Ch1: Introduction à la structure d`anneau - IMJ-PRG

Chapitre 1
Introduction `ala structure
d’anneau
1.1 D´efinitions et exemples de base
D´efinition 1.1.1. Un anneau (resp. anneau commutatif)est un groupe
ab´elien (A, +) muni d’une seconde op´eration m:A×A→A,not´ee multipli-
cativement(i.e. le plus souventsans symbole :m(a, b)=ab ou avec un point
si besoin),
qui est associative(resp. associative etcommutative),
admet un ´el´ementneutre (appel´eunit´eet souventnot´e1),
et est distributive`a gauche et `a droite par rapport `a l’addition.
Remarque 1.1.2.Dans certains ouvrages, l’existence d’un ´el´ementunit´en’est
pas demand´ee on pr´ecise alors le cas ´ech´eant:anneau avec unit´eou anneau
unitaire.
Remarques 1.1.3.
1. Pour tout x∈A:0.x =x.0=0, et (−1).x =−x=x.(−1).
2. Pour x∈A,y∈A,on a:(−x)y=x(−y)=−(xy)et (−x)(−y)=xy.
3. Sauf pour l’anneau r´eduit au seul ´el´ement0(anneau nul), l’´el´ement
unit´eest non nul.
D´efinition 1.1.4. a) Un ´el´ementd’un anneau Aest dit inversible si et seule-
ments’il est sym´etrisable pour la seconde op´eration.
b) Un ´el´ementnon nul xd’un anneau Aest un diviseur de z´ero si et seulement
si son produit avec un autre ´el´ementnon nul vaut z´ero :
∃y6=0,xy =0ou yx=0.
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On note A×l’ensemble des ´el´ements inversibles de A.
Proposition 1.1.5. Si Aest un anneau non nul, l’ensemble A×des ´el´ements
inversibles est un groupemultiplicatif.
D´efinition 1.1.6. a) Un corps est un anneau non nul (1 6=0) danslequel
tout ´el´ementnon nul est inversible, i. e. A×=A−{0}.
b) Un anneau int`egre est un anneau non nul sans diviseur de z´ero ;un anneau
commutatif int`egre est aussi appel´edomaine d’int´egrit´e.
Exercice1.1.7.Montrer q’un anneau fini int`egre est un corps.
Exemples 1.1.8.
1. L’anneau des entiers :Z;les d´ecimaux :D.
2. Le corps des rationnels :Q;les r´eels :R;les complexes :C.
3. Les anneaux de congruences :Z/nZ,n≥2;les corps Z/pZpour p
premier.
4. Les anneaux de fonctions :si Aest un anneau et Xun ensemble, les
applications de Xvers Aformentun anneau not´eA(X,A).
5. Quaternions :Les matrices 2×2de la forme
α−β
βα!,
avec αet βcomplexes, formentun corps non commutatif not´eH.
Exemple 1.1.9.Le produit A×Bde deux anneaux est un anneau, avec les
op´erations d´efinies composante par composante.
D´efinition 1.1.10. Un sous-anneau d’un anneau Aest une partie Bde A
qui est un anneau avec les op´erations induites de A,et la mˆeme unit´eque A.
Proposition 1.1.11. Une partie Bd’un anneau Aest un sous-anneau si et
seulement si :
Best un sous-groupeadditif,
Best stable par multiplication, et
Bcontient l’unit´ede A.
D´efinition 1.1.12. Le centre d’un anneau Aest l’ensemble des ´el´ements de
Aqui commutentavec tous les autres. On le note Z(A):
x∈Z(A)⇔∀y∈A,xy =yx.
Proposition 1.1.13. Le centred’un anneau Aest un sous-anneau.
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Exercice1.1.14.D´eterminer le centre du corps des quaternions H.
Exemples 1.1.15.1. L’ensemble des entiers de Gauss
Z[i]={a+ib;a∈Z,b∈Z}
forme un sous-anneau de C.
2. Les fonctions complexes continues sur un intervalle I:C(I,C)forment
un sous-anneau de A(I,C).
Exercice1.1.16.D´eterminer les ´el´ements inversibles de Z[i].
D´efinition 1.1.17. Soit Aet Bdeux anneaux. Une application f:A→B
est un morphisme d’anneau si et seulementsi frespecte les op´erations et
l’´el´ementunit´e. Un isomorphisme d’anneau est un morphisme bijectif.
D´efinition 1.1.18. Soit Aun anneau commutatif. Une alg`ebre sur Aest un
anneau Bmuni d’un morphisme d’anneau
η:A→B.
Un morphisme d’alg`ebres sur Aest un morphisme d’anneau f:B1→B2tel
que :η2=f◦η1,o`ules ηi:A→Bisontles morphismes de structure.
D´efinition 1.1.19. SoientB1et B2deux alg`ebres sur l’anneau commutatif
A,avec morphismesde structure ηi:A→Bi.Un morphisme d’alg`ebre de
B1vers B2est un morphisme d’anneau f:B1→B2tel que :
η2=f◦η1.
1.2 Exemples :polynˆomes, matrices,anneau
de groupe
1.2.1 Anneaux de polynˆomes
Soit Aun anneau commutatif et Xune ind´etermin´ee (un symbole). On note
A[X]l’ensemble des suites d’´el´ements de Aavec un nombre fini de termes
non nul, not´ees comme combinaisons lin´eaires des Xn,n≥0:les ´el´ements
de A[X]s’´ecriventsous la forme :
P=X
n
anXn=
N
X
n=0
anXn.
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A[X]est munides op´erations :
(X
n
anXn)+(X
n
bnXn)=X
n
(an+bn)Xn.
(X
n
anXn)×(X
m
bmXm)=X
p
cpXp,cp=X
k
akbp−k.
Proposition 1.2.1. A[X]est une alg`ebresur A.
Remarque 1.2.2.L’application qui d´efinit la structure d’alg`ebre est injective,
d’image lespolynˆomes constants ;Aest identifi´eau sous-anneau deA[X]
form´epar les polynˆomes constants.
Proposition 1.2.3 (Propri´et´euniverselle).Soit Bune alg`ebresur l’anneau
commutatif A,et bun ´el´ement de B,alors il existe un unique morphisme
d’alg`ebreEb:A[X]→Btel que Eb(X)=b.
Remarque 1.2.4.Ebest appel´emorphisme d’´evaluation et Eb(P)estnot´e
P(b).
D´efinition 1.2.5. Le degr´ed’un polynˆome non nul P=PnanXnest le plus
grand npour lequel an6=0(convention :deg(0) =−∞).
Proposition 1.2.6. Si Aest un anneau commutatif int`egre, alors :
a) deg(PQ)=deg(P)+deg(Q),
b) les inversibles de A[X]sont les inversibles de A,et
c) A[X]est un anneau int`egre.
1.2.2 S´erie formelles
Dans la d´efinition pr´ec´edente de l’anneau des polynˆomes, si on ne demande
plus que la suite des coefficients soit `a support fini, on obtientl’anneau des
s´eries formelles `a coefficients dans l’anneau commutatif A,not´eA[[X]]. Les
´el´ements de A[[X]] s’´ecrivent:
S=X
n
anXn,
sans aucune condition sur le support, ni sur la convergence quand celle-ci
pourrait avoir un sens. Les op´erations sontd´efinies avec les mˆemes formules
que pour les polynˆomes.
Exercice1.2.7.Caract´eriser les ´el´ements inversibles de A[[X]], lorsque Aest
un anneau commutatif int`egre.
Exercice1.2.8 (Nombres de Catalan).On note cnle nombre de parenth´esages
d’un mot constitu´ede n+1symboles. Montrer que la s´erie formelle
C=PncnXnsatisfait une ´equation de degr´e2. R´esoudre l’´equation et
d´eduire le calcul de cn..
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1.2.3 Anneaux de matrices
Soit Aun anneau commutatif, alors l’ensemble des matrices carr´es d’ordre
n`a coefficients dans A,muni des formules d’addition et de multiplication
habituelles, forme un anneau not´eMn(A);l’application qui `a un ´el´ementde
Aassocie la matrice scalaire correspondante d´efinit une structure d’alg`ebre.
Si Aest un sous anneau de B,alors Mn(A)est un sous-anneau de Mn(B).
Proposition 1.2.9. Les ´el´ements inversibles dans M∈Mn(A)sont les
matrices de d´eteerminant inversible.
1.2.4 Anneau de groupe
SoientGun groupe, not´emultiplicativementet Aun anneau commutatif. On
note A[G]l’ensemble des familles, index´ees par Get `a support fini, d’´el´ements
de A.La famille de termes λg,g∈G,est not´ee :
X
g
λgg.
L’ensemble A[G]est naturellementun groupeab´elien. On obtientun anneau
(et mˆeme une alg`ebre sur A), avec le produit (et le morphisme λ7→ λe):
(X
g
λgg)(X
h
µhh)=X
uX
gh=u
λgµhu.
Remarque 1.2.10.Dans le cas o`uKest un corps, K[G]est un espace vectoriel
de base G.
Exercice1.2.11.1. Montrer que l’alg`ebre C[S3]du groupesym´etriqueS3
n’est pas int`egre.
2. D´eterminer le centre de l’alg`ebre C[S3](on rappelle que le groupeS3
est engendr´epar deux ´el´ements).
3. D´eterminer les idempotents centraux del’alg`ebre C[S3], i.e. les ´el´ements
pdu centre qui v´erifientp2=p.
4. Un idempotentcentral zest minimal si et seulementsi, pour tout idem-
potentcentral w,on a:zw=0ou zw=z.
Montrer que l’unit´ede l’alg`ebre C[S3]s’´ecrit comme somme d’idempo-
tents centraux minimaux.
5. Montrer que l’alg`ebre C[S3]est isomorphe `a un produit d’alg`ebres de
matrices.
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