FILARY Pascal - La famille du Refuge

FILARY Pascal
MADRANGE Aurélien
THOMAS Fabrice
3ème année ; groupe 8.1
Date : 7 Janvier 2002
MECANIQUE DES FLUIDES
TP4
ETUDE DU COUP DE BELIER
Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tarbes
I - But de la manipulation :
Le but de ce TP est d’étudier le phénomène du coup de bélier que l’on observe
fréquemment dans les canalisations.
Dans un premier temps, nous allons effectuer une étude théorique , puis nous
tenterons de mettre expérimentalement en évidence ce phénomène afin de vérifier les
résultats obtenues lors de l’analyse théorique.
II - Dispositif expérimental :
Pour mettre en évidence ce phénomène, nous disposons du matériel suivant :
 Un réservoir d’alimentation en eau dans lequel on peut faire varier la pression.
*
 Une canalisation en cuivre de longueur importante ( moyen=13mm, L = 39,1m)
 Une vanne à fermeture rapide.
 Un oscilloscope numérique afin d’effectuer les relevés de pression en x=0 et
x=L/2
 Un manomètre pour mesurer la pression relative à l’intérieur du réservoir.
 Une jauge nous permettant de mesurer le débit.
 Différentes vannes pour faire varier débit et pression.
x
P = Cte
Vanne à fermeture rapide
L
ENIT
1
3ème Année
III - Etude théorique :
Pour réaliser notre modélisation théorique, il faut auparavant émettre certaines
hypothèses :
 H1- Les variations de pression dans la conduite sont telles qu’on ne peut pas
négliger la compressibilité de l’eau et la déformation de la paroi de la conduite.
 H2- L’eau est assimilée à un fluide parfait : les phénomènes de frottement
visqueux ne sont pas pris en compte.
 H3- Les forces de pesanteur seront négligées ( conduite horizontale : la prise en
compte de ces forces ne complique pas plus le traitement du problème

cette hypothèse allègera la notation.
 H4- La fermeture de la vanne est instantanée.
 H5- La vitesse de propagation des ondes de perturbation sont grandes par
rapport à la vitesse du fluide : cette hypothèse, qui sera précisée plus loin,
devra être vérifiée à posteriori par le calculs et par les mesures expérimentales.
1) Calcul de la célérité ’a’et de la période théorique ‘T’ du phénomène :
a) Célérité a :
La célérité correspond à la vitesse de propagation de l' onde de perturbation et elle
est mise en évidence par les formules suivantes :
T  2 0 
4L
a
et
a2 
1
D 
1
P 

  E.e
Avec :
T
0
L


E
e
ENIT
Définition
Période
Température
Longueur de la conduite
Masse volumique
Module d'élasticité de l'eau
Module de young
Epaisseur de la conduite
2
Unité
seconde
seconde
mètre
kg / m3
N/m²
N/m²
mètre
3ème Année
Vérification des unités :
1
2
a =
 m2 m2 
kg / m3 


N
 N

1
1
m. N m2 . kg. s 2



 m2 . s 2
3
2
kg / m  m / N kg / m. N
kg
kg
 a est en m/s
on en déduit donc que :
Calcul de la célérité a :
On a :
 = 2,03.109 N.m-2
 = 1000 kg.m-3
D = 12mm
e = 1mm
E = 115.109 N.m-2
Ainsi :
a2 
1



1
13  10 3
1000

9
9
3 
 2.03  10 115  10  1  10 
a = 1285 m/s
b) période théorique ‘T’ du phénomène :
T  2 0 
Celle-ci est définie par la relation :

ENIT
T
4  39.1
1285

3
4L
a
T = 121 ms
3ème Année
2) Evolution de la surpression et de la vitesse au milieu de la conduite
a) Evolution de la surpression (x = L /2):
D’après la formule d’Allievi, on a :
h (x , t) = F (t - x/a) – F (t 
h (x , t) = F (t -
2L  x
)
a
L
3L
)– F (t - )
2a
2a
Pour tracer nos courbes, il nous faut déterminer :
 0 = 2L/a =
2  39,1
= 61 ms
1285
 =(2L-x)/a=(3L)/(2a)=(3*39.1)/(2*1285)= 46 ms

x
L
=
= 0 /4 = 15 ms
a
2a
 P0 = 1 bars soit 1.105 Pa
 A la limite de la cavitation, on a P0 - .a.V0 = 2000 Pa
On en déduit :
V0 = (P0 – 2000) / .a
V0 = 0,076 m.s-1

 (a.V0) / g =(1285*0.076)/9.81=9.955 m
On obtient le graphe en annexe A
b) Evolution de la vitesse (x = L /2):
V (x, t) = -V0 +
ENIT
g   x
 2L - x 
F t -   F t 

a   a
a 

4
3ème Année
Ainsi en x = L/2
V (x, t) = -V0 +
g   L   3L 
F t -   F t 
a   2a   2a 
On obtient le graphe en annexe B.
IV - Etude expérimentale :
Grâce au dispositif énoncé au paragraphe II, nous avons, pour différentes valeurs de
pression et de débit, effectué des relevés de pression en x=0 et x = L/2.
Les courbes correspondants au différent relevés se trouvent à la fin du TP en annexe :
Annexe
1
2
3
4
5
6
pression du réservoir (P)en bar
1
1
1
3.3
3.3
3.3
Débit (Q) en cm3/min
1000
2000
3000
1000
2000
3000
Les pressions mesurées grâce au manomètre sont des pressions relatives, ainsi, il faut
prendre en compte la valeur de la pression atmosphérique. On rajoutera donc 1,03 bars
pour chacun de nos calculs.
1) Détermination des cas où l’on a théoriquement cavitation :
Le phénomène de cavitation se traduit par : P0 - .a.V0  2000
ENIT
5
3ème Année
avec V0 =
Q

S
Q

moy

2
4Q
  moy 2
4
 Premier cas ( P = 1 bar et Q = 1000 cm3/min) :
V0 
1000  106  4
 0.1255 m/s
  60  (13  10 3 )2
Mesure de la période T : 128 ms (voir Annexe 1)

a
4 L 4  39.1

= 1221 m/s
T
0.128
d’où : P0 - .a.V0 =(1+1,03). 105 - 1000  1221 0.1255 =
On a P0 - .a.V0  2000,
49764 Pa
donc, il n’y a théoriquement pas cavitation.
 Deuxième cas ( P = 1 bar et Q = 2000 cm3/min) :
2000  106  4
V0 
 0.249 m/s
  60  (13  10 3 ) 2
Mesure de la période T : 136 ms

a
(voir Annexe 2)
4 L 4  39.1

 1150 m/s
T
0.136
d’où : P0 - .a.V0 =(1+1,03). 105 - 1000  1150  0.249 = - 83350 Pa
On a P0 - .a.V0  2000, donc, il y a théoriquement cavitation.
 Troisième cas ( P = 1 bar et Q = 3000 cm3/min) :
ENIT
6
3ème Année
3000  106  4
V0 
 0.377 m/s
  60  (13  10 3 ) 2
Mesure de la période T : 188 ms

a
(voir Annexe 3)
4 L 4  39.1

 831,9 m/s
T
0.188
d’où : P0 - .a.V0 = (1+1,03).105 - 1000  831,9  0.377 = -110626 Pa
On a P0 - .a.V0  2000, donc, il y a théoriquement cavitation.
 Quatrième cas ( P = 3.5 bar et Q = 1000 cm3/min) :
V0 
1000  106  4
 0.1205 m/s
  60  (13  10 3 ) 2
Mesure de la période T : 124 ms

a
(voir Annexe 4)
4 L 4  39.1

 1261,3 m/s
T
0.124
d’où : P0 - .a.V0 = (3,3+1,03)  105 - 1000  1261,3 0.1205 =
417801 Pa
On a P0 - .a.V0 > 2000, donc, il n’y a théoriquement pas cavitation.
 Cinquième cas ( P = 3.4 bar et Q = 2000 cm3/min) :
2000  106  4
V0 
 0.249 m/s
  60  (13  10 3 ) 2
Mesure de la période T : 124 ms (voir Annexe 5)
ENIT
7
3ème Année

a
4 L 4  39.1

 1261,3 m/s
T
0.124
d’où : P0 - .a.V0 = (1.03+3.3) 105 - 1000  1261,3 0.249 = 118936 Pa
On a P0 - .a.V0 > 2000, donc, il n’y a théoriquement pas cavitation.
 Sixième cas ( P0 = 3.3 bar et Q = 3000 cm3/min) :
V0 
3000  106  4
 0.3776 m/s
  60  (13  10 3 ) 2
Mesure de la période T : 136 ms

a
4 L 4  39.1

 1150 m/s
T
0.136
d’où : P0 - .a.V0 = (1.03+3.3)  105 - 1000  1150  0.3776 = - 1240 Pa
On a P0 - .a.V0  2000, donc, il y a théoriquement cavitation.
Tableau récapitulatif des résultats :
P0 en Pascal
Q en cm3/min
a en m/s
2,03.105
2,03.105
2,03.105
4,33 105
4,33 105
4,33 105
1000
2000
3000
1000
2000
3000
1221
1150
831,9
1261,3
1261,3
1150
T en ms
Cavitation
128
136
188
124
124
136
NON
OUI
OUI
NON
NON
OUI
2) Interprétation des résultats :
ENIT
8
3ème Année
On peut vérifier la présence de cavitation ou de non cavitation dans les 6 cas au
moyen des courbes obtenues expérimentalement.
En effet, dans les cas où le phénomène de cavitation apparaît, le signal relevé
comporte des discontinuités dans sa courbe et son amplitude semble augmenter par
rapport au signal sans cavitation.
C’est approximativement ce que l’on observe pour les cas 2,3 et 6.
3) Comparaison aux valeurs théoriques de célérité et de période :
D’un point de vue général, on constate que dans les cas où on a cavitation, plus le
résultat de P0 - .a.V0 se rapproche de la limite de cavitation (2000 Pa), plus la période
diminue. C’est ce que l’on constate pour les cas 2, 3 et 6.
Pour les autres cas, où on n’a pas de cavitation, on remarque que les périodes
mesurées sont quasiment les mêmes, à savoir environ 124 ms.
On retrouve approximativement la valeur théorique de 121 ms que nous avons
calculé auparavant.
Concernant la célérité « a », on constate qu’elle évolue inversement et
proportionnellement à la période pour les cas où l’ on a cavitation.
Dans les cas où il n’y a pas cavitation, la célérité est telle que :
T  2 0 
4L
a
d’où
a
4L
T
en prenant Texp = 124 ms

on a :
aexp = 1261,3 m .s-1
Or , nous avons déterminé auparavant
ath = 1285 m.s-1
Les valeurs expérimentales trouvées sont donc très proches des valeurs théoriques.
4) Vérification de l’hypothèse H5 (a >> V)
ENIT
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3ème Année
Hypothèse H5 : La vitesse de propagation des ondes de « perturbation » sont grandes
par rapport à la vitesse du fluide.
On a trouvé expérimentalement que la célérité a était comprise entre 831,9 m/s et
1261,3 m/s.
L’étude théorique de l’évolution de la vitesse montre que V(x,t) varie de -V0 et V0 .
Calcul de Vmax :
Vmax = V0max = 0.3776
implique
V = 0.3776 m/s
Prenons le cas le plus défavorable (amini =831.9 m/s)
On calcul le rapport amini /Vmax : 831,9 / 0.3776 = 2203.125
On constate que a est plus de deux mille fois plus grand que Vmax. L’hypothèse H5 est bien
vérifiée.
V - Conclusion :
Ce TP nous a permis de mettre en évidence le phénomène du coup de bélier
provoqué par la fermeture rapide d’une vanne.
On a mis en évidence que la célérité des ondes de perturbations est très grande par
rapport à la vitesse du fluide.
Il est intéressant de connaître ce phénomène car il peut être rencontré sur de
nombreuses conduites. Pour limité ce phénomène indésirable, il existe des systèmes dotés
de membranes permettant d’absorber les coups de bélier. Ces système sont beaucoup
utilisé dans la plomberie, surtout lorsque l’on a de longues canalisations
ENIT
10
3ème Année
ANNEXES
ENIT
11
3ème Année