Géométrie Algébrique Introduction Un des buts de ce cours

UNIVERSIT´ E DE NANTES
D´ EPARTEMENT DE MATH´ EMATIQUES
Maˆıtrise : G´eom´etrie Alg´ebrique
Introduction
Un des buts de ce cours sera de d´emontrer le r´esultat suivant :
Th´eor`eme de B´ezout. — Soient Cet Ddeux courbes alg´ebriques planes de
degr´es respectifs p, q et sans composante commune. Alors Cet Dse coupent
en p·qpoints.
Remarques. — Pour avoir une chance que l’´enonc´e ci-dessus soit v´erifi´e, nous
avons besoin de pr´eciser plusieurs points :
(i) Il faudra se placer sur C(ou plus g´en´eralement sur un corps alg´ebrique-
ment clos). Par exemple, sur R2les courbes x=−2 et x2+y2= 1 ne se
coupent pas en 2 points. En fait, elles se coupent imaginairement, `a savoir en
−2, i√3et −2,−i√3.
(ii) Il faudra introduire des multiplicit´es. Par exemple, sur C2les courbes
x=−1 et x2+y2= 1 ne se coupent qu’en un seul point : (−1,0). En fait, ce
point sera compt´e double (la droite est ici tangente au cercle).
(iii) Il faudra se placer sur le plan projectif P2
C. Par exemple, sur C2les
courbes xy = 1 et x= 1 se coupent en (1,1), mais simplement. En fait, il faut
regarder `a l’infini. Sur le plan projectif il y a bien deux points d’intersection :
[1 : 1 : 1] et [0 : 1 : 0] (ce qui signifie, en termes informels, qu’en plus du point
(1,1), il y a un autre point d’intersection des deux courbes, “`a l’infini”).
Le cours sera structur´e comme suit : le premier chapitre donne la d´efinition et
les premi`eres propri´et´es des objets g´eom´etriques fondamentaux pour ce cours,
les sous-ensembles alg´ebriques. L’´etude de ces sous-ensembles repose sur deux
r´esultats fondamentaux de nature alg´ebrique : le th´eor`eme de la base de Hilbert
et le “Nullstellensatz”. Ces deux r´esultats sont d´emontr´es dans les chapitres
2,3 et 4. Dans le chapitre 5 la notion de fonctions r´eguli`eres sur un ouvert d’un
sous-ensemble alg´ebrique est ´etudi´ee.
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2Universit´e de Nantes - Maˆıtrise de math´ematiques : G´eom´etrie Alg´ebrique
Le chapitre 9 traite de multiplicit´es ; c’est l`a que nous r´esolverons rigoureuse-
ment le probl`eme soulev´e en (ii) de cette introduction. L`a encore, cette notion
g´eom´etrique ne pourra ˆetre appr´ehend´ee de fa¸con satisfaisante qu’une fois
certains r´esultats alg´ebriques d´emontr´es ; ce travail pr´eparatif est l’objet des
chapitres 7 et 8.
Le chapitre 10 d´efinit des objets g´eom´etriques plus g´en´eraux que les “sous-
ensembles alg´ebriques” dont il a ´et´e question jusque l`a. Notamment, l’espace
projectif, en tant que vari´et´e alg´ebrique, est introduit, ce qui r´esout le probl`eme
(iii). Finalement, le chapitre 11 d´emontre le th´eor`eme de B´ezout, but de ce
cours, et le chapitre 12 en explique quelques applications.
Ce texte a ´et´e r´edig´e par Christoph Sorger, Samuel Boissi`ere, et Pierre-Emma-
nuel Chaput.

G´eom´etrie Alg´ebrique 3
Table des mati`eres
Introduction ................................................ 1
1. Ensembles alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Th´eor`eme de base de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Nullstellensatz : ´enonc´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Nullstellensatz : preuve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5. Vari´et´es affines .......................................... 34
6. Dimension d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7. D´ecomposition primaire d’un id´eal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8. Ferm´es alg´ebriques n’ayant qu’un nombre fini de points . . 64
9. Etude locale des courbes planes affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10. Vari´et´es alg´ebriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
11. Courbes alg´ebriques projectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
12. Applications du th´eor`eme de B´ezout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Annexe A. Devoir libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
Annexe B. Contrˆole continu : 10 mars 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Annexe C. Examen premi`ere session : 24 mai 2004 . . . . . . . . 124
Annexe D. Examen deuxi`eme session : 2 septembre 2004 . . 127
R´ef´erences ..................................................128

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Maˆıtrise : G´eom´etrie Alg´ebrique
1. Ensembles alg´ebriques
Ce chapitre donne la d´efinition des sous-ensembles alg´ebriques d’un espace af-
fine, puis d´efinit une topologie sur ces sous-ensembles, assez particuli`ere parce
qu’en g´en´eral non s´epar´ee, mais tr`es utiles, la topologie de Zariski.
1.1. — Soit kun corps. On note :
An
k:= {(x1, . . . , xn)|xi∈k∀i= 1, . . . , n},
l’espace affine de dimension nsur k. Soient P1, . . . , P`∈k[X1, . . . , Xn] des
polynˆomes en nind´etermin´ees. On note :
V(P1, . . . , P`):={(x1, . . . , xn)∈An
k|Pi(x1, . . . , xn) = 0 ∀i= 1, . . . , }.
La notation Vest un anglicisme (Vpour vanishing). On trouve parfois aussi
la notation Z(pour z´eros) dans les ouvrages. Cependant, ces derni`eres ann´ees,
Vest devenu standard.
1.2 Exemples. — Sur A2
Con a :
(i) Si P=X2+Y2−1, V(P) = {(x, y)∈A2
C|x2+y2−1 = 0}est le cercle ;
(ii) Si P=X2+Y2−1etQ=X+ 2, alors :
V(P, Q) = {(x, y)∈A2
C|x2+y2= 1 et x=−2}
=n−2, i√3o∪n−2,−i√3o.

G´eom´etrie Alg´ebrique 5
1.3. — Soit J=hP1, . . . , P`il’id´eal de k[X1, . . . , Xn] engendr´e par les po-
lynˆomes P1, . . . , P`. Alors pour tout P∈Jon a :
P(x1, . . . , xn) = 0 pour (x1, . . . , xn)∈V(P1, . . . , P`).
En effet, on peut ´ecrire P=
`
P
i=1
QiPipour certains Qi∈k[X1, . . . , Xn] d’o`u :
P(x1, . . . , xn) =
`
X
i=1
Qi(x1, . . . , xn)Pi(x1, . . . , xn) = 0.
G´en´eralement, nous d´efinissons pour un id´eal J⊂k[X1, . . . , Xn]le sous-
ensemble alg´ebrique d´etermin´e par l’id´eal Jpar :
V(J):={(x1, . . . , xn)∈An
k|P(x1, . . . , xn) = 0 ∀P∈J}.
1.4 Lemme. — Si J=hP1, . . . , P`i, alors V(J) = V(P1, . . . , P`).
D´emonstration. — Nous avons d´ej`a vu que V(P1, . . . , P`)⊂V(J). L’inclusion
inverse est claire car Pi∈Jpour tout i∈ {1, . . . , }.
1.5 Proposition. — On a les propri´et´es suivantes :
(i) V(h0i) = An
ket V(k[X1, . . . , Xn]) = ∅;
(ii) V(I)∪V(J) = V(I∩J); plus g´en´eralement
`
S
j=1
V(Ij) = V(
`
T
j=1
Ij);
(iii) T
λ∈Λ
V(Iλ) = VP
λ∈Λ
Iλ, o`u P
λ∈Λ
Iλd´esigne l’id´eal de k[X1, . . . , Xn]
engendr´e par les Iλ.
On en d´eduit que l’ensemble :
τ(An
k):={V(J)c|Jid´eal de k[X1, . . . , Xn]}
est une topologie sur An
kou autrement dit : les sous-ensembles alg´ebriques de
An
kforment les ferm´es d’une topologie sur An kqu’on appelle la topologie de
Zariski de An
k. On dira donc parfois ferm´e de Zariski au lieu de sous-ensemble
alg´ebrique.
D´emonstration. —
(i) Clair.