Méthode de la dichotomie - Mathématiques de M. Delgado

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Tle S
M. Delgado
Méthode de la dichotomie
I Introduction : le jeu du "Plus ou Moins"
Au jeu du plus ou moins un animateur choisit un nombre secret entre 1 et 100, le joueur doit trouver ce nombre avec
le moins de tentatives possibles. A chaque proposition fausse, l’animateur indique au joueur si le nombre cherché est plus
grand ou plus petit que sa proposition.
La meilleure stratégie pour gagner à ce jeu est d’utiliser le principe de dichotomie : on commence par proposer 50, si
l’animateur indique que c’est moins on propose 25, s’il indique que c’est plus on propose 75, et on continue ainsi à diviser
en deux le nombre de possibilités jusqu’à tomber sur le nombre secret.
On applique alors ce principe à la recherche de solutions d’équations.
II Etude d’un exemple :
on cherche les éventuelles solutions de l’équation −x 3 − 3x − 2 = 4. Si on ne peut pas les déterminer précisément, on en
cherche des valeur approchées.
1) Première étape : étude d’une fonction
1. On se ramène à une équation où le deuxième membre de l’égalité est 0 pour obtenir une équation du type f (x) = 0.
Ecrire l’équation obtenue ainsi que la fonction f .
2. Donner le domaine de définition de f et justifier sa continuité sur ce domaine.
3. Justifier la dérivabilité de f et déterminer f 0 (x).
4. Déterminer le signe de f 0 et en déduire les variations de f .
5. A l’aide du théorème des valeurs intermédiaires, déterminer le nombre de racines de f ainsi qu’un encadrement
grossier de ces racines.
2) Deuxième étape : encadrement des racines
Il s’agit à présent de fournir un encadrement plus précis.
1. Par le principe de dichotomie, encadrer les racines entre deux entiers consécutifs.
2. A l’aide de la fonction TABLE de votre calculatrice, déterminer un encadrement à 10−2 près de ces racines : plutôt que
de procéder par dichotomie qui correspond à un pas de 0,5 on peut utiliser un pas de 0,1. En utilisant un pas de 0,01,
la calculatrice risque de manquer de mémoire.
Remarque : : on peut également tracer la courbe sur la calculatrice et l’aide des fonctions ZOOM et TRACE on peut parvenir
au même résultat.
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M. Delgado
III L’algorithme de dichotomie
La méthode présentée ci-dessus peut-être très longue selon la fonction étudiée et la précision demandée. On choisit alors
d’utiliser la programmation.
1. Recopier et compléter l’algorithme ci-dessous.
Variables
a , b et p sont des nombres réels
c est un nombre réel
Début
Saisir a , b et p
Tant que b − a > p faire
......
c prend la valeur
...
calculer f (a), f (c)
Si f (a) × f (c) ≤ 0 alors
... prend la valeur de c
Sinon
... prend la valeur de c
Afficher : "La solution est comprise
entre a et b "
Fin
2. Expliquer l’utilité de "Tant que b − a > p..."
3. Expliquer l’utilité de "Si f (a) × f (c) < 0..."
Remarque : cet algorithme est à utiliser uniquement lorsque l’on est sûr qu’il y a une solution dans l’intervalle [a; b],
sinon l’algorithme risque de tourner en rond indéfiniment... il vaut même mieux être sûr qu’il n’y a qu’une seule solution. Une étude de fonction est donc nécessaire avant de l’utiliser. On peut donc rajouter à l’algorithme une condition
de sécurité :
Calculer f (a) et f (b)
Si f (a) × f (b) > 0 alors
Afficher : "il se peut que le
programme ne puisse pas trouver de
solutions, affinez manuellement vos
valeurs pour a et b ."
Sinon
Intégrer l’algorithme
précédent...
4. programmer cet algorithme sous Python (il peut être pratique de le programmer sur sa calculatrice pour l’avoir le jour
du BAC).
5. Déterminer les solutions de l’équation à 10−4 de chacune des racines de f .
IV Applications
Pour chacune des équations suivantes :
— déterminer la fonction f dont il faudra trouver les racines ;
— étudier les variations de cette fonction ;
— déterminer les solutions à 10−4 près.
1. x 3 + x = −1
3. x 3 − 8x − 1 = −3
2. x + cos x = 0
4. 3x 4 + 4x 3 − 12x 2 + 2 = −2
5. −x 5 − x 4 + x 3 − 2x 2 − x + 1 = 0
µ ¶
1
=0
6. sin
x
V Bonus : Xcas
Cas est un logiciel dit de "calcul formel" capable de beaucoup de choses en mathématiques. Il peut être téléchargé, utilisé
en ligne et est peut-être intégré dans votre calculatrice. Demandez la fiche correspondant à votre professeur et vérifier que la
programmation de la dichotomie et Xcas donnent bien les mêmes valeurs.
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