BacESPondichery2009

Bac Economique et Social
Pondichéry - Session Avril 2009
Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 5
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 7
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non
fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1 - Commun à tous les candidats
Partie A
Cette première partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
suivantes trois réponses sont proposées, une seule de ces réponses convient.
Sur votre copie, noter le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Aucune
justification n'est demandée. Une seule réponse est acceptée.
Barème: Une réponse exacte rapporte 0,75 point, une réponse inexacte enlève 0,25 point;
l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total donne un
nombre négatif, la note attribuée à cette partie sera ramenée à zéro.
Rappel de notations :
désigne la probabilité de A,
désigne la probabilité conditionnelle de A sachant B,
) signifie la probabilité de « A ou B» et
signifie la probabilité de « A et B
».
1. On lance un dé cubique équilibré. Les faces sont numérotées de 1 à 6.
La probabilité d'obtenir une face numérotée par un multiple de 3 est
Nombre de cas favorables : tous les multiples de 3 : 3 et 6
Nombre de cas possibles : les 6 faces du dé
p=2/6=1/3
2. Soient A et B deux événements tels que
alors
,
et
Application de la formule : p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A B) = 0,2 + 0,3 – 0,1 = 0,4
3. Soient A et B deux événements indépendants de probabilité non nulle, alors on a
obligatoirement :
;
Pour des événements indépendants : p(A B) = p(A)  p(B)
on a aussi : pA(B) = p(B) car p(B) ne dépend pas de A.
4. Une expérience aléatoire a trois issues possibles : 2 ; 3 et (où est un réel).
On sait que
,
et
.
On sait de plus que l'espérance mathématique associée est nulle. On a alors
Espérance mathématique : moyenne pondérée par les probabilités :
E = 2  (1/2) + 3  (1/3) + a  (1/6) = 1 + 1 + a/6 = 0
a / 6 = -2 => a = -12
a est nécessairement < 0 pour équilibrer 2 et 3 > 0
Partie B
Dans cette partie toutes les réponses seront justifiées.
Dans un club de sport, Julien joue au basket. Il sait que lors d'un lancer sa probabilité de
marquer un panier est égale à 0,6.
1. Julien lance le ballon quatre fois de suite. Les quatre lancers sont indépendants les uns des
autres.
a) Montrer que la probabilité que Julien ne marque aucun panier est égale à 0,0256.
Pour gagner 4 fois de suite, il faut gagner à chaque fois :
probabilité de perdre au premier tir : (1 - 0,6) = 0,4
sachant que le premier tir est échoué, proba. de perdre le second : 0,4  0,4
... proba de perdre les 4 tirs = 0,44 = 0,0256
b) Calculer la probabilité que Julien marque au moins un panier.
Il ne faut pas qu'il perde 4 fois. C'est la probabilité complémentaire de perdre 4 fois
p = 1 – 0,44 = 0,9744
2. Combien de fois Julien doit-il lancer le ballon au minimum pour que la probabilité qu'il
marque au moins un panier soit supérieure à 0,999 ?
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soit n le nombre de lancers : p = 1 – 0,4n > 0,999
1 – 0,999 > 0,4n
0,001 > 0,4n C'est une inéquation avec l'inconnue en exponentielle :
il faut prendre le logarithme : ln(0,001) > ln(0,4n) = n ln(0,4)
ATTENTION : piège ! ln(0,4) < 0 (car 0,4 < 1)
n > ln(0,001) / ln(0,4) = 7,5
Il faut donc lancer le ballon 8 fois
Vérification : 1 – 0,48 = 0,9993
5 points
exercice 2 - Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité
Partie l
Sachant qu'il y avait 13 millions de cotisants au régime général de retraites en France
métropolitaine en 1975 et 16,6 millions de cotisants en 2005, calculer le pourcentage
d'augmentation du nombre de cotisants entre 1975 et 2005. On arrondira le résultat à 0,1 %
près.
augmentation = ( n(final) – n(initial) ) / n(initial) = (16,6 – 13) / 13 = 0,2769 = 27,7%
le pourcentage d'augmentation du nombre de cotisants entre 1975 et 2005 est 27,7%
Partie 2
Le tableau ci-dessous donne le nombre de retraités en France métropolitaine entre 1975 et
2005 :
Année
1975
1980
1985
1990
1995
2000
2005
Rang de l'année
0
1
2
3
4
5
6
Nombre de retraités (en
millions)
4,1
5,0
5,9
7,4
8,3
9,7
10,7
Source : INSEE / Caisse Nationale d'Assurance Vieillesse 2007
1. Sur une feuille de papier millimétré, représenter le nuage de points
,
,
associé à la série statistique dans un repère orthogonal d'unités graphiques 2 cm en abscisse
(pour les rangs d'année) et 1 cm en ordonnée (pour 1 million de retraités).
2. a) Calculer les coordonnées du point moyen G de cette série statistique.
on obtient : xG 
xi 21
y
51,1

 3 et yG  i 
 7,3
n
7
n
7
les coordonnées du point moyen G sont : (3; 7,3)
b) Donner, à l'aide de la calculatrice, l'équation réduite de la droite d'ajustement de en
par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients au dixième).
voir : http://xmaths.free.fr/tice/calculatrice/stats2_ti82fr.pdf
Effacement des anciennes listes : [stats] (4:EffListe) [enter]
répondre EffListe L1 ,L2 ([2nde] [1] [,] [2nde] [2]) [enter]
Saisie des listes de points : [stats] (Edite...) [enter] 0 [enter] 1 [enter] 2 [enter] ... 6[enter]
se positionner dans L2 : 4.1 [enter] 5.0 [enter] ... 10.7 [enter]
Calcul droite : [graph stats] [entrer]
[stats] (Calc) (4:RégLin(ax+b)) [enter] répondre RégLin(ax+b) L1,L2 ([2nde] [1] [,] [2nde]
[2]) [enter]
résultat : a = 1.12857 b = 3.91428
Equation de la droite : y = 1,12 x + 3,91
c) Placer le point G et tracer la droite dans le repère construit à la première question.
point extrême gauche : (x=0 ; y=3,91)
point extrême gauche : (x=6 ; y= 10,63)
G (3 ; 7,3) La droite passe par G
3. En utilisant l'ajustement trouvé à la question 2, déterminer par un calcul une estimation du
nombre de retraités en 2010.
Valeur de x correspondant à 2010 ? 2005 : x = 6, pas de 5
2010 correspond à x = 7
Valeur de y pour x = 11 : y = 1,12 * 7 + 3,91 = 11.75
il y aura environ 11,8 millions de retraités en 2010
Partie 3
On utilisera les données des parties 1 et 2. Dans cette partie, les résultats seront donnés sous
forme de pourcentage, arrondis au dixième.
On appelle rapport démographique de l'année le rapport
1. Calculer le taux d'évolution de
entre 1975 et 2005 .
R1975 = 13 M / 4,1 M = 3,17
R2005 = 16,6 M / 10,7 M = 1,55
taux d'évolution = ( R2005 - R1975 ) / R1975 = (1,55 - 3,17) / 3,17 = -0.511 = -51,1 %
Le taux d'évolution de Rn entre 1975 et 2005 est -51,1 %
2. Entre 2005 et 2010, une étude montre que le nombre de cotisants devrait augmenter de
6,4% et que le nombre de retraités devrait augmenter de 12,1%. Calculer le taux d'évolution
du rapport démographique entre 2005 et 2010.
Toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
NC2010 = 1,064 NC2005 ; NR2010 = 1,121 NR2005
taux d'évolution = ( R2010 – R2005 ) / R2005 = R2010 / R2005– 1
taux = 1,064 NC2005/ ( 1,121 NR2005 ) / R2005 - 1
taux = 1,064 / 1,121 - 1 = -0,051 = - 5,1%
5 points
exercice 3 - Commun à tous les candidats
Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.
Partie A. Lectures graphiques
La courbe ci-dessous représente, dans un repère orthonormé, une fonction définie et
dérivable sur ]0 ; + [.
On note la fonction dérivée de .
La courbe passe par les points A(e ; 0) et B(1 ; -1).
La courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1 et la
tangente au point d'abscisse e passe par le point D(0 ; -e).
1. Déterminer une équation de la droite (AD).
y = a x + b : Elle passe par A et D
ordonnée à l'origine b = -e
pente a = OA / OD = e / e = 1
y=x-e
Aucune justification n'est exigée pour les réponses à la question 2.
2. Par lectures graphiques:
a) Déterminer
et
.
f(1) = -1 et f '(1) = 0 (la tangente en x=1 est une droite horizontale)
b) Dresser le tableau de signes de sur ]0 ; 5].
x
0
f(x)
0
e
-
0
5
+
3
c) Dresser le tableau de signes de
x
sur ]0 ; 5].
0
1
f '(x)
-
5
0
+
d) Soit F une primitive de sur ]0 ; + [. Déterminer les variations de F sur ]0 ; 5].
x
0
F(x)
e
décroissant
5
croissant
e) Encadrer par deux entiers consécutifs l'aire (en unités d'aire) du domaine délimité par
l'axe des abscisses, la courbe et les droites d'équation
et
.
Aire comprise entre 2 et 3 (et même entre 2 et 2,5)
Partie B. Étude de la fonction
La courbe
par
de la partie A est la représentation graphique de la fonction définie sur ]0 ; + [
.
1. a) Déterminer la limite de en + .
lim f(x) pour x-> +∞ = f(+∞) = +∞ * ln(+∞) = +∞
b) Soit la fonction définie sur ]0 ; + [ par
Déterminer la limite de en 0.
lim f(x) pour x-> 0 = lim x lnx – lim x = 0 – 0 = 0
2. a) Montrer que, pour tout de ]0 ; + [, on a :
f '(x) = 1(ln x -1) + x(1/x – 0) = ln x – 1 + 1 = ln x
b) Étudier le signe de
+ [.
x
0
ln x
-∞
. On rappelle que
.
.
sur ]0 ; + [ et en déduire le tableau de variation de sur ]0 ;
1
-
0
+∞
+
+∞
3. a) Démontrer que la fonction définie sur ]0 ; + [ par
est une
primitive sur ]0 ; + [ de la fonction définie à la question 1.b).
dérivée de H(x) : H'(x) = (½) (2x ln x + x2 1/x) – (1/4)2x = x ln x + x/2 – x/2 = x ln x = h(x)
H(x) est une primitive de h(x) car h(x) est la dérivée de H(x)
b) En déduire une primitive de et calculer
.
somme de 1 à e de f(x) dx = F(e) – F(1)
f(x) = h(x) – x => F(x) = H(x) – x2/2
F(e) = (½)e2 ln e – e2/4 – e2/2 = ½ e2 – 3e2/4 = – e2/4
F(1) = (½)e2 ln 1 – 1/4 – 1/2 = 0 – 3/4
somme de 1 à e de f(x) dx = -e2/4 + ¾ = ( -e2 + 3 ) /4 = 1,1 unités d'aire
c) En déduire l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan délimitée par , l'axe des abscisses
et les droites d'équation
et
. On arrondira le résultat au dixième.