Déterminants 1 Formes n-linéaires sur E = Kn. - Arthur Lannuzel

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le 18 Février 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL
http ://mathutbmal.free.fr
Déterminants
K = R ou C.
E un K-esp. vect. (on sait que dans le cas d’un espace vectoriel de dimension finie n, quitte à
choisir une base, on peut identifier E et Kn .)
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Formes n-linéaires sur E = Kn.
Définition 1.1 i) Une application ϕ : E n −→ K est dite forme n-linéaire si ϕ est linéaire
par rapport à chaque variable :
- ∀v, u1 , ..., un ∈ E,
ϕ(u1 , ..., ui−1 , ui + v, ui+1 , ..., un ) = ϕ(u1 , ..., ui−1 , ui , ui+1 , ..., un ) + ϕ(u1 , ..., ui−1 , v, ui+1 , ..., un )
- ∀u1 , ..., un ∈ E, ∀λ ∈ K, ϕ(u1 , ..., ui−1 , λ.ui , ui+1 , ..., un ) = λ.ϕ(u1 , ..., ui−1 , ui , ui+1 , ..., un ).
ii) Une forme n-linéaire est dite antisymétrique si
∀i < j, ϕ(u1 , ..., ui−1 , ui , ..., uj , uj+1 , ..., un ) = −ϕ(u1 , ..., ui−1 , uj , ..., ui , uj+1 , ..., un ).
iii) L’ensemble des formes n-linéaires antisymétriques sur K est noté An (K) (c’est un
K-espace vectoriel).
Proposition 1.2 Soit ϕ une forme n-linéaire sur E alors :
ϕ antisymètrique ⇐⇒ ϕ alternée (i.e. xi = xj avec i ̸= j =⇒ ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = 0.
Preuve.
=⇒) Supposons ϕ symétrique. Alors ϕ(x1 , ..., xi , .., xj , .., xn ) = −ϕ(x1 , ..., xj , .., xi , .., xn ) donc,
si xi = xj on a ϕ(x1 , ..., xi , .., xj , .., xn ) = 0.
⇐=) Si ϕ alternée alors ϕ(x1 , ..., xi + xj , .., xj + xi , .., xn ) = 0.
Mais ϕ(x1 , ..., xi + xj , .., xj + xi , .., xn ) = ϕ(x1 , ..., xi , .., xj , .., xn ) + ϕ(x1 , ..., xj , .., xi , .., xn ) +
ϕ(x1 , ..., xi , .., xi , .., xn ) + ϕ(x1 , ..., xj , .., xj , .., xn )
et ϕ(x1 , ..., xi , .., xi , .., xn ) = ϕ(x1 , ..., xj , .., xj , .., xn ) = 0.
Donc ϕ est antisymétrique.
CQFD
2
2
2.1
Déterminant.
définition.
E K esp.vect. de dimension n. Soit B = {e1 , e2 , ..., en } une base de E.
Soit ϕ : E n −→ K une forme n-linéaire alternée.
Soit (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ E n . Étudions ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) en tenant compte de B.
On a :
!
x1 =a1,1 .e1 + a2,1 .e2 + ... + an,1 .en ,
!
x2 =a1,2 .e1 + a2,2 .e2 + ... + an,2 .en ,
...
!
xn =a1,n .e1 + a2,n .e2 + ... + an,n .en .
Alors
ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) = ∑
ϕ(a1,1 .e1 + ... + a∑
n,1 .en , a1,2 .e1 + ...
∑+n an,2 .en , , ..., a1,n .e1 + ... + an,n .en )
n
n
= ∑i1 =1 ai1 ,1 ϕ(e
∑ i1 , i2 =1 ai2 ,2 ei2 , ..., ∑inn =1 ain ,n ein )
= ∑ni1 =1 ai1 ,1 ∑ni2 =1 ai2 ,2 ϕ(e∑
i1 , ei2 , ...,
in =1 ain ,n ein )
n
n
n
= i1 =1 ai1 ,1 i2 =1 ai2 ,2 ... in =1 ain ,n ϕ(ei1 , ei2 , ..., ein )
Mais ϕ(ei1 , ei2 , ..., ein ) = 0∑dès que ∃ik = ik′ avec k ̸= k ′ ,
n
donc ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) =
σ∈Sn aσ(1),1 aσ(2),2 ...aσ(n),n ϕ(ei1 , ei2 , ..., ein ) où Sn est l’ensemble des
permutations de (1, ..., n) (i.e. les bijections de {1, ..., n} dans {1, ..., n})
Pour σ ∈ Sn , on pose ϵσ , la signature de σ : ϵσ = (−1)k où k est le nombre de permutations de
2 termes nécessaires dans (σ(1), σ(2), ..., σ(n)) pour obtenir (1, 2, ..., n).
(
)
123456
Exemples 2.1 σ =
est une permutation de (1, 2, 3, 4, 5, 6) donne
231564
ϵσ = (−1)4 = 1.
Conclusion : ϕ(x1 , x2 , ..., xn ) =
K.
∑
σ∈Sn ϵσ aσ(1),1 aσ(2),2 ...aσ(n),n .ϕ(e1 , e2 , ..., en )
avec ϕ(e1 , e2 , ..., en ) ∈
On en déduit le
Théorème 2.2 Soit E K e.v. muni d’une base B = {e1 , e2 , ..., en }.
L’espace vectoriel sur K des formes n-linéaires alternée définie sur E est de dimension 1.
Chaque forme n-linéaire alternée ϕ0 est uniquement déterminée par la donnée de ϕ0 (e1 , e2 , ..., en ) =
k0 ∈ K.
3
D’où la
Définition 2.3 Soit E K e.v. muni d’une base B = {e1 , e2 , ..., en } (donc E ∼
= Kn ). La forme
n-linéaire ϕ0 définie par ϕ0 (e1 , e2 , ..., en ) = 1 est appelée déterminant dans la base B =
{e1 , e2 , ..., en } donc
detB :
où ∀i ∈ {1, 2, ..., n}, ViB
En
−→ ∑
K
(V1 , V2 , ..., Vn ) 7→
σ∈Sn ϵσ xσ(1),1 xσ(2),2 ...xσ(n),n


x1,i
 x2,i 

=
 ...  .
xn,i
Exemples
2.4 Soit EK-e.v.
 de baseB ={e1 , e2 , e3 }.
 
1
1
1





1 .
0 , x3B =
2 , x2B =
x1B =
0
1
3
2.2
Propriétés du déterminant.
Propriétés 2.5 Soit E un K-e.v. muni d’une base B = {e1 , e2 , ..., en }.
i) Si B ′ = (e′1 , e′2 , ..., e′n ) est une autre base de E alors
det
(V1 , ..., Vn ) = det
(B). det(V1 , V2 , ..., Vn ) (admis).
′
′
B
B
B
ii) Si Vi = 0 alors detB (V1 , V2 , ..., Vn ) = 0 (exo.).
iii) Si Vi = λ.Vj (i ̸= j) pour λ ∈ K alors detB (V1 , V2 , ..., Vn ) = 0 (exo.).
∑
iv) Important (exo.) :detB (V1 , ..., Vi + j̸=i λj .Vj , ..., Vn ) = detB (V1 , ..., Vi , ..., Vn ) .
i.e. On ne change pas le calcul du déterminant lorsqu’on ajoute à un vecteur une combinaison
linéaire des autres.
Exercice 2.6 E = K2 de base B = {e1 , e2 }.
Soient x = a.e1 + b.e2 et y = c.e1 + d.e2 .
a c
det(x, y) = b d
B
=?
Corollaire 2.7 Soit B une base finie de E.
{u1 , u2 , ..., un } libre ⇐⇒ det(u1 , u2 , ..., un } =
̸ 0.
B
4
Preuve.
⇐=) Evident d’après les propriétés.
=⇒) u1 , u2 , ..., un libres donc F = {u1 , u2 , ..., un } est une base de E donc
det(F). det(B) = det(B) = 1,
B
F
B
donc detF (B) ̸= 0.
CQFD
3
Déterminant d’une matrice carrée et mode de calcul.
a1,1 ... a1,n
Définition 3.1 Soit A = (ai,j )1≤i,j≤n ∈ Mn (K) alorsdet(A) = ... ... ...
an,1 ... an,n
n
dans la base canonique de K des n vecteurs colonnes de A.
est le déterminant
Propriétés 3.2 Soit A, B ∈ Mn (K).
a) det(A) = det(t A). (le vérifier pour A ∈ M3 (R))
b) ∀λ ∈ K, det(λ.A) = λn . det(A). (exo.)
c) det(A.B) = det(A). det(B). (le vérifier pour A, B ∈ M3 (R))
d) A inversible ⇐⇒ det(A) ̸= 0,
1
. (exo.)
et, si A inversible, det(A−1 ) = det(A)
e) Si A et B sont semblables (i.e. ∃P ∈ Gln (K)/B = P −1 .A.P ) alors det B = det A. (exo.)
La réciproque est fausse.
Définition 3.3 Soit A ∈ M(K).
Pour 1 ≤ i, j ≤ n, on appelle mineur Ai,j de la matrice A, le déterminant de la matrice obtenue
à partir de A en supprimant le iième ligne et la j ième colonne.


2 1 0
Exemples 3.4 Si A =  3 2 1 
1 1 3
Application
  3.5
 Rang
 de vecteurs :
 d’une
 famille
1
2
3
2
 3   4   7   6 
      
F = {
 3  ,  5  ,  8  ,  6 }.
1
1
2
2
5
Proposition 3.6 (calcul de déterminant)
a - Développement par rapport à la k ième ligne
n
∑
(−1)k+j .ak,j .Ak,j .
det(A) =
j=1
b - Développement par rapport à la k ième ligne
det(A) =
n
∑
(−1)k+i .ai,k .Ai,k .
i=1
Exercice 3.7 Vérifier la

3

2
Exemples 3.8 A =
1
proposition précédente pour A ∈ M3 (K).

0 −2
4 1 .
0 −1
Application 3.9 déterminant d’une matrice triangulaire (en exo.)
Comment simplifier le calcul ?
i) Si les lignes (ou les colonnes) sont liées, le déterminant est nul.
ii) Si on échange 2 lignes ou 2 colonnes, le déterminant change de signe.
iii) Si on ajoute à une colonne (resp. une ligne), une combinaison linéaire des autres colonnes
(resp. lignes),le déterminant ne change pas.
Exemples 3.10
4
1
2
1
1
1
3
2
2
1
3
3
4
1
2
4
5
Déterminant d’un endomorphisme.
E K e.v.
Soient f ∈ End(E) et
( B = {e1 , e2 , ..., en } une base )de E.
On sait que Mf,B = f (e1 )B f (e2 )B ... f (en )B .
Soit B ′ = {e′1 , e′2 , ..., e′n }, une autre base de E alors
Mf,B′ = PB′ ,B .Mf,B .PB−1
′ ,B ,
donc det(Mf,B′ ) = det(Mf,B ).
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On peut donc poser la
Définition 4.1 E K e.v.
Soient f ∈ End(E) et B = {e1 , e2 , ..., en } une base de E.
On définit le déterminant de f par
det(f ) := det(Mf,B ) = det(f (e1 )B , f (e2 )B , ..., f (en )B )
Proposition 4.2
Soit f ∈ End(E) alors
f bijectif ⇐⇒ det(f ) ̸= 0.
Preuve.
Claire puisque
f bijective ⇐⇒ Mf,B inversible
et
Mf,B inversible ⇐⇒ det(Mf,B ) ̸= 0.
CQFD