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Algorithme exact pour le probl ` eme de
l’ind´ ependant faiblement connexe de
cardinalit´ e minimum †
Fatiha BENDALI, Jean MAILFERT, Djelloul MAMERI ‡
LIMOS UMR CNRS 6158, Campus Scientifique des C´ ezeaux, 63171 Aubi` ere, France
La gestion des communications radios entre des capteurs sans fil d´ epend de la topologie mise en place sur le r´ eseau.
G´ en´ eralement, on utilise des architectures bas´ ees sur des objets combinatoires issus de la th´ eorie des graphes comme
les arbres, les ensembles dominants connexes ou faiblement connexes. Dans cet expos´ e, nous ´ etudions la structure alter-
native d’ind´ ependant faiblement connexe (weakly connected independent set ou wcis) et pr´ ecisons ses propri´ et´ es. Nous
d´ ecrivons une heuristique qui permet de trouver un wcis rapidement dans un graphe des communications G= (V,E)
connexe, ainsi qu’un algorithme d’´ enum´ eration pour la recherche d’un wcis de cardinalit´ e minimum. Nous donnons
enfin des r´ esultats d’exp´ erimentations num´ eriques.
Keywords: r´ eseau de capteurs, ind´ ependant faiblement connexe, heuristique, algorithme d’´ enum´ eration.
1 Introduction
L’´ etude des r´ eseaux de capteurs sans fil remonte au d´ ebut des ann´ ees 90 [FSR09]. Un r´ eseau de capteurs
est une infrastructure constitu´ ee par des ´ el´ ements, les capteurs, dot´ es de moyens de communication. Bien
que leurs capacit´ es de calcul et de stockage soient limit´ ees, ceux-ci sont capables d’effectuer des mesures de
ph´ enom` enes physiques (temp´ erature, humidit´ e,...) de mani` ere autonome. A la diff´ erence des r´ eseaux filaires
ou cellulaires, un ensemble de capteurs sans fil ne dispose d’aucune infrastructure connexe pr´ ed´ efinie.
La question se pose alors de les organiser en r´ eseau pour former un syst` eme collaboratif et intelligent.
G´ en´ eralement, on leur associe un graphe non orient´ e connexe G= (V,E). Chaque capteur ainsi que la station
centrale, est repr´ esent´ e par un sommet de V. Une arˆ ete e= (u,v)∈Erend compte de la communication
possible entre deux sommets uet v. Cette liaison d´ epend de la puissance d’emission des deux capteurs et de
leur distance euclidienne. La connexit´ e dans le graphe de communications Gest indispensable pour assurer
l’acheminement de toutes les mesures rassembl´ ees par les capteurs vers la station de base.
Lorsque le r´ eseau de capteurs est de grande taille, la consommation ´ energ´ etique de ses ´ el´ ements de-
vient un probl` eme crucial pour la survie du syst` eme. Une topologie qui permet d’´ eviter les envois ou les
receptions multiples de messages entraˆ ıne une ´ economie d’´ energie globale qui concourt ` a la long´ evit´ e du
r´ eseau. Les architectures classiques tendent ` a regrouper les capteurs en assurant les interconnexions entre
les groupes form´ es [JMAX04].
Cette clusterisation de certains ensembles de capteurs a ´ et´ e mod´ elis´ ee ` a l’aide des notions de dominant
connexes ou faiblement connexes appliqu´ ees au graphe des communications [JMAX04]. Un dominant D
d’un graphe Gest un ensemble de sommets de Vtel que tout sommet de V\Dest adjacent ` a un sommet de
D. Un dominant Dde Vest connexe si le sous-graphe GD= (V,E(D)) induit par Dest connexe. Notons
[D,V\D]l’ensemble des arˆ etes de Eayant une extr´ emit´ e dans Det l’autre dans V\D. Un dominant Dest dit
faiblement connexe si le sous-graphe GD= (V,E(D)∪[D,V\D]) est connexe. La principale caract´ eristique
de ces objets combinatoires est de s´ electionner des sommets de Ven pr´ eservant la connexit´ e et donc la
circulation des informations dans le graphe. L’int´ erˆ et est naturellement de s´ electionner le plus petit nombre
†Travail partiellement financ´
e par le projet TODO ANR 09-EMER-010.
‡bendali,mailfert,[email protected]

Fatiha BENDALI, Jean MAILFERT, Djelloul MAMERI
de tels sommets. Cependant d´ eterminer un dominant connexe ou faiblement connexe minimum dans un
graphe est NP-Difficile [GJ79, DGH+97].
Dans cet expos´ e, nous pr´ ecisons la structure d’ind´ ependant faiblement connexe (weakly connected inde-
pendent set ou wcis) d´ eja utilis´ ee dans [AWF03, SBM+09]. Nous d´ ecrivons un algorithme d’´ enum´ eration
exact des wcis de cardinalit´ e minimum. Nous exposons aussi nos premiers r´ esultats num´ eriques obtenus par
une heuristique et un algorithme exact.
2 Notations et d´ efinitions
Nous donnons maintenant quelques notations et d´ efinitions utilis´ ees par la suite.
2.1 Notations
´
Etant donn´ e un graphe non orient´ e connexe G= (V,E), pour uet v∈V,dG(u,v)est la longueur minimum,
en nombre d’arˆ etes, d’une chaˆ ıne entre uet v. Notons N(v)le voisinage d’un nœud v;N(v) = {w∈V:
dG(v,w) = 1}et N2(v) = {w∈V:dG(v,w) = 2}.d(v)est la cardinalit´ e de N(v)et ∆(G), (resp. δ(G)) est
le degr´ e maximum (resp. minimum) du graphe G.
2.2 D´ efinitions
Soit Sun sous-ensemble de V.
–Sest un ind´ ependant ou stable de Gsi aucune arˆ ete de Ene relie deux sommets de S.
– Un ind´ ependant S de Gest maximal si aucun ind´ ependant de Gne le contient strictement.
– Un ind´ ependant Sde Gest faiblement connexe si le graphe GS= (V,[S,V\S]) est connexe.
FIGURE 1: Le graphe G= (V,E)et un wcis de cardinalit´ e 4.
Si Sest un stable de G, le voisinage de Sest N(S) = {w∈V\S;∃v∈S:dG(v,w) = 1}. On appelle mwcis(G)
l’ind´ ependant faiblement connexe de cardinalit´ e minimum dans G.
3 Propri ´ et´ es et complexit ´ e
3.1 Propri ´ et´ es
Soit Sun ind´ ependant faiblement connexe de G= (V,E). On a
i) Sest un ind´ ependant maximal,
ii) GS= (V,[S,V\S]) est biparti connexe,
iii) Pour tout sous-ensemble propre Ade S, il existe un sommet ude Aet un sommet vde S\A, tel que
dG(u,v) = 2,
iv) |V(G)|−1
∆(G)≤ |S| ≤ (∆(G)−1)|mwcis(G)|+1.
les points i) et ii) sont des cons´ equences directes de la d´ efinition. Le point iii) est pr´ esent dans [AWF03].
Le point iv) s’obtient en examinant la partition de Vinduite par un wcis de G.
3.2 Complexit´ e de la recherche du wcis de cardinalit´ e minimum
Le probl` eme de d´ ecision associ´ e au probl` eme du wcis de cardinalit´ e minimum (MWCISP)se d´ efinit par :
Probl` eme (WCISD) :
Instance : G= (V,E)un graphe non orient´ e connexe et kun entier ;
Question : Gcontient-il un wcis de taille au plus k?

Algorithme exact pour le probl` eme de l’ind´ ependant faiblement connexe de cardinalit´ e minimum
En r´ eduisant polynomialement le probl` eme de d´ ecision associ´ e` a l’ensemble ind´ ependant dominant au
WCISD, on obtient le r´ esultat :
Th´ eor` eme 1 : WCISD est NP-Complet.
4 Heuristique et Algorithme d’ ´ enum´ eration
Dans cette section, nous d´ ecrivons les principales id´ ees de l’heuristique et de l’algorithme d’´ enum´ eration
implicite pour la recherche des wcis de cardinalit´ e minimum dans G.
4.1 Principe de l’heuristique
L’heuristique utilis´ ee est gloutonne. Soit Ml’ensemble des sommets de l’ind´ ependant courant et N(M)
l’ensemble des voisins des sommets dans M. Nous proc´ edons ` a la s´ election d’un nouveau sommet ` a ins´ erer
dans Mde deux fac¸ons :
– De mani` ere d´ eterministe en s´ electionnant un nouveau candidat u0∈N2(v)\(M∪N(M)) pour un
sommet vde M, selon le crit` ere du plus grand nombre de voisins dans V\(M∪N(M)).
– De mani` ere al´ eatoire par un tirage dans un N2(v)\(M∪N(M)), avec v∈M.
4.2 Algorithme d’ ´ enum´ eration implicite
L’algorithme d’´ enum´ eration nous permet de d´ eterminer tous les ind´ ependants faiblement connexes de G
de cardinalit´ e minimum. Il utilise une structure d’arbre binaire. On choisit initialement un sommet u0de
degr´ eδ(G), dont l’ensemble des voisins est N(u0) = {u1,u2, . . . , uδ(G)}. L’ordre d’exploration du graphe se
fait sur un premier branchement o` u un sous arbre est associ´ e aux wcis contenant u0et l’autre sous arbre aux
wcis ne contenant pas u0. Dans ce dernier cas, un nouveau branchement est envisag´ e avec le mˆ eme principe
repris sur les |δ(G)|voisins de u0, de sorte qu’une lin´ earisation de l’arbre binaire soit de la forme :
u0,¯u0u1,¯u0¯u1u2,..., ¯u0¯u1¯u2... ¯uδ(G)−1uδ(G)
o` u ¯uindique que le sommet un’est pas dans le sous arbre consid´ er´ e.
Le branchement s’arrˆ ete dans les cas suivants :
1. Un wcis de cardinalit´ e minimum est obtenu.
2. La cardinalit´ e de l’ensemble ind´ ependant courant d´ epasse celle du plus petit wcis obtenu jusque l` a.
3. La propri´ et´ e de dominance n’est plus assur´ ee.
4. La propri´ et´ e de connexit´ e n’est plus assur´ ee.
Ces diff´ erentes configurations nous permettent d’´ etablir le r´ esultat suivant :
Th´ eor` eme 2 : L’algorithme d’´ enum´ eration implicite r´ esout le probl` eme d’ind´ ependant faiblement connexe
de cardinalit´ e minimum avec une complexit´ e temps en O(20.6959|V|).
Le tableau ci-apr` es r´ esume les r´ esultats num´ eriques obtenus sur la TSPLIB avec une densit´ eD=10% et
en mesurant les performances suivantes :
–Opt est la solution optimale obtenue par l’algorithme exact, Opt =|mwcis(G)|.
–CPU(s)est le temps d’ex´ ecution en secondes de l’algorithme exact ou de l’heuristique.
–µ(G)est le nombre de solutions optimales obtenues par l’algorithme exact.
–ϕest le nombre de nœuds (en millions) de l’arbre d’exploration binaire.
–ϕ1est le nombre de nœuds (en millions) parcourus avant d’obtenir la premi` ere solution optimale.
–Hest la solution trouv´ ee par l’heuristique gloutonne d´ eterministe et H120sest la solution obtenue par
l’heuristique gloutonne al´ eatoire apr` es deux minutes d’ex´ ecution.

Fatiha BENDALI, Jean MAILFERT, Djelloul MAMERI
Instances |V|Opt µ(G)CPU ϕ ϕ1H CPU H120sH120s−Opt
Opt
kroA100 100 11 76596 789 261 43 13 0.01 12 9%
kroB100 100 11 1954 650 197 74 16 0.01 12 9%
kroC100 100 10 60 973 303 265 13 0.01 12 20%
kroD100 100 11 21074 885 268 5 15 0.00 12 9%
kroE100 100 11 14070 1086 375 342 14 0.00 12 9%
TABLE 1: R´ esultats num´ eriques de l’algorithme exact et l’heuristique sur des instances de la TSPLIB
A titre d’exemple, la figure 2 repr´ esente le graphe de communications issu du graphe ”kroC100” §en
fixant une puissance uniforme pour tous les capteurs r´ ealisant une densit´ e d’arˆ ete de 10%. La figure 3
repr´ esente l’une, parmi les 60 solutions (topologies) optimales, obtenue par l’algorithme exact.
FIGURE 2: Graphe kroC100 avec une densit´ e de 0.1. FIGURE 3: wcis minimum `
a 10 sommets
5 Conclusion et perspectives
Dans cet article, nous avons propos´ e une heuristique et un algorithme d’´ enum´ eration exact pour la re-
cherche d’un ind´ ependant faiblement connexe de cardinalit´ e minimum. La structure d’ind´ ependant fai-
blement connexe assure ` a la fois l’ind´ ependance, la dominance et la connexit´ e dans le graphe r´ esultant.
Actuellement, nous compl´ etons l’exp´ erimentation de notre algorithme exact. Nous esp´ erons am´ eliorer son
comportement sur les graphes de grande taille grˆ ace ` a une analyse plus fine des configurations. Par ailleurs,
nous ´ etudions la recherche du wcis minimum dans des classes particuli` eres de graphes.
R´ ef´ erences
[AWF03] K. M. Alzoubi, P-J. Wan, and O. Frieder. Weakly connected dominating sets and spanners in
wireless ad hoc networks. Proceedings of the 23rd International Conference on Distributed
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[DGH+97] J. E. Dunbar, J. W. Grossman, J. H. Hattingh, S. T. Hedetniemi, and A. A. McRea. On weakly
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[FSR09] E. Fleury and D. Simplot-Ryl. R´ eseaux de capteurs, th´ eorie et mod´ elisation. Lavoisier, 2009.
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Processing Letters, Elsevier, 46(1993) :169–172, 1993.
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[SBM+09] A. C. Santos, F. Bendali, J. Mailfert, C. Duhamel, and K. M. Hou. Heuristics for designing
energy-efficient wireless sensor network topologies. Journal of networks, 4(6) :436–444, au-
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§. www2.iwr.uni-heidelberg.de/groups/comopt/software/TSPLIB95/tsp/