présentation

Algorithmes rapides pour l’´ evaluation polynomiale
sur les nombres flottants
—
Guillaume Revy
Encadrants : Gilles Villard & Claude-Pierre Jeannerod
Projet Ar´ enaire (LIP, ENS-Lyon)
22/01/2007
ECOLE NORMALE SUPERIEURE DE LYON
Guillaume Revy Rencontres Arithm´ etique de l’Informatique Math´ ematique 2007 1/19

Contexte
Probl` eme : comment ´
evaluer un polynˆ ome le plus rapidement possible en un
point quelconque, ` a une certaine pr´ ecision?
Solutions classiques : soit a(x) = a3x3+a2x2+a1x+a0. Quel sch´ ema utiliser
pour ´ evaluer ce polynˆ ome?
◮Sch´
ema de Horner :`(a3x+a2)x+a1´x+a0
→nmultiplications / nadditions
→m´ ethode pr´ ecise mais s´ equentielle
◮Sch´
ema de Estrin :(a3x+a2)x2+ (a1x+a0)
→n+log(n+1)−1multiplications / nadditions
→plus de multiplications que Horner mais ´ evaluation parall´ elisable
Guillaume Revy Rencontres Arithm´ etique de l’Informatique Math´ ematique 2007 2/19

Probl´ ematique
Il existe des m´ ethodes n´ ecessitant moins d’op´ erations :
⇒reposent sur une reformulation du polynˆ ome : phase de pr´ eparation
⇒pr´ eparation : effectu´ ee une fois pour toutes avant les ´ evaluations
◮Sch´
ema de Knuth & Eve :n
2multiplications / nadditions
◮Sch´
ema de Paterson & Stockmeyer :n
2+log(n)multiplications / 3n 2
additions
⇒m´ ethodes ` a base de pr´ eparation : int´ eressantes dans le cadre de
l’´ evaluation des fonctions ´ el´ ementaires (log,exp,cos,···)
→on peut se permettre une phase de pr´ eparation, mˆ eme coˆuteuse
Guillaume Revy Rencontres Arithm´ etique de l’Informatique Math´ ematique 2007 3/19

Extension aux sch´ emas hybrides
◮Soit un polynˆ
ome a(x) = Pn
i=0aixi:
a(x) = “n
X
i=k
aixi−k
|{z }
m´ ethode rapide
”·xk+
k−1
X
i=0
aixi
|{z }
m´ ethode pr´ ecise
→combinaison m´ ethode rapide et peu pr´ ecise / m´ ethode (( lente )) et pr´ ecise
◮Mise en ´
evidence de l’efficacit´ e des sch´ emas hybrides
→compenser les pertes de pr´ ecision
→bon compromis pr´ ecision / rapidit´ e
Guillaume Revy Rencontres Arithm´ etique de l’Informatique Math´ ematique 2007 4/19

Plan de l’expos´ e
´
Etude de l’algorithme de Knuth & Eve
Sch´ emas hybrides et fonctions ´ el´ ementaires
Conclusions et travaux en cours
Guillaume Revy Rencontres Arithm´ etique de l’Informatique Math´ ematique 2007 5/19