Déterminants 1 Formes n-linéaires sur E = Kn. - Arthur Lannuzel

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le 18 F´evrier 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL
http ://mathutbmal.free.fr
D´eterminants
K=Rou C.
Eun K-esp. vect. (on sait que dans le cas d’un espace vectoriel de dimension finie n, quitte `a
choisir une base, on peut identifier Eet Kn.)
1 Formes n-lin´eaires sur E=Kn.
D´efinition 1.1 i) Une application ϕ:En−→ Kest dite forme n-lin´eaire si ϕest lin´eaire
par rapport `a chaque variable :
-∀v, u1, ..., un∈E,
ϕ(u1, ..., ui−1, ui+v, ui+1, ..., un) = ϕ(u1, ..., ui−1, ui, ui+1, ..., un) + ϕ(u1, ..., ui−1, v, ui+1, ..., un)
-∀u1, ..., un∈E, ∀λ∈K, ϕ(u1, ..., ui−1, λ.ui, ui+1, ..., un) = λ.ϕ(u1, ..., ui−1, ui, ui+1, ..., un).
ii) Une forme n-lin´eaire est dite antisym´etrique si
∀i < j, ϕ(u1, ..., ui−1, ui, ..., uj, uj+1, ..., un) = −ϕ(u1, ..., ui−1, uj, ..., ui, uj+1, ..., un).
iii) L’ensemble des formes n-lin´eaires antisym´etriques sur Kest not´e An(K)(c’est un
K-espace vectoriel).
Proposition 1.2 Soit ϕune forme n-lin´eaire sur Ealors :
ϕ antisym`etrique ⇐⇒ ϕ altern´ee (i.e. xi=xjavec i ̸=j=⇒ϕ(x1, x2, ..., xn) = 0.
Preuve.
=⇒) Supposons ϕsym´etrique. Alors ϕ(x1, ..., xi, .., xj, .., xn) = −ϕ(x1, ..., xj, .., xi, .., xn) donc,
si xi=xjon a ϕ(x1, ..., xi, .., xj, .., xn) = 0.
⇐=) Si ϕaltern´ee alors ϕ(x1, ..., xi+xj, .., xj+xi, .., xn) = 0.
Mais ϕ(x1, ..., xi+xj, .., xj+xi, .., xn) = ϕ(x1, ..., xi, .., xj, .., xn) + ϕ(x1, ..., xj, .., xi, .., xn) +
ϕ(x1, ..., xi, .., xi, .., xn) + ϕ(x1, ..., xj, .., xj, .., xn)
et ϕ(x1, ..., xi, .., xi, .., xn) = ϕ(x1, ..., xj, .., xj, .., xn) = 0.
Donc ϕest antisym´etrique.
CQFD

2
2 D´eterminant.
2.1 d´efinition.
EKesp.vect. de dimension n. Soit B={e1, e2, ..., en}une base de E.
Soit ϕ:En−→ Kune forme n-lin´eaire altern´ee.
Soit (x1, x2, ..., xn)∈En.´ Etudions ϕ(x1, x2, ..., xn) en tenant compte de B.
On a :
x1
!
=a1,1.e1+a2,1.e2+... +an,1.en,
x2
!
=a1,2.e1+a2,2.e2+... +an,2.en,
...
xn
!
=a1,n.e1+a2,n.e2+... +an,n.en.
Alors
ϕ(x1, x2, ..., xn) = ϕ(a1,1.e1+... +an,1.en, a1,2.e1+... +an,2.en, , ..., a1,n.e1+... +an,n.en)
=n
i1=1 ai1,1ϕ(ei1,n i2=1 ai2,2ei2, ..., n in=1 ain,nein)
=n
i1=1 ai1,1n i2=1 ai2,2ϕ(ei1, ei2, ..., n in=1 ain,nein)
=n
i1=1 ai1,1n i2=1 ai2,2... n in=1 ain,nϕ(ei1, ei2, ..., ein)
Mais ϕ(ei1, ei2, ..., ein) = 0 d`es que ∃ik=ik′avec k̸=k′,
donc ϕ(x1, x2, ..., xn) = n
σ∈Snaσ(1),1aσ(2),2...aσ(n),nϕ(ei1, ei2, ..., ein) o`u Snest l’ensemble des
permutations de (1, ..., n) (i.e. les bijections de {1, ..., n}dans {1, ..., n})
Pour σ∈Sn, on pose ϵσ, la signature de σ:ϵσ= (−1)ko`u kest le nombre de permutations de
2 termes n´ecessaires dans (σ(1), σ(2), ..., σ(n)) pour obtenir (1,2, ..., n).
Exemples 2.1 σ=123456
231564est une permutation de (1,2,3,4,5,6) donne
ϵσ= (−1)4= 1.
Conclusion : ϕ(x1, x2, ..., xn) = σ∈Snϵσaσ(1),1aσ(2),2...aσ(n),n.ϕ(e1, e2, ..., en) avec ϕ(e1, e2, ..., en)∈
K.
On en d´eduit le
Th´eor`eme 2.2 Soit EKe.v. muni d’une base B={e1, e2, ..., en}.
L’espace vectoriel sur Kdes formes n-lin´eaires altern´ee d´efinie sur Eest de dimension 1.
Chaque forme n-lin´eaire altern´ee ϕ0est uniquement d´etermin´ee par la donn´ee de ϕ0(e1, e2, ..., en) =
k0∈K.

3
D’o`u la
D´efinition 2.3 Soit EKe.v. muni d’une base B={e1, e2, ..., en}(donc E∼
=Kn). La forme
n-lin´eaire ϕ0d´efinie par ϕ0(e1, e2, ..., en)=1est appel´ee d´eterminant dans la base B=
{e1, e2, ..., en}donc
detB:En−→ K
(V1, V2, ..., Vn)7→ σ∈Snϵσxσ(1),1xσ(2),2...xσ(n),n
o`u ∀i∈ {1,2, ..., n},ViB=
x1,i
x2,i
...
xn,i
.
Exemples 2.4 Soit EK-e.v. de base B={e1, e2, e3}.
x1B=
1
2
3
,x2B=
1
0
1
,x3B=
1
1
0
.
2.2 Propri´et´es du d´eterminant.
Propri´et´es 2.5 Soit Eun K-e.v. muni d’une base B={e1, e2, ..., en}.
i) Si B′= (e′
1, e′ 2, ..., e′ n)est une autre base de Ealors
det
B′(V1, ..., Vn) = det B′(B).det
B(V1, V2, ..., Vn) (admis).
ii) Si Vi= 0 alors detB(V1, V2, ..., Vn) = 0 (exo.).
iii) Si Vi=λ.Vj(i̸=j)pour λ∈Kalors detB(V1, V2, ..., Vn) = 0 (exo.).
iv) Important (exo.) :detB(V1, ..., Vi+j̸=iλj.Vj, ..., Vn) = detB(V1, ..., Vi, ..., Vn).
i.e. On ne change pas le calcul du d´eterminant lorsqu’on ajoute `a un vecteur une combinaison
lin´eaire des autres.
Exercice 2.6 E=K2de base B={e1, e2}.
Soient x=a.e1+b.e2et y=c.e1+d.e2.
det
B(x, y) = 
a c
b d 
=?
Corollaire 2.7 Soit Bune base finie de E.
{u1, u2, ..., un}libre ⇐⇒ det
B(u1, u2, ..., un} ̸= 0.

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Preuve.
⇐=) Evident d’apr`es les propri´et´es.
=⇒)u1, u2, ..., unlibres donc F={u1, u2, ..., un}est une base de Edonc
det
B(F).det F(B) = det B(B) = 1,
donc detF(B)̸= 0.
CQFD
3 D´eterminant d’une matrice carr´ee et mode de calcul.
D´efinition 3.1 Soit A= (ai,j )1≤i,j≤n∈ Mn(K)alorsdet(A) = 
a1,1... a1,n
... ... ...
an,1... an,n
est le d´eterminant
dans la base canonique de Kndes nvecteurs colonnes de A.
Propri´et´es 3.2 Soit A, B ∈ Mn(K).
a) det(A) = det(tA). (le v´erifier pour A∈ M3(R))
b) ∀λ∈K,det(λ.A) = λn.det(A). (exo.)
c) det(A.B) = det(A).det(B). (le v´erifier pour A, B ∈ M3(R))
d) A inversible ⇐⇒ det(A)̸= 0,
et, si Ainversible, det(A−1) = 1
det(A). (exo.)
e) Si Aet Bsont semblables (i.e. ∃P∈ Gln(K)/B =P−1.A.P ) alors det B= det A. (exo.)
La r´eciproque est fausse.
D´efinition 3.3 Soit A∈ M(K).
Pour 1≤i, j ≤n, on appelle mineur Ai,j de la matrice A, le d´eterminant de la matrice obtenue
`a partir de Aen supprimant le ii`eme ligne et la ji`eme colonne.
Exemples 3.4 Si A=
210
321
113
Application 3.5 Rang d’une famille de vecteurs :
F={
1
3
3
1
,
2
4
5
1
,
3
7
8
2
,
2
6
6
2
}.

5
Proposition 3.6 (calcul de d´eterminant)
a - D´eveloppement par rapport `a la ki`eme ligne
det(A) =
n
j=1
(−1)k+j.ak,j .Ak,j .
b - D´eveloppement par rapport `a la ki`eme ligne
det(A) =
n
i=1
(−1)k+i.ai,k.Ai,k.
Exercice 3.7 V´erifier la proposition pr´ec´edente pour A∈ M3(K).
Exemples 3.8 A=
3 0 −2
2 4 1
1 0 −1
.
Application 3.9 d´eterminant d’une matrice triangulaire (en exo.)
Comment simplifier le calcul ?
i) Si les lignes (ou les colonnes) sont li´ees, le d´eterminant est nul.
ii) Si on ´echange 2 lignes ou 2 colonnes, le d´eterminant change de signe.
iii) Si on ajoute `a une colonne (resp. une ligne), une combinaison lin´eaire des autres colonnes
(resp. lignes),le d´eterminant ne change pas.
Exemples 3.10
1 1 1 1
2 3 3 2
1 2 3 4
1 2 4 5
4 D´eterminant d’un endomorphisme.
EKe.v.
Soient f∈End(E) et B={e1, e2, ..., en}une base de E.
On sait que Mf,B=f(e1)Bf(e2)B... f(en)B.
Soit B′={e′
1, e′ 2, ..., e′ n}, une autre base de Ealors
Mf,B′=PB′,B.Mf,B.P −1
B′,B,
donc det(Mf,B′) = det(Mf,B).