Fonctions d`une variable réelle à valeurs réelles I Définitions de base

Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles
I Définitions de base 1
I.A Relationd’ordre ........................... 2
I.B Majorants, minorants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
I.C Fonctions particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
II Étude locale des fonctions 7
II.A Notion de limite en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
II.B Généralisation de la notion de limite . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.B.1 Limite au voisinage de l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . 9
II.B.2 Limitesinfinies........................ 9
II.C Théorèmes sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.C.1 Comparaison des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.C.2 Théorèmes d’existence et de calcul de limites . . . . . . . 10
II.C.3 Image d’une suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . 11
III Équivalence locale 12
III.AFonction négligeable devant une autre fonction . . . . . . . . . . 12
III.B Fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III.C Exemples de fonctions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
IV Continuité 15
IV.A Continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
IV.B Opérations et continuité en un point . . . . . . . . . . . . . . . . 16
IV.C Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
IV.D Propriétés spécifiques des fonctions continues . . . . . . . . . . . 19
IV.E Prolongement par continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
V Propriété des fonctions monotones 20
V.A Limite d’une fonction monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
V.B Monotonie et continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
VI Cas des fonctions à valeurs complexes 22
I Définitions de base
On rappelle que si I⊂R, on note F(I, R)l’ensemble des fonctions (de
variable réelle) définies sur Iet à valeurs dans R.F(I, R)est un R-espace
vectoriel pour les lois +et .définies par :
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
(λ.f)(x) = λf(x)
On peut aussi définir la loi ×par :
(f×g)(x) = f(x)g(x)
1

I.A Relation d’ordre
Définition 1. Soient f, g ∈ F(I, R). On dit que f6gsi :
∀x∈I, f (x)6g(x)
Définition 2. Soit f, g ∈ F(I, R):
1. On définit la fonction |f|par :
∀x∈I, |f|(x) = |f(x)|
Par exemple, si f(x)=2x, alors |f|:x7→ −2xsi x60
x7→ 2xsi x>0
2. On définit également les fonctions sup(f, g)et inf(f, g)par :
sup(f, g)(x) = f(x)si f(x)>g(x)
g(x)sinon
inf(f, g)(x) = f(x)si f(x)6g(x)
g(x)sinon
Remarque 1. On a inf(f, g)6f6sup(f, g)et inf(f, g)6g6sup(f, g). En
revanche, fet gne sont pas nécessairement comparables.
I.B Majorants, minorants
Définition 3. Soit f∈ F(I, R):
– On dit que fest majorée (sur I) si ∃M∈Rtel que :
∀x∈I, f (x)6M
Mest alors appelé un majorant de f.
– On dit que fest minorée (sur I) si ∃m∈Rtel que :
∀x∈I, f (x)>m
mest alors appelé un minorant de f.
– On dit que fest bornée (sur I) si elle est majorée et minorée (sur I)
i.e. ∃m, M ∈R,∀x∈I, m 6f(x)6M
Remarques 2.
1. Dire que fest majorée revient à dire que l’ensemble :
{f(x), x ∈I}
des images de fsur Iest majoré.
2

2. fest bornée si et seulement si |f|est majorée.
Exercice 1. Montrer que la fonction f:x7→ x
x2+ 1 est bornée sur l’intervalle
[0; +∞[, et comprise entre 0et 1. Que peut-on dire sur R?
Définition 4. Soit f∈ F(I, R):
1. On définit la borne supérieure de la fonction fsur Ipar :
(sup
I
f= sup{f(x), x ∈I}si fest majorée
= +∞sinon
(Si fest majorée, sup
I
fest le plus petit des majorants de f.)
2. On définit la borne inférieure de la fonction fsur Ipar :
(inf
If= inf{f(x), x ∈I}si fest minorée
=−∞ sinon
(Si fest minorée, inf
Ifest le plus grand des minorants de f).
Exemple 1. Effectuons une recherche des bornes supérieure et inférieure de la
fonction :
f:R∗
+→R
x7→ 1−1
x
Une étude de cette fonction nous permet de "visualiser" le résultat. fest définie
et dérivable sur R∗
+et :
∀x∈R∗
+, f0(x) = −1
x2>0
Après calcul des limites, on obtient le tableau des variations de fainsi que
l’allure de sa courbe représentative :
x0 1 +∞
f0(x) +
*1
f(x)
*0
− ∞
Cf
1
y
On voit alors que fn’admet pas de minorant, et que sa borne supérieure
semble être la valeur 1. On peut alors prouver ceci en utilisant la définition de
la borne supérieure :
–1est clairement un majorant de f:∀x > 0,1−1
x<1.
3

– Si y < 1, il suffit de choisir x > 1
1−ypour avoir f(x)=1−1 x> y, donc y
n’est pas un majorant de f.
En conclusion, on a bien sup
R∗
+
f= 1. On peut également faire un raisonnement
de ce type pour établir que fn’est pas minorée.
Remarque 3. On pourra constater plus loin que la notion de borne supérieure
et la notion de limite sont liées lorsque la fonction est croissante.
Définition 5. Soit f∈ F(I, R):
– On dit que fadmet un maximum en a∈Isi :
∀x∈I, f (x)6f(a)
Notation : f(a) = max
x∈If(x).
– On dit que fadmet un minimum en a∈Isi :
∀x∈I, f (x)>f(a)
Notation : f(a) = min
x∈If(x).
– On dit que fadmet un extremum en a∈Isi f(a)est un minimum ou un
maximum pour fsur I.
Exemple 2. La fonction f:R→R
x7→ x2+ 1 admet un minimum en 0.
Cf
Définition 6 (Notion de voisinage).
– Soit a∈R. On appelle voisinage de aun intervalle ouvert contenant a(en
général, on le choisit centré en a, de la forme ]a−ε, a +ε[).
– On appelle voisinage de +∞(resp. −∞) un intervalle ouvert de la forme
]A, +∞[(resp. ]− ∞, B[).
Définition 7. On dit que fadmet un maximum (resp. minimum) local en a∈I
si il existe un voisinage Vde atel que f(a)est un maximum (resp. minimum)
de f|I∩V.
Exemple 3. La fonction x→x3−xadmet un minimum et un maximum locaux
(une étude de fonction suffit pour s’en convaincre).
4

Cf
Max. local
Min. local
ab
Remarques 4.
1. Le maximum de f, s’il existe, est également la borne supérieure de f(on
rappelle que toute fonction admet une borne supérieure).
2. En revanche, le maximum d’une fonction n’existe pas toujours, même si
celle-ci est majorée (cf exemple 1).
I.C Fonctions particulières
Définition 8. Soit f∈ F(I, R):
– On dit que fest croissante (resp. décroissante) sur Isi :
∀x, y ∈I, x < y ⇒f(x)6f(y) (resp x<y⇒f(x)>f(y))
– On dit que fest strictement croissante (resp. strictement décroissante)
sur Isi :
∀x, y ∈I, x < y ⇒f(x)< f(y) (resp x<y⇒f(x)> f(y))
– On dit que fest monotone (resp. strictement monotone) sur I, lorsqu’elle
est croissante ou décroissante (resp. strictement croissante ou strictement
décroissante) sur I.
Proposition 1. Soient f, g ∈ F(I, R):
1. Si fet gsont croissantes (resp. décroissantes), alors f+gest croissante
(resp. décroissante).
2. Si fet gsont croissantes (resp. décroissantes) et positives, alors fg est
croissante (resp. décroissante).
Démonstration. En exercice.
Proposition 2. Soient f∈ F(I, J)et g∈ F(J, R). Alors :
1. Si fet gsont monotones (resp. strictement monotones) et de même mo-
notonie, alors g◦f:I→Rest croissante (resp. strictement croissante).
2. Si fet gsont monotones (resp. strictement monotones) et de monotonie
contraire, alors g◦f:I→Rest décroissante (resp. strictement décrois-
sante).
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