3. Séries de Dirichlet et fonctions multiplicatives

Th´eorie des Nombres et Applications : Volume 1
Philippe Elbaz-Vincent
Philippe Michel
Institut Fourier
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EPFL
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Table des mati`eres
Chapitre 1. Le Th´eor`eme des Nombres Premiers 5
1. La m´ethode d’Euler 7
2. La m´ethode de Chebychef 8
3. La m´ethode de Nair 13
Chapitre 2. Sommation de fonctions arithm´etiques 15
1. Approximation par une int´egrale, Int´egration par parties 16
2. Convolution de Dirichlet 18
3. Application au comptage des nombres premiers 20
4. Fonctions multiplicatives 22
5. Exercices 23
Chapitre 3. S´erie de Dirichlet 25
1. Rappel sur les s´eries enti`eres 25
2. S´eries de Dirichlet 26
3. S´eries de Dirichlet et fonctions multiplicatives 29
4. Les s´eries L32
5. Fonctions arithm´etiques : Formulaire RAPPEL 35
Chapitre 4. Le Th´eor`eme de la Progression Arithm´etique 37
1. Caract`eres d’un groupe ab´elien fini 38
2. Caract`eres de Dirichlet 43
3. D´ebut de la preuve du Th´eor`eme 4.3 45
4. Non-annulation des fonctions Lde Dirichlet au point 146
Chapitre 5. Le m´emoire de Riemann 51
Chapitre 6. L’´equation fonctionnelle 55
1. Quelques transformations int´egrales 55
2. Transform´ee de Mellin 59
3. L’´equation fonctionnelle de la fonction ζde Riemann 62
Chapitre 7. La factorisation d’Hadamard 65
1. Fonctions d’ordre born´e 65
2. Premi`ere estimation des z´eros 66
Chapitre 8. Les formules explicites 71
1. Application au comptage des z´eros de ζ. 71
2. Les formules explicites de Weil 73
Chapitre 9. Le Th´eor`eme de Hadamard-de la Vall´ee-Poussin 77
3

CHAPITRE 1
Le Th´eor`eme des Nombres Premiers
On connait depuis Euclide qu’il y a un infinitude des nombres premiers. En constatant par
l’absurde supposons qu’il n’existe que les nombres premiers p1,p2, .. ., pn. Et puis le nombre
p1p2···pn+1doit ˆetre un premier. Dans cette partie on va s’int´eresser `a quantifier cet ´enonc´e :
pour cela on d´efinit la fonction de comptage
π(x)=|{p∈P,pÉx}|.
Le th´eor`eme d’Euclide dit donc que π(x)→+∞ quand x→+∞ et la question qui se pose est
`a quelle vitesse ?
On peut faire assez facilement des exp´eriences de comptage des nombres premiers : il faut
d’abord en dresser la liste jusqu’`a une certaine limite. Une m´ethode simple et syst´ematique
est donn´ee par le crible d’ ´ Erathost`ene :
(1) On fait la liste de tous les entiers jusqu’`a X.
(2) On biffe 1(qui n’est pas premier)
(3) On garde 2et on biffe tous ses autres multiples
(4) On garde 3et on biffe tous les multiples de 3qui n’ont pas d´ej`a ´et´e ´elimin´es
(5) . . .
(6) le premier nombre non biff´e `a l’´etape pr´ec´edente est automatiquement premier, on le
garde et on biffe ces multiples
(7) . . .
Par exemple pour X=30, on obtient
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
23 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
2 3 5 7 11 13 17 19 23 25 29
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
···
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
Remarque 1.1. Dans l’exemple pr´ec´edent, on remarque qu’on obtient la liste des nombres
premiers ÉXd`es la troisi`eme ´etape (quand on biffe les multiples de 5). Cela s’explique sim-
plement par le crit`ere suivant :
Un entier nÊ2est compos´e, si et seulement si il admet un diviseur dv´erifiant 1<dÉpn.
Preuve. En effet si nadmet un divisieur 1<dÉpnalors n>1et d6=1,nparce que pn<n.
Ainsi nest compos´e. R´eciproquement, nun nombre compos´e et d6=1,nun diviseur, le nombre
5