II- Détermination d`une primitive

Jusqu'à présent nous avons recherché la fonction dérivée d'une fonction. La recherche inverse présente
un grand intérêt. Connaissant une fonction f, peut-on trouver une fonction F admettant f pour
fonction dérivée ? Si une telle fonction F existe, alors elle est appelée primitive de f.
Les primitives interviennent dans le calcul intégral et sont si intéressantes qu'elles deviennent des
fonctions usuelles. Par exemple
x2
1
, ln x et e x sont respectivement les primitives de x, et e x.
2
x
I- Définition et théorèmes
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, on appelle primitive F de f, toute fonction dérivable
sur I dont la dérivée est égale à f. Pour tout x de l'intervalle I, on a : F '(x) = f(x).
Exemple :
1. La fonction F : x Error! 3x est une primitive sur Error! de la fonction f : x Error! 3.
2. La fonction G : x Error! x 2 est une primitive sur Error! de la fonction g : x Error! 2x.
3. La fonction H : x Error! Error! est une primitive sur ] –  ; 0 [ de la fonction h : x Error! –
1
.
x2
4. La fonction K : x Error! ln x est une primitive sur ] 0 ; +  [ de la fonction k : x Error! Error!.
Théorème 1
Toute fonction CONTINUE sur un intervalle I admet une infinité de primitives ; ces primitives
diffèrent d'une constante.
Si F(x) est une primitive quelconque de f, les autres primitives sont de la forme F(x) + C
où C est une constante arbitraire réelle.
Exemples :
1. Toutes les primitives de la fonction f(x) = 2x sont les fonctions F(x) = x 2 + C.
2. La fonction F : x Error! 3x + 4 est une primitive sur Error! de la fonction f : x Error! 3.
Commentaires :
1. Les primitives sont définies à une constante près, puisque la dérivée d'une fonction constante est nulle.
y
y0
2. La notion de courbe CONTINUE est intuitive :
y0
il s'agit d'une courbe «d'un seul tenant».
Pour une fonction CONTINUE f, cette intuition
y
revient à dire que pour rendre f(x) assez proche
de f(x0), il suffit de choisir x assez proche de x0.
x0 x
Courbe continue :
x est proche de 0x, y est proche de y0.
PhG-Primitives
x0 x
Courbe discontinue :
x est proche de 0x, y est loin de y0.
Théorème 2
Si une fonction f admet des primitives sur un intervalle I, alors il existe une unique primitive F
de f qui prend une valeur y0 pour une valeur donnée x0 de l'intervalle I.
En effet si f admet les primitives F(x) + C sur l'intervalle I alors on a : F(x0) + C = y0.
La constante a donc pour valeur : C = y0 – F(x0)
La fonction F(x) + y0 – F(x0) est l'unique primitive de f sur I qui vaut y0 pour l'antécédent x0.
Interprétation graphique :
Dans le repère (O; , ) F est la courbe représentative de la primitive F de la
y0
fonction f sur l'intervalle I = [a ; b].
Toutes les courbes représentatives des autres primitives F(x) + C de la fonction f
F

se déduisent de F par une translation de vecteur C.
a
Une seule courbe image de F passe par le point de coordonnées (x0 ; y0).
x0
0

b
II- Détermination d'une primitive
Une lecture inverse du tableau des dérivées permet de trouver les primitives usuelles.
Dérivée f '
Fonction f
Primitive F
0
0
C
0
a
ax
1
x
1 2
x
2
2x
x2
1 3
x
3
La primitive est définie à une constante
C près.
Le calcul des primitives et la dérivation

–
2
1
3
2
x
1
x
2
ex
a e ax + b
x
1
x
(x  0)
(x  0)
ex
e ax + b
–
1
x
ln x
ex
(a  0)
1 ax + b
e
a
– sin x
cos x
sin x
cos x
sin x
– cos x
ont des règles communes.
 La primitive d'une somme est la
somme des primitives.
 La primitive du produit d'une
fonction par un réel est le produit de
la primitive de la fonction par le réel.
Soit F et G les primitives de f et g et
soit  un réel :
F + G est une primitive de f + g.
F est une primitive de f.
Exemples :
1. La fonction F : x Error! x 3 – Error! x 2 + 2x est une primitive sur Error! de f : x Error! 3x 2 – 5x + 2.
2. La fonction G : x Error! 3 ln x est une primitive sur ]0 ; +  [ de la fonction g : x Error! Error!.