Tle S M. Delgado
Méthode de la dichotomie
I Introduction : le jeu du "Plus ou Moins"
Au jeu du plus ou moins un animateur choisit un nombre secret entre 1 et 100, le joueur doit trouver ce nombre avec
le moins de tentatives possibles. A chaque proposition fausse, l’animateur indique au joueur si le nombre cherché est plus
grand ou plus petit que sa proposition.
La meilleure stratégie pour gagner à ce jeu est d’utiliser le principe de dichotomie : on commence par proposer 50, si
l’animateur indique que c’est moins on propose 25, s’il indique que c’est plus on propose 75, et on continue ainsi à diviser
en deux le nombre de possibilités jusqu’à tomber sur le nombre secret.
On applique alors ce principe à la recherche de solutions d’équations.
II Etude d’un exemple :
on cherche les éventuelles solutions de l’équation −x3−3x−2=4. Si on ne peut pas les déterminer précisément, on en
cherche des valeur approchées.
1) Première étape : étude d’une fonction
1. On se ramène à une équation où le deuxième membre de l’égalité est 0 pour obtenir une équation du type f(x)=0.
Ecrire l’équation obtenue ainsi que la fonction f.
2. Donner le domaine de définition de fet justifier sa continuité sur ce domaine.
3. Justifier la dérivabilité de fet déterminer f0(x).
4. Déterminer le signe de f0et en déduire les variations de f.
5. A l’aide du théorème des valeurs intermédiaires, déterminer le nombre de racines de fainsi qu’un encadrement
grossier de ces racines.
2) Deuxième étape : encadrement des racines
Il s’agit à présent de fournir un encadrement plus précis.
1. Par le principe de dichotomie, encadrer les racines entre deux entiers consécutifs.
2. A l’aide de la fonction TABLE de votre calculatrice, déterminer un encadrement à 10−2près de ces racines : plutôt que
de procéder par dichotomie qui correspond à un pas de 0,5 on peut utiliser un pas de 0,1. En utilisant un pas de 0,01,
la calculatrice risque de manquer de mémoire.
Remarque : : on peut également tracer la courbe sur la calculatrice et l’aide des fonctions ZOOM et TRACE on peut parvenir
au même résultat.
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