Ch4-Var. aléa. réelles discrètes

Statenstock Eléments de Statistique / Ch 4- Variables aléatoires réelles discrètes 1/23
ELEMENTS DE STATISTIQUE
(Statenstock)
Chapitre 4 - Notions sur les variables aléatoires réelles discrètes.
I. Généralités
La notion de variable aléatoire formalise la notion de grandeur variant selon le résultat dû au
hasard d’une expérience aléatoire (encore appelée épreuve).
Quand la grandeur est mesurable ou repérable, c'est-à-dire quantitative, on parle de variable
aléatoire réelle (VAR).
On a besoin de définir au préalable quelques notions de base.
1. Epreuve aléatoire, résultat et univers
En probabilité, on est amené à utiliser la notion d’épreuve : c’est une expérience aléatoire, c’est-
à-dire dont le résultat, unique à chaque expérience, dépend du hasard.
On note souvent :
ω le résultat d’une épreuve (ω est aussi appelé “événement élémentaire”)
Ω l'ensemble fini ou infini de tous ces résultats, appelé univers, référentiel ou ensemble
fondamental.
Exemple 1
On lance une pièce de monnaie. On admet qu'elle ne peut pas restée sur la tranche.
Il y a alors 2 résultats possibles : Ω = {pile; face}; ω = “pile” ou ω = “face”.
Exemple 2
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On relève comme résultat est le nombre figurant sur la face supérieure.
Il y a 6 résultats possibles : Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ; ω = 1 ou ω = 2 ou … ω = 6.
Exemple 3
On lance deux dés, un rouge et un vert dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
On relève comme résultat est le couple (a; b) où a est le nombre figurant sur la face supérieure du
dé rouge et b le nombre figurant sur la face supérieure du dé vert.
(On aurait pu faire le contraire))
L’univers est alors formé de 36 résultats : Ω = {(1,1) ; (1,2) ; … ; (5,6) ; (6,6)}.
ω = (1,1) ou ω = (1,2) ou …ω = (6,6).
Exemple 4
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On regarde la carte.
L’univers Ω est alors formé de 32 résultats : Ω = {AT; ACa; ACo; AP; …; 7T; 7Ca; 7Co; 7P}
ω = “AT” = “As de Trèfle,” ou ω = “ACo” = “As de Coeur,”…ou … ω = “7P” = “7 de Pique”.
Exemple 5
On interroge 1 000 personnes au hasard (dont Antoine, Myriam, …) parmi les 50 millions
d'adultes vivant en France. L’univers Ω est alors formé des 1000 personnes interrogées.
ω = “Antoine” ou ω = “Myriam” ou …etc.

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Exemple 6
Sur un standard téléphonique, on relève les appels passés au cours d’une journée.
On ne connaît pas le nombre maximum d’appels que l’on peut passer.
On considérera que l’ensemble Ω des appels est infini mais dénombrable (à valeurs séparées).
ω désigne l’un des appels.
2. Notion de variable aléatoire
Notion intuitive (donc approximative) : “une variable aléatoire réelle est un nombre qui varie en
fonction du résultat d'une épreuve aléatoire”.
Plus précisément, pour nous, on donnera la définition suivante :
Une variable aléatoire est une application (souvent désignée par une lettre majuscule X, Y, Z,
T, …) d’un univers Ω
ΩΩ
Ω muni d’une probabilité dans .
Cette définition est mathématiquement insuffisante mais elle nous conviendra à notre niveau.
A tout résultat ω de Ω, la variable aléatoire X associe un réel X(ω).
X : ω → X(ω) de Ω dans 
X(ω) est une valeur prise par la variable : elle peut aussi être notée aussi x ou k si c’est un entier.
X(Ω) désigne l’ensemble de toutes les valeurs prises par la variable X sur Ω.
Sur un univers associé à une épreuve donnée, on peut définir une infinité de variables
aléatoires.
Reprenons les exemples précédents.
Exemple 1
Si l'on code le résultat en posant X = 1 si on obtient “pile” et X = 0 si l'on obtient “face”, X est
alors une variable aléatoire réelle et X(Ω = {0; 1}.
A ω = “pile”, X associe le réel 1. A ω = “face”, X associe le réel 0.
On parle dans ce cas là de variable de Bernoulli (voir § infra)
Exemple 2
On note Y le nombre figurant sur la face supérieure.
Dans ce cas exceptionnel Ω et Y(Ω) sont confondus : Y(Ω) = {1; 2; 3; 4; 5; 6}.
Exemple 3
On peut définir plusieurs variables aléatoires. Un résultat ω est un couple (a; b).
Si on pose : S(a; b) = a + b, on définit une variable S.
La somme S des points lus sur les faces supérieures est une variable aléatoire réelle.
Au résultat ω = (3,2), S associe 3 + 2. On peut noter : S(3,2) = 5.
Au résultat ω = (a,b), S associe a + b. On peut noter : S(a,b) = a + b.
A un résultat ω = (a; b), S associe un réel qui est un naturel compris entre 2 et 12.
S est une application de Ω dans {2 ; 3 ; … ; 12}. On note : S(Ω) = {2 ; 3 ; … ; 12}.
Mais, on peut aussi poser : D(a; b) = a – b ou X(a; b) = 2a – 3b.
On peut ainsi, toujours sur ce même univers en définir une infinité.
Exemple 4
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes après avoir miser 3 €.
Pour un as tiré, on gagne 10 € ; pour un roi, une dame ou un valet, on gagne 2 € ; pour une autre
carte, on ne gagne rien. Le gain algébrique G est le gain moins la mise.
C’est une variable aléatoire réelle qui prend comme valeurs – 3, – 1 et 7 : G(Ω) = {– 3 ; – 1 ; 7}.

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Exemple 5
On interroge 1 000 personnes au hasard parmi les 50 millions d'adultes vivant en France.
On demande à chacune si elle utilise les transports en commun pour se rendre au travail.
On note Z le nombre de personnes ayant répondu oui.
Z est une variable aléatoire réelle qui peut prendre toutes les valeurs entières de 0 à 1000.
Z(Ω) = {0; 1; 2; …; 1000}= [[0; 1000]]
Si l'on pose F
n
=
0001
Z, F
n
est une autre variable aléatoire réelle qui peut prendre des valeurs
décimales entre 0 et 1 et qui est la fréquence des personnes ayant répondu “oui”.
F
n
( Ω ) ⊂ [0 ; 1] ou plus précisément : F
n
( Ω ) = {k/1000; k ∈ [[0; 1000]]}.
Exemple 6
Sur le standard téléphonique, on note H le nombre d'appels téléphoniques reçus et K le nombre
d'appels téléphonique passés au cours d'une journée. H( Ω ) = et K( Ω ) = .
Exemple 7 : sur une ligne d’autobus où la fréquence des véhicules est régulière (disons, un
toutes les 15 minutes), le temps d’attente ∆ en minutes d’un client qui arrive au hasard à l’arrêt
est une variable aléatoire qui prend toutes les valeurs de l’intervalle [0 ; 15[ : ∆ ( Ω ) = [0 ; 15[.
Une variable aléatoire peut prendre :
• un nombre fini de valeurs, comme S et G ci-dessus : ces variables sont dites discrètes (ou
discontinues) finies . Exemples : X, Y, S, D, G, Z ci-dessus.
• un nombre infini de valeurs mais dénombrable (valeurs “isolées”) : ces variables sont
discrètes infinies . Exemples : H et K.
• toute valeur d’un intervalle I de , cette variable est dite continue ou encore, variable à
densité ( sous certaines conditions que nous préciserons plus tard). Exemple : ∆ .
3. Evénement; événement lié à une variable aléatoire
a) Un événement A est une partie de Ω , c’est-à-dire un ensemble A de résultats.
Il est réalisé quand l'un des résultats est réalisé.
Exemples dans le cas n°3
A = {(1,1) ; (2,2) ; (3,3) ; (4,4) ; (5,5) ; (6,6)}
B = {(1,1) ; (1,2) ; (1,3) ; (1,4) ; (1,5) ; (1,6)}
C = {(5,3) ; (1,2); (4,6)}
On peut parfois “résumer” un événement à l’aide d’une phrase :
A : “obtenir le même nombre sur les deux dé”
B : “obtenir 1 sur le dé rouge (et n’importe quoi sur le vert)”
C n’est pas facile à “résumer” mais il n’en constitue pas moins un événement.
b) On peut définir aussi des événements dits “liés” à une variable.
Pour une variable discrète, on peut utiliser des événements du type (X = x) :
(X = x) est un événement formé de tous les résultats ω tels que X( ω ) = x.
On peut écrire : (X = x) = { ω ∈ Ω , X( ω ) = x}.
Exemple 3
S est égale à 5 pour plusieurs résultats.
On note : [S = 5] = {(1,4) ; (2,3) ; (3,2) ; (4,1)}. C’est un événement lié à S.
c)
Pour une variable quelconque, on utilise aussi d’autres événements liés à la variable :

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(X ≤ x) est un événement formé de tous les résultats ω tels que X( ω ) ≤ x.
On peut écrire : (X ≤ x) = { ω ∈ Ω , X( ω ) ≤ x}.
Ou encore : (X > x) qui est l'événement contraire de (X ≤ x),
(x < X ≤ y) qui est la conjonction (ou l'intersection) des événements (X ≤ y) et (X > x).
Reprise de l’exemple 3
S est inférieure (ou égale) à 4 pour plusieurs résultats.
On note : [S ≤ 4] = {(1,1) ; (1,2) ; (2,1) ; (1,3) ; (2,2) ; (3,1)}. C’est un événement lié à S.
S est compris entre 9 et 11 (au sens large) pour plusieurs résultats.
On note : [9 ≤ S ≤ 11] = {(3,6) ; (4,5) ; (5,4) ; (6,3) ; (4,6) ; (5,5) ; (6,4) ; (5,6) ; (6,5) ; (6,6) }.
C’est un événement lié à S.
On retiendra que les événements peuvent se noter
- avec une seule lettre A, B, C, …
- ou à l’aide d’une variable aléatoire : [S = x] ; [S ≤ x] ; [S > x] ; [x < S ≤ y], … etc.
4. Notion de probabilité
Cas d’un univers Ω fini qui contient N résultats.
On appelle système de probabilités élémentaires sur Ω
ΩΩ
Ω toute suite p
1
, p
2
, …p
N
de N réels, tous
compris entre 0 et 1 et dont la somme vaut 1 où chaque p
i
est associé à un résultat ω
i
.
Autrement dit, un système de probabilités élémentaires sur Ω est une application de Ω dans
l’intervalle [0; 1] dont l’ensemble des images a pour somme 1.
p
i
s’appelle la probabilité du résultat (ou événement élémentaire) ω
i
.
Exemples :
On jette un dé cubique dont les 6 faces sont numérotées de 1 à 6.
On relève le nombre apparaissant sur la face supérieure.
Système 1
Le tableau ci-dessous définit un système de probabilités élémentaires sur Ω :
Ω 1 2 3 4 5 6
p
i
0,14 0,17 0,18 0,17 0,15 0,19
Avec un tel dé, la probabilité d’obtenir, par exemple, la valeur 3 est 0,18.
Système 2
Le tableau ci-dessous définit un autre système de probabilités élémentaires sur Ω :
Ω 1 2 3 4 5 6
p
i
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Avec un tel dé, la probabilité d’obtenir, par exemple, la valeur 3 est 1/6.
Ce dernier cas ne constitue qu’un cas particulier, celui d’un dé qua l’on pourrait qualifier de
“parfait” : tous les résultats ont la même probabilité.
Quand toutes les valeurs p
i
sont les mêmes, on parle d’ équiprobabilité des résultats .
Cette situation ne constitue qu’un cas particulier de système de probabilités.
En cas d’ équiprobabilité des résultats , toutes les probabilités élémentaires sont égales à
N
1 si
N est le nombre de résultats dans l’univers.

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On peut aussi définir la probabilité P(A) d’un événement A : c’est la somme des probabilités p
i
de tous les résultats contenus dans A.
Reprise de l’exemple ci-dessus du dé. Soit A = {1; 3; 5}
Avec le système 1 : P(A) = 0,14 + 0,18 + 0,15 = 0,47.
Avec le système 2 : P(A) = 1/6 + 1/6 +1/6 = 1/2.
La probabilité d’obtenir un nombre impair n’est pas la même dans les deux cas.
Cas d’un univers Ω infini.
On admettra que l’on peut encore définir ces notions-là sur un univers infini dénombrable (en
utilisant la notion de série, c’est-à-dire la notion de limite d’une somme partielle) mais aussi sur
un univers infini non dénombrable en utilisant la notion d’intégrale. Admis.
5. Loi d’une variable aléatoire discrète X
Pour une variable discrète finie ou non, l’application P
X
de X( Ω ) dans [0 ; 1] qui à tout élément x
de X( Ω ) associe le réel P(X = x) est appelée la loi de la variable X .
On définira dans le chapitre suivant (chapitre 5) la loi d’une variable non discrète.
Cela revient à définir, pour tout x de X( Ω ) la valeur de P(X = x) soit sous forme de formule
générale (si c’est possible) soit forme de tableau résumant tous les cas.
On a, bien sûr :
Ω∈
=
)(
)(
Xx
xXP =
Ω∈ )(
)(
Xx
X
xP = 1.
Pour démontrer qu’un tableau de distribution représente une loi de probabilité d'une
variable X discrète finie, il suffit de vérifier les deux conditions (comme pour un système de
probabilités élémentaires) :
•
••
• les probabilités sont comprises entre 0 et 1,
•
••
• la somme vaut 1.
Le tableau de distribution ou la loi de X forme ce que l’on appelle un modèle aléatoire
défini par X.
Pour une variable discrète infinie , la sommation porte sur une infinité de termes et s'exprime
en utilisant la notion de limite de somme partielle.
Exemple 3 :
On suppose que les 36 résultats sont équiprobables (cas de deux dés parfaits, non truqués) et
chacun d’eux a alors pour probabilité
36
1.
On montrera facilement que le modèle aléatoire défini par S (loi de S ou tableau de distribution)
est le suivant :
S( Ω ) 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P
S
(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
Les 11 réels sur la seconde ligne sont tous compris entre 0 et 1 et de somme égale à 1.
Ce tableau constitue un modèle aléatoire qui définit la loi d'une variable S discrète finie.
Justification partielle :
P[S = 5] = P{(1, 4) ; (2, 3) ; (3, 2) ; (4,1)} = 1/36 + 1/36 + 1/36 + 1/36 = 4/36 = 1/9.