TD – Compléments d`algèbre linéaire

LYCÉE CHAPTAL – PT* – 2016/2017 TD 1 COMPLÉMENTS D’ALGÈBRE LINÉAIRE
TD – Compléments d’algèbre linéaire
A Matrices
Exercice 1 — Soient a et b deux nombres complexes et A= ( ai,j ) la matrice
de Mn(C) définie par :
ai,j=(asi i6= j
bsi i=j
1. Calculer Ampour m∈N.
2. Trouver une condition nécessaire et suffisante sur a et b pour que la ma-
trice Asoit inversible et donner alors son inverse.
Exercice 2 — On considère la matrice M=
−3 2 5
−6 4 10
3−2−5
.
1. Quel est le rang de la matrice M?
2. Montrer qu’il existe deux vecteurs colonnes U,Vtels que M=UV T.
3. En déduire M2puis Mnpour n∈N.
Exercice 3 — Matrices nilpotentes
Soit A∈Mn ( R ), on dit que A est une matrice nilpotente s’il existe k∈N tel que
Ak= 0. Si une matrice A non nulle est nilpotente, on appelle indice de nilpotence
de Al’entier p∈Ntel que Ap−16= 0 et Ap=0.
1. Trouver une matrice de Mn(R) nilpotente d’indice n.
2. Montrer qu’en général, la somme de deux matrices nilpotentes n’est pas
nilpotente.
3. Montrer que si A,B sont deux matrices nilpotentes qui commutent alors
A+Bet AB sont nilpotentes.
4. Montrer que si A est nilpotente d’indice n , alors
n−1
X
k=0
Ak est inversible et
calculer son inverse.
Exercice 4 — Soit A=
3 1 −2
0 2 0
1 1 0 
.
Dans cet exercice, I désigne la matrice identité d’ordre 3 et O3 la matrice nulle
d’ordre 3. On se propose de calculer les puissances de Ade plusieurs manières.
1. Par diagonalisation
On pose P=
101
120
111
.
a) Démontrer que Pest inversible et donner son inverse.
b) Calculer D=P−1AP,Dnpuis An.
c) Montrer que Dest inversible et en déduire que Aest inversible.
En déduire alors l’expression de A−n en fonction de n , où n est un
entier naturel.
2. Par la formule du binôme de Newton
a) Soit B=A−2I. Pour n∈N∗, calculer Bnen fonction de B.
b)
En utilisant la formule du binôme, calculer l’expression de An en
fonction de n,Aet I.
3. Par polynôme annulateur
a) Montrer que A2−3A+2I=03.
b) Démontrer par récurrence qu’il existe deux suites
(an)n∈N
et
(bn)n∈N
telles que, pour tout entier n,
An=anA+bnI
Donner les relations de récurrence vérifiées par
(an)n∈N
et
(bn)n∈N
et
donner anet bnen fonction de n.
INDICATION :Quelle relation de récurrence vérifie (an+bn)n∈N?
En déduire l’expression de Anen fonction de n,Aet I.
c) Justifier que Aest inversible et donner son inverse.
Exercice 5 —
Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et lorsqu’elles
le sont, calculer leur inverse. Déterminer leur rang.
A=
1−1 2
−1 3 −1
1 2 4 
;B=
1 2 −1
−2−3 4
1 4 3 
;C=
−1 1 −1
2−1 1
4−2 3 
–1–

Exercice 6 — On considère les trois suites
(un)n∈N
,
(vn)n∈N
et
(wn)n∈N
définies
par (u0,v0,w0)∈R3et :
∀n∈N
un+1=2un+3wn
vn+1=vn
wn+1= −un+2vn−2wn
Exprimer le terme général de ces trois suites en fonction de n.
INDICATION :On pourra (par exemple) utiliser le fait qu’une certaine matrice A∈M3 ( R )
vérifie l’égalité A3−A2−A+I3=0.
Exercice 7 — On considère la matrice à coefficients réels suivante :
A=
1−1 0 0
0 1 0 0
0 0 −1 1
0 0 0 −1
Calculer Anpour n∈Z.
Exercice 8 — Soit n∈N∗,A,Bet Cappartenant à Mn(K) et enfin,
M=
InA C
0InB
0 0 In
∈M3n(K)
Montrer que Mest inversible et calculer M−1.
B Espaces vectoriels
Exercice 9 — On peut définir les sous-espaces vectoriels de Knpar la donnée :
d’équations cartésiennes :
A=©(x,y,z,t)∈R4|x+y−z−t=0,x+2z=0ª.
d’un paramétrage :
B=©(2a−b+2c,3a+2b−c,−b+c,c)|(a,b,c)∈R3ª
d’une famille génératrice :
C=Vect((0,−1,2,1),(1,2,1,0))
Écrire chacun de ces ensembles sous les trois formes possibles.
Exercice 10 — Montrer que l’ensemble des solutions réelles de l’équation diffé-
rentielle y00 +y0+y=0 est un espace vectoriel et en donner une base.
Exercice 11 — Déterminer l’ensemble des valeurs de m∈Rtelles que :
u=(m,1,m)∈Vect(v,w) avec v=(1,1,1) et w=(1,m,−1)
Exercice 12 — Soit ¡e1,...,ep¢une famille libre d’un K-e.v. E.
1. On pose ui=e1+ · · · + eipour tout entier icompris entre 1 et p.
La famille ¡u1,...,up¢est-elle libre ?
2. Reprendre la question avec vk=ek−ek+1si k∈ 1, p−1et vp=ep.
Exercice 13 —
1. Montrer que la famille ¡(X−λ)n¢n∈Noù λ∈Cest une base de C[X].
2. Déterminer les coordonnées de P=
n
X
k=0
akXkdans cette base.
Exercice 14 — On considère les trois suites complexes définies par :
∀n∈Nun=1 ; vn=jn;wn=n
Montrer que la famille ((un)n∈N,(vn)n∈N,(wn)n∈N) est libre.
Exercice 15 —
Montrer que les trois familles
(x7→ cos(nx))n∈N
,
(x7→ cosn(x))n∈N
et (x7→ enx )n∈Nsont libres dans F(R,R).
Exercice 16 — Déterminer un supplémentaire de :
1. F=©(x,y,z,t)∈R4|x+y−z=0,x−y+z+2t=0ªdans R4.
2. G=©P∈R3[X]|P(1) =P0(1) =0ªdans R4[X].
3. H=©f∈C1(R)|f(0) =f0(0) =0ªdans C1(R).
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Exercice 17 — Montrer que {M∈Mn(R)|Tr(M)=0} est un hyperplan de Mn(R).
Exercice 18 — Soient H1et H2deux hyperplans distincts de Rnoù nÊ2.
Montrer que dim(H1∩H2)=n−2.
Exercice 19 — Soit Eun K-e.v. de dimension finie et Fun s.e.v. distinct de E.
1. Montrer que si H est un hyperplan de E ne contenant pas F , alors
dim(F∩H)=dim(F)−1.
2. Montrer que F peut s’écrire comme une intersection d’un nombre fini
d’hyperplans.
3. Quel est le nombre minimum d’hyperplans nécessaire ?
Exercice 20 — Soit E=C([−2,2],R) et F=©f∈E| ∀k∈ −2,2f(k)=0ª.
1. Montrer que Fest un espace vectoriel. Est-il de dimension finie ?
2. Montrer que l’ensemble des fonctions polynomiales définies sur [ − 2 , 2] de
degré au plus 4 est un supplémentaire de Fdans E.
C Applications linéaires
Exercice 21 — Soit (e1,e2,e3) une base de R3et λun réel.
Démontrer que la donnée de f ( e1 ) =e1+e2,f ( e2 ) =e1−e2 et f ( e3 ) =e1+λe3
permet de définir un endomorphisme de R3.
Comment choisir λpour que fsoit injective ? surjective ?
Exercice 22 — Soient E=R3et fl’application définie sur R3par :
∀(x,y,z)∈R3,f(x,y,z)=(4x+y−z,2x+3y−z,2x+y+z)
1. Montrer que f∈L ( R3 ) puis construire sa matrice représentative dans la
base canonique.
2. Trouver deux réels distincts λ et µ tels que f−λidE et f−µidE ne soient
pas des automorphismes.
3. Montrer que E=Ker(f−λidE)⊕Ker(f−µidE).
4. Déterminer la matrice représentative de f dans une base adaptée à la
somme directe précédente.
Exercice 23 — Soient n∈Net ψ:Rn[X]−→ Rn[X]
P7−→ P(X+1) −P(X)
1. Montrer que ψest un endomorphisme de Rn[X].
2. a) Exprimer le degré de ψ(P) pour tout P∈Rn[X].
b) Déterminer Im(ψ) et Ker(ψ).
3. Soit P∈R[X] de degré n.
Montrer que (P,ψ(P),ψ2(P),...,ψn(P)) est une base de Rn[X].
4. a) Soient Q∈Rn−1 [ X ] et α∈R . Montrer qu’il existe un unique polynôme
P∈Rn[X] vérifiant :
P(X+1)−P(X)=Q(X) et P(0) =0
b) Déterminer un tel polynôme P pour Q=X ( X+ 1)( X+ 2) et en déduire
une expression simplifiée de
n
X
k=0
k(k+1)(k+2).
Exercice 24 — Soit n∈N . On considère l’application φ définie sur Rn [ X ] par
φ(P)=(X+1)P(X)−X P(X+1).
1. L’application φdéfinit-elle un endomorphisme de Rn[X] ?
2. Déterminer le noyau de φ.
3. L’application est-elle surjective ?
Exercice 25 — On considère l’application ϕdéfinie sur M2(R) par :
∀M∈M2(R), ϕ(M)=AM où A=µ1 2
3 6¶
Montrer que ϕ∈L(M2(R)) et construire sa matrice dans la base canonique.
Exercice 26 — Soit E un K -e.v. de dimension n et f un endomorphisme de E tel
que pour tout u∈E, (u,f(u)) est liée. Montrer que fest une homotéthie.
Exercice 27 — Soient Eun K-e.v. et f,g∈L(E).
1. Montrer que Ker(f)⊂Ker(g◦f) et Im(g◦f)⊂Img.
2. Montrer que f(Ker(g◦f)) =Kerg∩Im f.
–3–

Exercice 28 — Soient f et g deux endomorphismes d’un espace vectoriel E tels
que g◦f=f◦g. Montrer que Ker fet Im fsont stables par g.
Exercice 29 — Soient E et F deux espaces vectoriels de dimension finie n et
f∈L(E,F) tels qu’il existe g∈L(F,E) vérifiant g◦f=idE.
Montrer que fest injective, gsurjective puis conclure.
Exercice 30 — Soient E,F et G trois K -e.v. et deux applications linéaires
f∈L(E,F) et g∈L(F,G).
1. Montrer que : Ker(g◦f)=Ker f⇐⇒ Ker g∩Im f={0F}
2. Montrer que : Im(g◦f)=Img⇐⇒ Kerg+Im f=F
Exercice 31 — Soient Eun K-e.v. et f∈L(E).
1. Montrer que : Ker f=Ker f2⇐⇒ Ker f∩Im f={0E}
2. Montrer que : Im f=Im f2⇐⇒ E=Ker f+Im f
3. En déduire qu’en dimension finie,
Ker f=Ker f2⇐⇒ Im f=Im f2⇐⇒ E=Ker f⊕Im f
Exercice 32 —
On note E=R3 muni de sa base canonique B= ( e1,e2,e3 ) et f un
endomorphisme non nul de Etel que f3+f=0L(E).
1. On suppose que fest injective.
a) Montrer que f2= −idE.
b) En déduire que (e1,f(e1)) est une famille libre.
c) Trouver alors une contradiction en considérant une base de la forme
(e1,f(e1),u) et en conclure que Ker(f)6= {0E}.
2. Justifier alors que dim(Ker(f)) ∈{1,2}.
3. Montrer que : E=Ker(f)⊕Ker(f2+idE).
4. On pose F=Ker(f2+idE) et on note uun vecteur non nul de F.
a) Montrer que f(u)∈Fet que (u,f(u)) est libre.
b) En déduire que dim(Ker(f2+idE)) =2 et dim(Ker(f)) =1.
c) On considère vun vecteur non nul de Ker(f).
Montrer que B0=(v,u,f(u)) est une base de E.
d) Donner la matrice représentative de fdans B0.
Exercice 33 — Soit E un espace de dimension finie 2 p avec pÊ 1 et ϕ∈L ( E ).
Montrer qu’il y a équivalence entre les propriétés :
(i) ϕ2=0 et rg(ϕ)=p
(ii) Im(ϕ)=Ker(ϕ)
(iii) ∃A∈GLp(K) telle que µ0A
0 0¶soit la matrice de ϕdans une certaine base.
Exercice 34 — Endomorphismes nilpotents
Soit E un K -e.v. de dimension n . On suppose que f∈L ( E ) est nilpotente, d’indice
de nilpotence p, c’est-à-dire que : fp=˜ 0 et fp−16= ˜ 0.
1. Montrer qu’il existe x0∈Etel que F=(x0,f(x0),..., fp−1(x0)) est libre.
En déduire que pÉn.
2. Soit Bune base de Eobtenue en complétant la famille F.
Quelle est la forme de la matrice de fdans cette base ?
3. Que peut-on dire de la suite (rg(fk))k∈N?
4. L’application fest-elle diagonalisable ?
Exercice 35 — Trouver toutes les suites (un)n∈Nvérifiant la condition :
∀n∈Nun+1=5un−2·3n
D Projecteurs et symétries vectoriels
Exercice 36 — Soient f et g les endomorphismes de R3 canoniquement associés
aux matrices :
M=1
4
4 2 4
0 2 −4
0−1 2 
et N=
3 4 4
−1−1−2
−1−2−1
Montrer que f est une projection vectorielle et g une symétrie vectorielle ; déter-
miner leurs caractéristiques géométriques.
Exercice 37 — On se place dans R3 muni de la base canonique ( e1,e2,e3 ). On
considère le plan Pet la droite Dd’équations respectives :
P:x+y+z=0D:(x−y+z=0
x+y+2z=0
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1. Déterminer la matrice dans la base canonique de la projection p sur le
plan Pparallèlement à la droite D.
2. Faire de même avec la symétrie spar rapport à Pparallèlement à D.
Exercice 38 — Soient E un espace vectoriel de dimension n , f et g deux endo-
morphismes de Etels que f+g=idEet rg(f)+rg(g)Én.
1. Montrer que Ker(g)=Im(f).
2. Que peut-on en déduire concernant g◦f?
3. Montrer que fet gsont des projecteurs.
Exercice 39 — Soit pet qdeux projecteurs.
1. Montrer que p+qest un projecteur ssi p◦q+q◦p=0L(E).
2. En déduire que p+qest un projecteur ssi p◦q=q◦p=0L(E).
Exercice 40 — Soit E un K -e.v. et p,q deux projecteurs de E vérifiant p◦q= 0. On
pose r=p+q−q◦p.
1. Montrer que rest un projecteur.
2. Montrer que Kerr=Kerp∩Kerq.
3. Montrer que Imr=Imp⊕Imq.
Exercice 41 — Soit E un K -e.v. et p,q deux projecteurs de E tels que p◦q=q◦p .
1. Montrer que p◦qest un projecteur.
2. Montrer que Imp◦q=Imp∩Im q.
3. Montrer que Kerp◦q=Ker p+Kerq.
Exercice 42 — Soient fet gdeux endomorphismes d’un K-e.v. de dim. finie.
1. Si f◦g◦f=f, montrer que f◦get g◦fsont des projecteurs et que :
Ker(g◦f)=Ker(f) et Im(f◦g)=Im(f)
2. Montrer que deux quelconques des propriétés suivantes entraînent la troi-
sième :
(a) f◦g◦f=f(b) g◦f◦g=g(c) rg(f)=rg(g)
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