Toutes les primitives de la fonction f(x) = 2x sont les fonctions F(x) = x 2 + C.
2. La fonction F : x
Error!
3x + 4 est une primitive sur
Error!
de la fonction f : x
Error!
3.
Commentaires :
1. Les primitives sont définies à une constante près, puisque la dérivée d'une fonction constante est nulle.
2. La notion de courbe CONTINUE est intuitive :
il s'agit d'une courbe «d'un seul tenant».
Pour une fonction CONTINUE f, cette intuition
revient à dire que pour rendre f(x) assez proche
de f(x0), il suffit de choisir x assez proche de x0.

ba 0 x0
y0
F
Théorème 2
Si une fonction f admet des primitives sur un intervalle I, alors il existe une unique primitive F
de f qui prend une valeur y0 pour une valeur donnée x0 de l'intervalle I.
En effet si f admet les primitives F(x) + C sur l'intervalle I alors on a : F(x0) + C = y0.
La constante a donc pour valeur : C = y0 – F(x0)
La fonction F(x) + y0 – F(x0) est l'unique primitive de f sur I qui vaut y0 pour l'antécédent x0.
Interprétation graphique :
Dans le repère (O; , ) F est la courbe représentative de la primitive F de la
fonction f sur l'intervalle I = [a ; b].
Toutes les courbes représentatives des autres primitives F(x) + C de la fonction f
se déduisent de F par une translation de vecteur C.
Une seule courbe image de F passe par le point de coordonnées (x0 ; y0).
II- Détermination d'une primitive
Une lecture inverse du tableau des dérivées permet de trouver les primitives usuelles.
Dérivée f '
Fonction f
Primitive F
La primitive est définie à une constante
C près.
Le calcul des primitives et la dérivation
ont des règles communes.
 La primitive d'une somme est la
somme des primitives.
 La primitive du produit d'une
fonction par un réel est le produit de
la primitive de la fonction par le réel.
Soit F et G les primitives de f et g et
soit  un réel :
F + G est une primitive de f + g.
F est une primitive de f.
0
0
C
0
a
ax
1
x
1
2 x 2
2x
x 2
1
3 x 3
3
x
2
2
x
1
(x
0)
–
x
1
–
2
x
1
x
1
(x
0)
ln x
e x
e x
e x
a e ax + b
e ax + b (a  0)
1
a e ax + b
– sin x
cos x
sin x
cos x
sin x
– cos x
Exemples :
1. La fonction F : x
Error!
x 3 –
Error!
x 2 + 2x est une primitive sur
Error!
de f : x
Error!
3x 2 – 5x + 2.
2. La fonction G : x
Error!
3 ln x est une primitive sur ]0 ; + [ de la fonction g : x
Error!
Error!
.